1、反比例函数知识点及典型例题反比例函数这一章是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。一、反比例函数知识要点点拨1、反比例函数的图象和性质：反比例函数 (0)kyx的符号k 0k图象 的取值范围是 ， x0x的取值范围是 yy当 时，函数图象的两个0k分支分别在第一、第三象限在每个象限内， 随 的增yx大而减小 的取值范围是 ， x0x的取值范围是 yy当 时，函数图象的两0k个分支分别在第二、第四象限在每个象限内， 随y的增大而增大性质反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图
2、形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点2、反比例函数与正比例函数 的异同点：(0)ykx函数 正比例函数 反比例函数xyOyO解析式 (0)ykx(0)kyx图象 直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围 全体实数 的一切实数0x图象的位置当 时，在一、三象限； 0k当 时，在二、四象限当 时，在一、三象限；k当 时，在二、四象0k限性质当 时， 随 的增大而增0kyx大； 当 时， 随 的增大而减kyx小当 时， 随 的增大而kyx减小； 当 时， 随 的增大而0kyx增大二,、典型例题例 1 下面函数中，哪些是反比例函数？（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）3xyxy
3、85xy1xy.81xy解：其中反比例函数有（2），（4），（5）说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义， ，它也可变形为xky)0(及 的形式，（4），（5）就是这两种形式1kxyky例 2 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）；(2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）；(3)圆面积与半径的关系 （ ）；(4)圆面积与半径平方的关系 （ ）；(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）；(6)三角形面积一定时，底边与高的关系
4、（ ）；(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）；(8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）；(9)x 越来越大时， y 越来越小， y 与 x 的关系 （ ）；(10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）答：说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义例 3 已知反比例函数 ， y 随 x 增大而减小，求 a 的值及解析式62)(axy分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题解 因为 是反比例函数，且 y 随 x 的增大而减小，62)(axy所以 解得.02,16a.,5所以 ，解析式为 5xy2例 4 （1）若函数 是反比例函数，则 m 的值
5、等于（ ）2)1(mA1 B1 C D13（2）如图所示正比例函数 ）与反比例函数 的图像相交于 A、 C 两点，0(kxy xy1过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B，连结 BC若 的面积为 S，则：BA B C D S 的1S2S3S 值不确定解：（1）依题意，得 解得 ,120m1m故应选 D（2）由双曲线 关于 O 点的中心对称性，可知： xy1 OBCAS 12ABSOBA故应选 A例 5 已知 ， 与 x 成正比例， 与 x 成反比例，当 时， ；当 时，21y1 2y1x4y3x，求 时， y 的值yx分析 先求出 y 与 x 之间的关系式，再求 时， y 的值1x解 因为
6、与 x 成正比例， 与 x 成反比例，1 2y所以 )0(,212kyk所以 x1将 ， ； ， 代入，得x4y35y解得 .531,2k.821,k所以 xy8所以当 时，14821y说明 不可草率地将 都写成 k 而导致错误，题中给出了两对数值，决定了21k、的值21k、例 6 根据下列表格 x 与 y 的对应数值x 1 2 3 4 5 6 y 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围解：（1）图像如右图所示（2）根据图像，设 ，取 代入，得 )0(kxy6,1yx16k6k函数解析式为 6说明：本例考
7、查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性例 7（1 ）一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图像大致是如图中1xyxy3的（ ）（2）一次函数 与反比例函数 在同一直角坐标系内的图像的大致位置12kxy xky是图中的（ ）解： 的图像经过第一、二、四象限，故排除 B、C；又 的图像两支在第1xy xy3一、三象限，故排除 D答案应选 A（2）若 ，则直线 经过第一、三、四象限，双曲线 的图像两支在0k)1(2kxy xky第一、三象限，而选择支 A、B、C、D 中没有一个相符；若 ，则直线0
8、k经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有 C 正)1(2kxy确应选 C例 8， 已知函数 是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内， 随2431mxy y的增大而减小，求反比例函数的解析式x解：因为 是 的反比例函数，所以 ，所以 或yx 124m21m.因为此函数图像在每一象限内， 随 的增大而减小 ，所以 ，所以 ，所yx 0331m以 ，所以反比例函数的解析式为21m.65说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数 ，当 时，xky)(0k随 增大而减小，当 时， 随 增大而增大yx0kyx例 9 一个长方体的体积是 100 立方厘米，它的长是 y 厘米，宽
9、是 5 厘米，高是 x 厘米（1）写出用高表示长的函数关系式；（2）写出自变量 x 的取值范围；（3）当 厘米时，求 y 的值； （4）画出函数的图像3x分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式解 （1）因为长方体的长为 y 厘米，宽为 5 厘米，高为 x 厘米，所以 ，所以 05xyxy20（2）因为 x 是长方体的高所以 即自变量 x 的取值范围是 0x 0x（3）当 时， （厘米）336y（4）用描点法画函数图像，列表如下： x 0.5 2 5 10 15 y 40 10 4 2 31描点画图如图所示例 10 如图， P 是反比例函数 上一点，若图中阴影部
10、分的矩形面积是 2，求这xky个反比例函数的解析式分析 求反比例函数的解析式，就是求 k 的值此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解解 设 P 点坐标为 ),(yx因为 P 点在第二象限，所以 0,yx所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为 yx,又 ，所以 因为 ，所以 2xy2xyxyk2k所以这个反比例函数的解析式为 说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于 中的 xky例 13. 当 n 取什么值时， 是反比例函数？它的图像在第几象限内？122)(nxy在每个象限内， y 随 x 增大而增大还是减小？分析 根据反比例函数的定义 可知， 是反比例函数，必须且)0(kxy 122)(nxy只需 且 02n12n解 是反比例函数，则12)(xy 即 ,12n.0,n或且 1n故当 时， 表示反比例函数： ，122)(xy xy10k双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内， y 随 x 的增大而增大
