1、 1 / 4和式的恒等变换一.知识归纳在不等式的证明过程中，我们时常要对和式进行处理，对和式作一些恒等变形.因此，有必要了解一下一些重要的恒等变换式以及变换法：（1） ；()ijijijjiijjababab（2） ；2211()nniiijijn（3） ；222111()()ijiiijnaa（4） ；111()nniiijjiijibb（5） ；1121()()jnnijijijijnijjaaa（6 ） ；11()2nij ijjiijijbb（7 ） .1()nnkaaAbel 分部求和公式： 111()nnkkkikbabAbel 不等式：设 .则有：12 102tnkbmMtn，1
2、kab二.赛题精讲例 1. 证明 Lagrange 恒等式：.22221111()()()nnniii ijjiijnabaab例 2. 实数集 满足以下条件：01naa，（1 ） ； （2）对 . 求证： .0n 111()nkikiikaca， 14cn2 / 4例 3.已知 ，满足 .122ixRn，11|0nniiix，求证： （1989 年全国高中数学联赛）1|ni例 4.设 .求证： ，这里 表示不超过 的最大整数.（第 10 届美国数学奥xRnN，1nixxx林匹克）例 5.设 ，且 ，求 的最大值和最小值.012ixn，21 1ni kjkjnxx 1nix例 6.实数 满足
3、，令 .求12201xx，2011|20kx1201kiyx，的最大可能值.（2001 年上海市高中数学竞赛）201|ky3 / 4例 7.已知 和 是实数.证明：使得对任何满足 的实数，12naa，12nb， 12nxx不等式 恒成立的充要条件是 ，且 .（第11niix 112kkiiabn，1iiab27 届 IMO 国家集训队选拔考试）例 8.证明：对每个正整数 ，有 .不等式两边等号成立当且仅当n1243136ni n.1n三.赛题训练1.设 是给定的正整数， ，对于 个给定的实数 ，记 为n3nn12naa，m的最小值.求在 的条件下 的最大值.|(1)ijaij 21iam2.已
4、知 为任意两两各不相同的正整数.求证：对任意正整数 ，下列不等式成立：12naa， n（第 20 届 IMO） （提示：由阿贝尔变换得 ，其中211nnk 12221()nknkkaSS.）kkiSa3.（钟开莱不等式）设 ，对 ，恒12(12)0k nabRnaa， 12kn，有 .则必有 .（提示：先用阿贝尔变换证明 ，再用柯西）11kkiiab211nnii 211niib4.已知 是实数列，满足 .证明：12naa， (2)ijijan ，（1 ） ；1(2)niN，（2 ） （2002 年全国高中数学联赛四川省、重庆市初赛）321naa（提示：（1）复制条件并倒序相加；（ 2）仿（1）得 ，再对求证式左边用阿贝尔12kkia变换）5.设 .求证：1211212120n nnaababa ，1niiba4 / 4（提示：令 ，结论转化为 ，用阿贝尔变换及均值不等式可得）(1)iibcna1()0niiica
