1、- 1 -高三第一次模拟考试数学（理科）一、选择题(每题 5分，共 60分)1. 点 在曲线 上移动时，过点 的切线的倾斜角的取值范围是P32xyPA B C D ,0),4),(30,2430,)242.10张奖券中只有 3张有奖，5 个人购买， ，每人 1张，至少有 1人中奖的概率是（ ）A. B. C. D.310123. 若 ，则 k=( )0)(dxkA、1 B、0 C、0 或 1 D、以上都不对4. 利用数学归纳法证明“ ”时，*),12(312)()2( Nnnn 从“ ”变到 “ ”时，左边应增乘的因式是knkA B C D 12)(1kk5.设 f( x)是函数 f(x)的导
2、函数，将 y f(x)和 y f( x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )6. 若 且 的最小值是 （ ）Cz|2|,1|2| izi则A2 B3 C4 D57. 已知离散型随机变量 的分布列如图所示，设 ，则（ ）3A B 920,31DE910,DEC D ,7547,258. 某城市的汽车牌照号码由 2个英文字母后接 4个数字组成，其中 4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） 个 个 个 个21460A2461021460C24610A9.下列关于函数 的判断： ()xfxe 1 0 1P236- 2 - 的解集是 是极小值， 是极大值；()0fx|02;x()f(2)f
3、没有最小值，也没有最大值.其中判断正 确的命题个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.310.以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的 A， B， C点；已知回归直线方程为 0.50 x0.81，则 x25 时， y的估计值为 11.69；y 回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势A0 B1 C2 D311.在(1 x)6(1 y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m， n)，则 f(3,0) f(2,1) f(1,2) f(0,3)( )A4 B60 C1
4、20 D21012.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1 p，且各引擎是否有故障是独立的，已知 4引擎飞机中 至少有 3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2 个引擎飞机要 2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行要使 4个引擎飞机更安全，则 p的取值范围是( )A B C D(23， 1) (13， 1) (0， 23) (0， 13)二填空题（每题 5分，共 20分）13.设随机变量 N(1,4)，若 P( a b) P( a b)，则实数 a的值为_14. 已知 P(A) ， P(B|A) ， P(AC) ，而 B和 C是两个互斥事件，则 P(B C|A)14 13 124_.1
5、5. 在公元前 3世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比” ，此即 V=kD3，欧几里得未给出 k的值.17 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式 V=kD3中的常数 k称为“立圆率”或“玉积率” 类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱） 、正方体也可利用公式 V=kD3求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长） 假设运用此体积公式求得球（直径为 a） 、等边圆柱（底面圆的直径为 a） 、正方体（棱长为 a）的“玉积率”分别为k1，k 2，k 3，那么 k1：k 2：k 3= 16. 已知函数 f
6、(x) x3 x2+2x在区间(2，1)上存在单调递减区间,则实数 a的取值范13 a2围是 .- 3 -三.解答题17.已知复数 z的共轭复数为 ，且 z 3i z ，求 z.z z101 3i18.设函数 ,曲线 过 ,且在 点处的切线斜率为 .2lnfxabxyfx(10)pP21.求 的值;,ab2.证明: .f19.为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为 20人)学生的数学期末考试 成绩.甲 乙0 9 0 1 5 6 87 7 3 2
7、 8 0 1 2 5 6 6 8 98 4 2 2 1 0 7 1 3 59 8 7 7 6 6 5 7 8 98 8 7 7 5(1)现从甲班数学成绩不低于 80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为 87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于 75分的为优秀请填写下面的 22列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.甲班 乙班 合计优秀不优秀合计下面临界值表供参考：- 4 -P(K2 k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考
