1、一元三次方程的解法 第 1 页，共 4 页 一元三次方程的解法 对一元三次方程 0023 adcxbxax ， 用代数方法 求解其在复数域内 全部 解的步骤 ， 可以分为以下三个步骤。 1. 通过线性变换 xFy 将方程变化 为无二次项的三次方程 03 qpyy 2. 求解 上述 方程的解集 3,2,1,0| 3 iCyqpyyyY i 3. 通过 yFx 1 反变换 求出方程的解集 3,2,1,0,0| 23 iCxadcxbxaxxX i 。 下面就按照这三个步骤求出三次方程的解。 如何变换？ 则设存在线性变换 0 khkxxFy 使得 0023 adcxbxax 变为 03 qpyy 下
2、面求解满足条件的 k 和 h 。 将 方程 hkxy 代入 03 qpyy 并 整理得 033 322233 qphhxpkkhxhkxk 一元三次方程的解法 第 2 页，共 4 页 将上式 与 023 dcxbxax 比较 ， 可得 qphhdpkkhchkbka322333则 可解得 k 和 h ： 3233abh ak 至此，可求得变换 3233abxaxFy 使得 023 dcxbxax 化 为 03 qpyy 变换后如何求解？ 设 有 方程 03 qpyy 令 333 nmq mnp （ 其中 nm ）代入方程： nmynmynmymnnmnmymnnmynmynmynmynmm n
3、 yyqpyy 2222222333333 所以 方程 03 qpyy 一元三次方程的解法 第 3 页，共 4 页 的解可以归纳为 nmynmynmy321 其中 2 31 i ， 2 31 i 。 下面求 解 m 、 n 与 p 、 q 之间的关系 ， 即解关于 m 、 n 的二元一次方程组 333 nmq mnp 21 的解集。 2 式等号两边平方得 63362332 2 nnmmnmq 所以 2232233 344 pqmnqnm 故 223334 pqnm由此可以 解 得 332332322322qpqnqpqm这就建立了 m 、 n 和 p 、 q 的函数关系。 因此， 方程 03 qpyy 的全部解为 332332333233223323321322322322322322322pqqpqqypqqpqqypqqpqqy一元三次方程的解法 第 4 页，共 4 页 如何进行 反变换 ？ 由 3233abxaxFy 可知 331 131 abyayFx 于是 解出 333332323131131131131abyaxabyaxabyax这就是方程 0023 adcxbxax 在复数域内 的解。 Xu Wen, Tongji University, Shanghai. All rights reserved.
