1、1几何概型一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交 替出现，红灯持续时间为 40 秒 若一名行人来到该路口遇到红.灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ( )A. B. C. D. 710 58 38 310（正确答案）B【分析】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础求出一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率【解答】解： 红灯持续时间为 40 秒，至少需要等待 15 秒才出现绿灯，一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯，至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 2
2、540=58故选 B2. 在区间 上随机选取一个数 x，则 的概率为 1,4 1 ( )A. B. C. D. 25 35 15 23（正确答案）A解： 在区间 上随机选取一个数 x， 1,4的概率 ，1=1(1)4(1)=25故选：A根据几何概型的概率公式进行求解即可本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式转化为求对应长度之比是解决本题的关键3. 已知函数 ，若在区间 上取一个随机数 ，则 的概率是 ()=2+2+3 4,4 0 (0)0 ( )A. B. C. D. 34 58 12 38（正确答案）C令 可得 或 ，则 ， 或 ， 时， 2+2+3=0 =1 =3 0 4 1 0
3、3 4 (0)0所求概率为38+18=124. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直.角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB， 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为，其余部分.记为 在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 ， ， ，则 . 1 2 3 ( )2A. B. C. D. 1=2 1=3 2=3 1=2+3（正确答案）A解：如图：设 ， ， ，= = =，2=2+2， ， =124=2 =1222， =122+122 =122+122122+2=2， =，1=2故选：A如图：设 ， ， ，分别求出，所对应的面积
4、，即可得到答案= = =本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题5. 如图所示，在 内随机选取一点 P，则 的面积不超过 面积 一半的概率是 ( )A. 12B. 14C. 13D. 34（正确答案）D解：记事件 的面积不超过 ， =2基本事件空间是三角形 ABC 的面积， 如图 ( )事件 A 的几何度量为图中阴影部分的面积 是三角形的中位线 ，( )因为阴影部分的面积是整个三角形面积的 ，34所以 ，()=34故选：D 3先分析题目求在面积为 S 的 的边 AB 上任取一点 P，则 的面积不超过 的概率，即可考虑画图 2求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事
5、件的几何度量是什么 再根据几何关系求解出它们的.比例即可本题主要考查了几何概型 由这个题目可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指.面积还是长度或体积，同学们需要注意6. 已知菱形 ABCD 的边长为 4， ，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于 1=6的概率为 ( )A. B. C. D. 4 14 8 18（正确答案）D解：分别以 A，B，C，D 为圆心，1 为半径的圆，则所以概率对应的面积为阴影部分，则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为 ，2则对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积，=12=，菱形 =6=4412=8阴影 =菱形 空白 =812=8因此，
6、该点到四个顶点的距离大于 1 的概率 ，=阴影菱形 =88 =18故选：D根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进行求解即可本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对应分别求出对应区域的面积是解决本题的关键7. 甲、乙两位同学约定周日早上 8： ：30 在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则008甲要等乙至少 10 分钟才能见面的概率为 ( )A. B. C. D. 23 13 29 79（正确答案）C解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是 ， =(,)|030030事件对应的集合表示的面积是 ，=900满足条件的事件是 ， ， ，事件对应=(,)|03003010的
7、集合表示的面积是 ，122020=200根据几何概型概率公式得到 =29故选 C4由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是 ， ，做出事件对应=(,)|030030的集合表示的面积，写出满足条件的事件是 ， ， ，算出事件对=(,)|03003010应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果8. 在区间 上随机取一个实数 x，若事件“ ”发生的概率为 ，则实数 0,2 30 ( )A. B. C. D. 132 932 3132 2332（正确答案）B【