8、公式： K2 )n ad bc 2 a b c d a c b d20.数列 an满足 a1 ，前 n项 和 Sn an.16 n(n 1)2(1)写出 a2， a3， a4；(2)猜出 an的表达式，并用数学归纳法证明21.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行 5次统一测试，学生如果通过其中 2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加 5次测试假设某学生每次通过测试的概率都是 ，每次测试通过与否互相独立规定：13若前 4次都没有通过测试，则第 5次不能参加测试(1)求该学生考上大学的概率(2)如果考上大学或参加完 5次测试就结束，记该生参加测试
9、的次数为 ，求 的分布列及 的数学期望22.设函数 （其中 ） 21xkfxeR（1）求函数 的单调区间；- 5 -（2）当 时，讨论函数 的零点个数0kfx高三第一次模拟考试数学（理科）答案一DBACD BAACD CB二13.1 14. 15. 16. (，2 )12 :164217.解 z a bi(a， bR)，则 a bi.z又 z 3i z ，z101 3i a2 b23i( a bi) ，10(1 3i)10 a2 b23 b3 ai13i，Error!Error!或Error! . z1，或 z13i.18.解.答案：1. . 2bfxax由已知条件得 即01f解得 .,3ab
10、2. 的定义域为 ,fx0由 1知 .2lnx设 ,则23lngf x. 132xxx当 时, ;当 时, .010g0gx所以 在 单调递增,在 单调递减. 1而 ,故当 时, ,即 . xx2f19. (1)甲班成绩为 87分的同学有 2个，其他不低于 80分的同学有 3个“从甲班数学成绩不低于 80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有 C 10 个，25“抽到至少有一个 87分的同学”所组成的基本事件有 C C C 7 个，所以 P .1312 2710(2)- 6 -甲班 乙班 合计优秀 6 14 20不优秀 14 6 20合计 20 20 40K2 6.45.0
11、24，40 66 1414 220202020因此，我们有 97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关20.解 (1)令 n2， a1 ， S2 a2，16 2(2 1)2即 a1 a23 a2. a2 .112令 n3，得 S3 a3，3(3 1)2即 a1 a2 a36 a3， a3 .120令 n4，得 S4 a4，4(4 1)2即 a1 a2 a3 a410 a4， a4 .130(2)猜想 an ，下面用数学归纳法给出证明1(n 1)(n 2)当 n1 时， a1 ，结论成立16 1(1 1)(1 2)假设当 n k时，结论成立，即 ak ，1(k 1)(k 2)则当 n k1 时，
12、 Sk ak ，k(k 1)2 k(k 1)2 1(k 1)(k 2) k2(k 2)Sk1 ak1 ，(k 1)(k 2)2即 Sk ak1 ak1 .(k 1)(k 2)2 ak1 ak1 .k2(k 2) (k 1)(k 2)2 ak1 k2(k 2)(k 1)(k 2)2 1 kk(k 3)(k 2) .1(k 2)(k 3)- 7 -当 n k1 时结论成立由可知，对一切 nN *都有 an .1(n 1)(n 2)21. (1)记“该学生考上大学”为事件 A，其对立事件为 ，则AP( )C ( )( )3( )( )4 .A 1413 23 23 23 64243 1681 112
13、243 P(A)1 P( )1 .A112243 131243(2)该生参加测试次数 的可能取值为 2、3、4、5.P( 2)( )2 ，13 19P( 3)C ，1213 23 13 427P( 4)C ( )2 ( )4 ，1313 23 13 23 427 1681 2881P( 5)C ( )3 .1413 23 3281故 的分布列为 2 3 4 5P 19 427 2881 3281E( )2 3 4 5 .19 427 2881 3281 3268122.（1）函数 fx的定义域为 ,，1xxfxekek，当 0k时，令 0f，解得 ，所以 f的单调递减区间是 ,0，单调递增区间
14、是 ,，当 1k时，令 fx，解得 lnkx或 0，所以 fx在 ,lnk和 0,上单调递增，在 l,上单调递减，当 k时， f， fx在 ,上单调递增，当 1时，令 ，解得 或 lnk，所以 fx在 ,0和 ln,k上单调递增，在 0,lnk上单调递减；- 8 -（2） 01f，当 01k时，由（1）知，当 ,0x时， 22maxlnllnl1kf k，此时 fx无零点，当 0,时， 220fek，又 fx在 上单调递增，所以 fx在 ,上有唯一的零点，故函 数 在定义域 ,上有唯一的零点，当 1k时，由（1）知，当 ,lnkx时 ， max01fff，此时fx无零点；当 ln,k时， ln01fkf，221kkfee，令 2,tgt，则 ,1t tgge，因为 ,0tg在 ,上单调递增， 20t，所以 在 2上单调递增，得 20te，即 fk，所以fx在 ln,k上有唯一的零点，故函数 fx在定义域 ,上有唯一的零点综全知，当 0时函数 fx在定义域 ,上有且只有一个零点
