1、,管理运筹学,第二章 线性规划图解法,第二章,线性规划的图解法,线性规划是运筹学一个重要分支,管理上的典型应用：,第二章,线性规划的图解法,线性规划的组成：,线性规划问题的提出,线性规划的图解法,图解法的灵敏度分析, 1,线性规划问题的提出,例1.某工厂在计划期内要安排、两种产品的生产，生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗以及资源的限制，如下表所示。,问：工厂应分别生产多少单位、产品才能使工厂获利最多？, 1,线性规划问题的提出,约束条件：, 1,线性规划问题的提出,建模过程, 1,线性规划问题的提出,问题的提出,图解法,图解法的灵敏度分析, 2,图解法,两个决策变量的线性问
2、题，可以用图解法求解。, 2,图解法,每个约束条件都代表一个半平面。, 2,图解法,每个约束条件都代表一个半平面。, 2,图解法,把五个限制条件对应的五个半平面合并成一个图，各约束条件的公共部分即为可行域。, 2,图解法,得到最优解：B:x1=50,x2=250 最优目标值 z=27500,（3，0）,Z=6,（9，0）,（0，9/4）,E（1，2）,Z=0,（0，3）, 2,图解法,重要结论, 2,图解法,重要结论无界解（无最优解的情况）,目标函数：max z = x1 + x2 ；约束条件：x1 - x2 1 -3 x1 +2 x2 6 x1 0， x2 0,该问题可行域无界，目标函数值无
3、穷大，无界解，即无最优解。, 2,图解法,例2 某公司由于生产需要，共需A,B两种原料至少350吨（A，B有一定替代性）限制条件具体如下：,求目标函数最小化的线性规划问题,试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买 A，B 两种原料，使得购进成本最低？, 2,图解法,得 B 点坐标（250，100）为最优解,建立模型：,问题的提出,图解法,图解法的灵敏度分析, 3,图解法的灵敏度分析, 3,图解法的灵敏度分析, 3,图解法的灵敏度分析,非标准形式的线性规划问题，通过变换转化为标准形式。,标准形式的线性规划的四大特点, 3,图解法的灵敏度分析,极小化目标函数的标准化问题,注意：
4、以上两个问题的最优解相同，但最优值相差一个负号，即min f = max z, 3,图解法的灵敏度分析,约束条件不是等式的标准化问题,引入一个非负变量s，令其等于等式左右两边的差值,为了使约束由不等式成为等式而引进的变量s,当不等式为“小于等于”时称为“松弛变量”；当不等式为“大于等于”时称为“剩余变量”。, 3,图解法的灵敏度分析, 3,图解法的灵敏度分析, 3,图解法的灵敏度分析,通过标准化得：, 3,图解法的灵敏度分析,* 变量无符号限制（自由变量）的标准化问题, 3,图解法的灵敏度分析,考虑例1 的情况，目标函数 z = 50 x1 + 100 x2 斜线在右图两条红线之间,-1 （-
5、c1/c2） 0,最优解不变，仍为B., 3,图解法的灵敏度分析,等值线斜率在-1 （-c1/c2） 0 范围内则最优值不变。,当某一线性规划问题在不考虑非负约束时（即可行域不一定限定在第一象限时），仅存在max(或min)时，如果目标函数就是要求求解max(或min)，此时该结论有效。如例1，习题2（1），习题6等。当某一线性规划问题在不考虑非负约束时（即可行域不一定限定在第一象限时），既存在max也存在min时，无论目标函数是要求求解max(或min)，此时该结论无效效。如P16的例2。, 3,图解法的灵敏度分析, 3,图解法的灵敏度分析,结论：当某约束条件中的松弛（剩余）变量不为0时，其对偶价格一定为0，反之不成立。, 3,图解法的灵敏度分析,在一定范围内，当约束条件中常数项增加 1 个单位时，（1）对偶价格大于 0，则其最优目标函数值得到改善，求Max则函数值增大，求min则函数值变小；（2）对偶价格小于 0，则其最优目标函数值受到影响（变坏），求Max则函数值变小，求min则函数值增大；（3）对偶价格等于 0，则其最优目标函数值不变。,对偶价格,谢 谢！,
