函数 ， .1lnaxfx0,Ra（1）求函数 的单调区间；f（2）已知 ，且函数 有且只有一个零点，求 的值；0afxa（3）当 时，证明 .,2x1ln2解：（1） 的定义域为f0,2afxx（） 时， ， 在 上单调递增，无单调递减区间；0ffx,（） 时，令 得 ，列表a0ax, ,af- 0 +x 所以 在 上单调递减，在 上单调递增.f0,a,a综上， 时， 在 上单调递增，无单调递减区间；fx,时， 在 上单调递减，在 上单调递增.a,（2）由（1）知， 时， .0aminl1fxfa使 有且只有一个零点，则必有 ，所以 ， .fx0na1设 ，则 .ln1g1ga当 时， ， 单调递增；0a0当 时， ， 单调递减，1所以 ， 仅有一个零点，故 有且只有一个零点时 .maxggafx1a（3）当 时，要证明 只需证明 ，即证明1,21ln2x1ln2成立.214lnln21xx设 ，lh,因为 ，所以 单调递增.221401xxhx所以 ，故 成立，从而有 成立.0h4lnx1ln2
