1、例析“或的恒成立问题” 已知命题A：p或q恒成立；命题B：“p恒成立”或“q恒成立”。请问，命题A与命题B互为充要条件吗？ 那么，取C=（-，1）。令p=（-，0，q=0，+），则C？哿pq成立。但C？哿p不成立，且C？哿q不成立，所以A与B不等价。 那么，如何解决“或的恒成立问题”呢？请看下面例题。 例1 若|ax3-lnx|1对？坌x（0，1都成立，则求a的取值范围。 解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）： 令（x）=ax3-lnx， 当a0时，（x）在（0，1上单调，（x）= +，（1）=a 当a0时，（x）=3ax2-=（x3-），所以（x）在0，上单调递减，在，上单调递增。因
2、为（1）1，所以a1，所以 综上：a。 解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）： 命题“|ax3-lnx|1对？坌x（0，1都成立”的否定是“|ax3-lnx| |ax3-lnx| 令t（x）=，x（0，1。 t（x）=0，所以t（x）=在（0，1上单调递增，又t（x）=-，所以t（x）无最小值。所以aR； 令m（x）=，m（x）=， 所以m（x）在（0，e-）上单调递增，在（e-，1）上单调递减。 所以m（x）max=m（e-）=，所以a 因为|ax3-lnx| 所以|ax3-lnx|1对？坌x（0，1都成立时，a。 例2 x2+25+|x3-5x2|ax在1，2上恒成立，则求
3、a的取值范围。 解（除了例1的两种解法，还可以根据“题情”特题特解）： 令f（x）=x+|x2-5x|，则x2+25+ |x3-5x2|ax在1，2上恒成立等价于求af（x）min。 令g（x）=x+，x1，2，t（x）=|x2-5x|，x1，2。 则f（x）=x+|x2-5x|=g（x）+t（x），x1，2， 易知g（x）min=g（5）=10；t（x）min=t（5）=0，所以f（x）min=f（5）=10。 习：x+|x-2a|1的解集为R，求a的取值范围。 答案：a的取值范围是（，+）。 总结：“或的恒成立”的解决通法为求命题的否定命题所对应的集合，再求该几何的补集。但是该方法在实际解决问题的过程中有时候会过于麻烦，所以还需要像例2这样特题特解。 （作者单位：湖北省襄阳五中）第 3 页 共 3 页
