1、1二项式定理的推广及应用曲靖市麒麟高级中学 车保勇摘 要 二 项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题因此，进一步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作但前人得出的应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊极限问题 纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项式定理的
2、应用范围关键词 二 项式定理 推广 方幂 应用1 引言二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为： 它有着0,(,0)nrabCabNrn十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域 1 认真研究问题的条件和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快巧妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一些难度较大的数学问题因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研究其用途，拓宽其 应用范围，仍是一件有意义的工作22 问题的提出虽然学者们对二项式定理的推广
3、及应用的研究取得了丰硕的成果，但已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围 3 二项式定理的推广二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式数式二项式定理表述为： 01rnrn()nnabCabCab 0,(,0)rnCabNrn其中 叫做二项式的通项公式， 叫做二项式系数rrr1T !r若令 ，-q则 ， !rn(,rqn)N且 +=3.1 推广一在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广先考察三项式 的展开式:()(nabcN
4、()nnrrnCc qqrrabc rn 若令 ，便得到三项式 展开式通项公式：nrqp()(cN，,pqrn)rqprnCab且 +=其中 叫三项式系数 2!()!rqn nC类似地可得四项式 通项公式为d()c，!, )spqrsabN且 pqrsn其中 称四项式系数于是猜想项式定理 为：!spqr定理 ， 12()nma 121212!mmiiiina (,1,2)kNm3在证明之前，先分析一下上述定理的结构如果像二项、三项那样展开求和或用归纳法证明，显然十分繁琐，于是考虑用排列组合知识进行证明证明 设 ，它的一般项可以这样121212()(,)mrrnmmafra 得到，从 个式子 ，
5、 ， 中由 个式子里取 有na ) 11a种方法，再由剩下的 个式子中选 个式子取 有 种方法，依次类1rnC1r2r221rnC推，从最后的 个式子中选 有 种方法于是选12mr ma12mrr取这 个元素总共有 种方法，将所得元素相乘即为m12121mrrnnrC，因此一般项系数为12rra 12121(,)mrrmnnrf 1211! ! !mnrr 2mr于是定理得到证明这个结论结构优美，记忆简便，体现出数学美 33.2 推广二由数式二项式定理可得 这里的 是正数，0(1),(,0)nrxCNrnn当指数为负整数时，又是什么情形呢？定理 2 当 , 为正整数时1xn21(1)nnxx3
6、nx nrx其中 0nrrx(1)2!r nr证明 (1)当 时，左边 ，1()x右边 ，231limnx左边右边，即上式成立(2) 假 设当 时，有nk成立，231li( )kkrrxxx 0limkrrx则当 时，考 虑k 112131() )kkkkr4112112()kkkkkrkrrxxx，1r其中 1()()!krkkr 1()!rk!rx，1()kx因为 ，lim0rr所以 ，1k所以 ，1231li() )()kkkrkr xxx 两边同时除以 得1x，112131(1)lim( )kkkkrkr即当 也成立nk综上所述，定理成立3.3 推广三设 ，对于多项式 ，约定展开式中含
7、 项的系1m20(1)nmjjxax jx数 ，易得(,)jjmfn1jjC定理 3 设 ，则22201(1)n nxaxax(1) ；20nja(2) ；1352142nn (3) ；10647583naa (4) 当 为 奇数时， ；n082610 (5) 当 为 偶数时， 15937 证明 若令 ，则可得结论(1)和(2)成立x(3)令 则有3()，2201 0naa即 ，20364758()()()0a 由复数相等的定义可知结论(3)成立下面证明结论(4)和(5):5令 则有xi，2201n niaiai整理可得0482610()()a 159371()()nai 当 为奇数时，上式右
8、边为纯虚数，所以左边实数部分为 0，即结论(4)成立；n当 为偶数时，上式右边为实数，所以左边虚数部分为 0，即结论(5)成立4 二项式定理的应用二项式定理是代数中的一个重要定理，恰当应用二项式定理和其推广定理可使一些复杂问题简洁化，困难问题简单化4.1 在求值问题中的应用巧妙运用二项式定理可使一些看似十分困难的求值问题简单化例 1 用 表示实数 的小数部分，若 ，则 的值为多xx 9(5138)aa少？分析：此题表面看较为困难，但若能发现 ，且0，便能迎刃而解(5138)(1)解 令 ，因为 ，所以 ，9538b(5138)(,(0,1)b由二项式定理有 909198(1)()()aC，98
