1、5.2.3 层次分析法,Analytic Hierarchy ProcessAHP,20世纪70年代美国学者T.L.saaty,层次分析法建模,一 问题的提出,例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。,假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。,例2 旅游,例3 择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。,由于经费等因素，有时
2、不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。,例4 科研课题的选择,例5 国有企业重组项目,中外合资和改成股份制两种重组方案一般依据经济风险、技术风险、社会风险等比较分析,面临各种各样的项目风险，要进行比较、判断、评价、排序，最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人在20世纪七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。,层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。,层次分析法的基本思路：,选择钢笔,质量
3、、颜色、价格、外形、实用,钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4,首先，质量、颜色、价格、外形、实用进行排序接着，分别从质量、颜色、价格、外形、实用五方面因素对各个钢笔（钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4）进行排序经综合分析决定买哪支钢笔,二 层次分析法的基本步骤,1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1 层次结构模型,准则层,方案层,目标层,例2 层次结构模型,准则层A,方案层B,目标层Z,例5 层次结构模型,重组方案,经济风险,技术风险,社会风险,合资,股份制,准则层,方案层,目标层,准则层A,方案层B,目标层Z,设某层有个因素，,2 构造成对比较
4、矩阵,要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）,上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取19尺度。,尺度,第 个因素与第 个因素的影响相同,第 个因素比第 个因素的影响稍强,第 个因素比第 个因素的影响强,第 个因素比第 个因素的影响明显强,第 个因素比第 个因素的影响绝对地强,含义,比较尺度：（19尺度的含义）,2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义。,用 表示第个因素相对于第个因素的比较结果，得到,A则称为成对比较矩阵。,由上述定义知，成对
5、比较矩阵,则称为正互反阵。比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：,满足以下性质,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。,由上表，可得成对比较矩阵,旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。,成对比较矩阵: 一个m阶，m个n阶,3 层次单排序及一致性检验,层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各块的重量
6、,分别记为：,则成对比较矩阵可表示为,由矩阵A可以看出，,即，,但在例2的成对比较矩阵中，,（由于事物的复杂性和人的主观比较的局限性造成的 ）,一致阵的性质：,5. 的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量。,在正互反矩阵 中，若 ,则称 为一致阵。,若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根 的归一化特征向量 ，且,表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。,若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量 ，则,这样确定权向量的方法称为特征根法.,由于 连续的依赖于 ，则 比 n 大得越多，A 的不一致性越严重。用最大特征值对应的特
7、征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量,的不一致程度。,定理： 阶互反阵 的最大特征根 ，当且仅 当 时， 为一致阵。,一致性指标CI,定义一致性指标,其中 为 的对角线元素之和，也为 的特征根之和。,随机一致性指标 RI,实际操作时发现：主观判断矩阵的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩阵的一致性要求。于是引入修正值RI来校正一致性检验指标 CI。,随机一致性指标 RI 的数值：,一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。,一般，当一致性比率,的不一致程度在容
8、许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 加以调整。,时，认为,成对比较矩阵: 一个m阶，m个n阶分别进行一致性检验,4 层次总排序及其一致性检验 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序 从最高层到最低层逐层进行。设：,对总目标Z的排序为,的层次单排序为,即 层第 个因素对总目标的权值为：,层的层次总排序为：,A,B,层次总排序的一致性检验,设 层 对上层( 层)中因素 的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为 ，则定义层次总排序的一致性比率为：,当 时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后
9、决策。,1.建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。,层次分析法的基本步骤归纳如下,3.计算单排序权向量（计算每个成对比较矩阵的权向量 ）并做一致性检验,2.构造成对比较矩阵,从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。,对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。,计算最下层对最上层总排序的权向量。,4.计算总排序权向量并做一致性检验,进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造一致性比率CR 较小
10、的成对比较矩阵。,利用总排序一致性比率,层次分析法建模举例一、旅游问题,(1)建模,分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。,分别表示苏杭、北戴河、桂林。,（2）构造成对比较矩阵,(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验,成对比较矩阵 的最大特征值,表明 通过了一致性验证。,故,则,该特征值对应的归一化特征向量,对成对比较矩阵 可以求层次单排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：,计算 可知 通过一致性检验。,对总目标的权值为：,（4）计算层次总排序权值和一致性检验,又,决策层对总目标的权向量为：,同理得， 对总目标的权值分别为：,故，层次总排序通过一致性检验。,可作为最后的决策依据。,故最
11、后的决策应为去桂林。,又 分别表示苏杭、北戴河、桂林，,即各方案的权重排序为,结论,1 系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行分析评价 ，成为系统分析、风险评价的重要工具。,2 实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广。,四 层次分析法的优点和局限性优点：,3 简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易了解和掌握。,局限性第一 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。,第二 该法中的比较、判断以及
12、结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。第三 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。,五 正互反阵最大特征值和特征向量实用算法,成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。寻找简便的近似方法。,用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时。,列向量归一化,求和,归一化,精确计算，得,择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，也可直接选择考研，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。用层次分析法，选择适合自己的理想工作。,课后练习: (11
13、月20日前),补充：特征值与特征向量,定义：,成立，,则称数 为方阵 的特征值（根），非零列向量 称为属于特征值 的特征向量。,特征值满足的条件：,齐次线性方程组,齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是,A 的特征方程,A 的特征多项式记为,表示 的n 次多项式，在复数范围内有n 个解，即有n 个特征值。,设 A 的特征值为,则,特征值和特征向量的计算方法,给定矩阵,先求其特征值，即解特征方程,再求对应于各特征值的特征向量，即解线性齐次方程组,的非零解 。（注：若 为实数，则 为实向量，若 为复数，则 为复向量）,定理2 对于正矩阵 A (A的所有元素为正)，1）A 的最大特征值是正单根；,2
14、）最大特征值对应有特征向量所有分量为正的特征向量。,定理1 属于不同特征值的特征向量线性无关。,正向量的归一化向量,为正向量，它的归一化向量是,归一化,有关定理,例1 求,的特征值和特征向量。,解：,基础解系为,则属于2的特征向量为,基础解系为,则属于4的特征向量为,求非负向量归一化向量,一般地，,例2 求,的特征值和特征向量。,解：,因此，解空间的维数为 3-2=1,即，基础解系为,则属于2的特征向量为,因此，解空间的维数为 3-2=1,基础解系为,则属于1的特征向量为,例3 求,的特征值和特征向量。,解：,基础解系为,则属于-1的特征向量为,因此，解空间的维数为 3-1=2,基础解系为,则属于2的全部特征向量为,