8、分析】本题主要考查几何 概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度.面积或体积 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型( )古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古.典概型的区别在于试验的结果不是有限个 本题利用几何概型求解即可 在. .坐标系中，画出 对应的区域，和 a、b 都是在区间 内表示 (1)0 0,4的区域，计算它们的比值即得【解答】解： ，即 ，(1)=1+0 1如图， ， ， ，(1,0)(4,0)(4,3)， ，=92 =9244=932故选 B11. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内
9、切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方 形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( )A. 14B. 12C. 8D. 4（正确答案）C解：设正方形边长为 2，则正方形面积为 4，6正方形内切圆中的黑色部分的面积 =1212=2在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 =24=8故选：C设出正方形边长，求出正方形面积，再求出正方形内切圆中的黑色部分的面积，由面积比得答案本题考查几何概型，关键是明确测度比为面积比，是基础题12. 在区间 上随机取一个实数 x，则事件“ ”发生的概率为 0,2 310 0 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共
10、12 个：(1)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3,1)(3,2)其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值事件 A 中包含 9 个基本事件，事件 A 发生的概率为 =912=34由题意知本题是一个几何概型，(2)试验的全部结束所构成的区域为 ， (,)|03 02满足条件的构成事件 A 的区域为 ， ， (,)|03 02 所求的概率是32122232 =23首先分析一元二次方程有实根的条件，得到 本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举(1)的基础上得到结果数
11、，求得概率本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为 ， ，满足条件的构成(2) (,)|03 02事件 A 的区域为 ， ， ，根据概率等于面积之比，得到概率(,)|03 02 本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点918. 如图，扇形 AOB 的圆心角为 ，点 P 在弦 AB 上，且 ，延长 OP 交弧90 =2AB 于点 C，现向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形 AOC 内的概率为_（正确答案）13解：设 ， ，由正弦定理可求得， = =2，所以 ，= =2222=12 =30所以扇形 AOC
12、的面积为 ，扇形 AOB 的面积为 ，13142 142从而所求概率为 13142142 =13故答案为： 13求出扇形 AOC 的面积，扇形 AOB 的面积，从而得到所求概率本题主要考查几何概型，正确求出扇形的面积是关键19. 某市小型机动车驾照“科二”考试中共有 5 项考查项目，分别记作 ， ， ， ， 项目学员编号 (1) T T T(2)T T T(3)T T T T(4)T T T(5)T T T T(6)T T T(7)T T T T(8)T T T T T(9)T T T(10)T T T T T注“T”表示合格，空白表示不合格某教练将所带 10 名学员的“科二”模拟考试成绩进行
13、统计 如表所示 ，并打算从恰有 2 项成绩不合格(1) ( )的学员中任意抽出 2 人进行补测 只测不合格的项目 ，求补测项目种类不超过 3 项的概率；( )如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向 ，在汽车边缘不压射线 AC 与射线 BD 的前提下，(2) 90将汽车驶入指定的停车位 根据经验，学员甲转向 后可使车尾边缘完全落在线段 CD 上，且位于 CD 内各. 9010处的机会相等 若 ， ，汽车宽度为 ，求学员甲能按教练要求完成任务的概. =0.3=2.4 1.8率（正确答案）解： 由题意得共有 5 名学员 ， ， ， ， 恰有 2 两项成绩不合格，从中任意抽(1) (1)(2)
14、(4)(6)(9)取 2 人进行补测，共有 10 种情况：学员编号 补测项目 项数(1)(2) 3(1)(4) 4(1)(6) 3(1)(9) 3来源:学 &科 &网Z &X&X&K(2)(4) 3(2)(6) 4(2)(9) 3(4)(6) 3(4)(9) 4(6)(9) 4由表格可知全部的 10 种情况中有 6 种情况补测项目不超过 3 项，补测项目不超过 3 项的概率为 ；=610=35在线段 CD 上取两点 ， ，使得 ，(2) =1.8记汽车尾部左端点为 M，则当 M 位于线段 上时 ，学员可按教练要求完成任务学员甲能按要求完成任务的概率为利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；(1)利用几何概型的概率公式，计算所求的概率值(2)本题考查了列举法求古典概型的概率和几何概型的概率计算问题，是中档题