9、953(513)1rrCC909198(538)()()b，9891()rr因为 是正整数，198992()aC所以 ，ab所以 99 9(53)(18)(5138)(1)在挖掘出倒数关系 的基础上，巧妙构造来替代 是顺利解题的关键 59(5138)ba例 2 若 的展开式为 ，求210()x22001axax6的值(2001 年全国高中数学 联赛题) 036198aa解 令 ，可得，x； (1)1012203aa令 ，可得，22001（其中 ，则 ，且 ）； (2) i3231令 ，可得 2x； (3)2440012aa以上三式相加可得 ，100361983()所以 6198aa对求有关二项
10、式系数和的问题，常用赋值法一般地，多项式 的各()fx项系数和为 ，奇次项系数的和为 ；偶次项系数和为(1)f ()2f61()2f4.2 在近似计算问题中的应用求近似值问题常把二项式定理展开，根据精确度决定所取项数可使计算简捷 7例 3 求 的近似值(精确到 0.001)50.97)分析: ，简单构造二项式定理模型，展开按精确度要5(1.03)求取前两项计算便得符合条件的结果解 55(0.97)(.)1225503(.0)(0.3)CC.984.3 在整除与余数问题中的应用二项式定理是解决整除和余数问题最有效的策略之一例 4 试证大于 ( )的最小整数能被 整除( 第六届普特2(13)nN1
11、2n南数学竞赛题)7分析: 由 联想到其对偶式 ，考虑二者之和即可2(13)n2(13)(0,1)n证明 因为 ，0所以 2()(,)n由二项式定理可得2221(13)()(3)nnnC是偶数，记为 ，则大于 的最小整数为 2kNk又因为 2222()(1)()(3)nnnn，3n由二项式定理知是偶数，记为 ，(2)()nn12()kN所以 12k即命题得证例 5 今天是星期日，再过 天后是星期几？10分析：此题实质是求 除以 7 后的余数 问题10解 10550(98)2，01449505082CC因为前 50 项都能被 7 整除，只需考查 除以 7 所得余数.504816162()5516
12、 于是得余数为 4，故 天后是星期四04.4 在不等式问题中的应用利用二项式定理证明不等式，是二项式定理的一个重要应用一般情况，在二项式展开式中取舍若干项，即可将相等关系转化为不等关系，从而获得相关不等式特别在有关幂不等式和组合不等式方面有独特作用例 6 求证： 12(1)3,()2nnN证明 由二项式定理得80121(1)n nnCC2n又 0121(1)n nnC 2121()()()()!3!nn 12!n23113n根据实际需要进行实际取舍相关项是这类题的关键例 7 设 ， ，求证: ,abRN2nnab分析: 设 ， ， 且 ，则 ，再用二项式sds(,dR)sd2abs定理解题证明
13、 设 ， ， 且 ，asbs(,)s于是有 ()()nnnsd02Cs；2ns又因为 ，ab所以 2nnnabs即题目得证此题表面看似乎与二项式定理无关，但做换元后便露出其本质它的结论也可以写成 在高中数学教材不再介绍数学归纳法的情2nab况之下，二项式定理是证明这一不等式简捷且有效的途径 8-13例 8 设 ，且 求证：对每个自然数 都有,R1abnN(1998 年全国高中数学 竞赛题)2()nnnab分析: 因为 ，且 ，所以 ；,b 2ab9()nnab112211)()()2nnnCabCabC再利用均值不等式求证证明 由 ，12及二项式定理得()nnab011nnnCCabab221
14、nn11 211()()()nnnnab abC 21)nn2(本题一般用数学归纳法证明，但用二项式定理结合基本不等式证明更简捷明快4.5 在多项式问题中的应用在实际应用中，除遇到二项式问题外还常常遇到多项式问题，利用推广定理可使解题方便快捷例 10 求 的展开式中含 的项7(32)xyz325xyz解 直接应用推广定理 1 有 的展开式中 项为7()325xyz325325!()85zz例 11 求 中 的系数82x4x分析: 直接展开项数太多，显得冗长复杂，利用定理 1 可快速解决解 的通项为 38(1)!(2)(1)pqrxqr28!2()pqrpqx于是有方程组4,8;pr其非负整数解
15、为， ， 04pqr125qr206pqr10故 中 的系数为38(21)x4x08726!8!8!2()2(1)(1)154505 结论本文首先将二项式定理进行推广，然后系统整理了二项式定理已有的用途，同时 提出不同于前人成果的用途，即求解一些特殊极限问题再以典型实例说明了二项式定理有着十分广泛的应用二项式定理在中学教材中占有的篇幅并不大，但其有着十分广泛的应用，可以从初等数学跨到高等数学中，可使一些困难问题简洁化深入挖掘二项式定理及推广定理的应用，不但为教师教学提供参考，提供一种新的解题途径，且拓宽了二项式定理的应用范围本文存在着两方面的局限：一是推广没有从本质上突破前人的成果，只是将其进
16、一步完善；二是在高等数学中的应用范围有待拓宽参考文献:1 刘玉琏，傅沛仁数学分析 讲义M北京：高等教育出版社，2003：1562 耿玉霞二项式定理的推广及应用J辽宁教育学院学 报，2002，19(4)：50513 孙幸荣，曹学 锋二项式定理的推广及其应用J广西教育学院学报，2004， 15(5)：53544 张盛可换矩阵二项式定理的 应用J 锦州师范学院学报(自然科学版)，2003， 24(3)：62655 王荣峰二项式定理的应用J高中数学教与学，2006，(10)：24256 唐先成二项式定理及其应用J数学通 讯， 2002，(5)：82837 张文娣二项式定理及其 应用J甘 肃联合大学学报(自然科学版)，2004， 18(4)：9091
