1、吉林大学-多体动力学讲稿2021 多体动力学课程讲稿 多体动力学 摘要 多刚体系统的位置、姿态、运动及受力分析。 目录 引言.31 矢量.41.1矢量的定义及符号.41.2矢量的基本运算.51.3单位矢量的定义和符号.61.4零矢量的定义和符号.61.5平移规定.6习题一.6坐标系.7习题二.8矢量的坐标阵和坐标方阵.8习题三.10方向余弦矩阵.104.1方向余弦矩阵的定义.104.2方向余弦矩阵的用途.124.3方向余弦矩阵的性质.14习题四.16欧拉角.175.1欧拉角的定义.175.2欧拉角与方向余弦矩阵的关系.175.3欧拉角的奇点.195.4确定欧拉角的几何法.20习题五.21矢量在
2、某参照物内对时间的导数.22习题六.24角速度.24习题七.26刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数.26习题八.28矢量在两参照物内对时间导数的关系.29习题九.30角速度叠加原理.31习题十.32角加速度.32习题十一.32 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 多体动力学课程讲稿 12 角速度与欧拉角对时间导数的关系.33习题十二.35点的速度和加速度.35习题十三.37刚体上固定点及动点的速度与加速度.3714.1刚体上固定点的速度与加速度.3714.2刚体上动点的速度与加速度.40习题十四.41刚体的动力学方程.4115.1并矢.4115.2刚体惯性力向质心简化的主矢和主
3、矩.4415.3达朗贝尔原理和动力学方程.46习题十五.47约束方程.47习题十六.49 13 14 15 16 参考文献.49 2 多体动力学课程讲稿 引言 多体动力学的研究对象是由多个物体通过约束及力元件连接起来的空间机构。 将机构中的物体抽象为柔体，则得到多柔体系统，抽象为刚体则得到多刚体系统。这里只涉及多刚体系统。 欲确定物体的位置、姿态、运动及所受作用力和力矩，例如确定车身在静平衡时的位置和姿态，在一定操纵输入下的运动，以及某种运动下的受力，需要列写和求解包含所关心未知量的方程。 方程包括动力学方程和约束方程。动力学方程是指力与运动间关系的方程。列写动力学方程的方法按依据的原理分为矢
4、量力学方法和分析力学方法。这里只包括直观的矢量力学方法。约束方程是指针对各种约束模型如球铰列出的对物体位置及姿态的限制方程。 下面介绍列写上述方程需要的矢量运算规则、空间刚体的位置和姿态描述方法、运动学关系及达朗贝尔原理。 3 多体动力学课程讲稿 1矢量 1.1矢量的定义及符号 。ab角加速度。矢量用带箭头的符号表示，如，b，其大小用a及表示。 矢量是具有大小和方向且满足一定运算规则的物理量，如力、位移、速度、加速度、角速度及 。b。c。c。b。b。a。c。a。a。图1.2-1两矢量a和b的和为另一矢量。a。b。c（1.2-1）。a图1.2-2两矢量和b的差为另一矢量。a。b。c（1.2-2）
5、。d。b。a。图1.2-3两矢量a和b的点积为一数量。a。b。b。a。abcos。.（1.2-3）。b。图1.2-4两矢量a和b的叉积为另一矢量d。a。b。b。a。a。.（1.2-4）a。b。b。a。d，d。absin。c。c。b。a。图1.2-5三矢量a、b、c的混合积为一数量，代表其组成的平行六面体的体积。（a。b）。c。c的两重叉积为另一矢量，b、图1.2-6三矢量a、它位于括号内两矢量所张成的平面内，而与括号外的矢量垂直。（a。b）。c。a。（b。c）。（c。a）。b.（1.2-5）4 。（a。b）。c。a。cb。b。ca。.（1.2-6）。a。（b。c）。a。cb。a。bc多体动力学
6、课程讲稿 1.2矢量的基本运算 。矢量的基本运算如图1.2-16所示。下面证明（1.2-6）的第一式。令a和b的夹角为。，在a和。b所张成的平面内画出两个辅助矢量ga和gb，如图1.2-7所示，其中ga与a垂直，与b夹角小于 。1。90且ga。b。1，从而ga。，矢量gb与b垂直，与a夹角小于90且gb。a。1，从而 bsin。g1asin。，由于（a。b。）。c。位于a。和b。b。所张成的平面内，故可设 （a。b。）。c。ma。nb。.其中m和n为两个待定常数，用g。（1.2-7） a和gb分别点乘上式有 m。g。b。（a。bn。g。）。c.（1.2-8） 。a。（a。b）。c. .（1.2
7、-9）利用混合积的性质有m。g。（a。b。）。c。 。g。c。b。b。（a。b）。.（1.2-10）n。g。（a。b。）。c。g。a。a。（a。b）。c.（1.2-11）g。ab。a。g。b图1.2-7两重叉积证明 由于g。（a。b。b。b。）沿的反方向，且大小为g。b。b。（a。）。gbabsin。b.（1.2-12）从而g。 a。b。）。b。b。（.（1.2-13）同理由于g。（a。b。a）沿a的正向，且大小为g。（a。b。a）。gaabsing。a.（1.2-14）从而g。 （a。b。）。a。a。.（1.2-15）于是有 m。b。c。.n。a。c。.（1.2-16）.（1.2-17） 例
8、1.2-1矢量。在以n。为单位法向量的平面内的投影矢量。p为。p。n。（。n。）.（1.2-18）5 多体动力学课程讲稿 1.3单位矢量的定义和符号 。单位矢量可以用来表示单位矢量定义为大小为单位1的矢量，用带“。”的符号表示，如x一个方向，如主销的方向，车轮旋转轴线的方向及地面法方向。 1.4零矢量的定义和符号 。大小为零的矢量定义为零矢量，用“0”表示。 1.5平移规定 将一个矢量在空间平行移动，得到的矢量与原矢量相等。 例1.5-1一个矢量和一个单位矢量点乘，则得到该矢量在单位矢量方向的投影。 。b。x。bcos。.（1.5-1）b。x 。1和x。2点乘为其夹角的余弦。例1.5-2两个单
9、位矢量x图1.5-1矢量的投影 。1。x。2。cos。.（1.5-2）x 习题一 1.试改正下面各矢量表达式中的错误写法： 。a1）矢量与矢量b的点积为零：ab。0 。2）矢量a与矢量b的叉积为零矢量：a。b。0 。3）矢量a与矢量b的叉积为矢量c：a。b。c 。4）矢量b与c的叉积为一个矢量，矢量a与该矢量叉乘得矢量d：a。b。c。d 。，与平面成一般角度的单位矢量为e。，试画图验证如下两个单2.设某平面m的法向单位矢量为n。在该平面的投影方向：位矢量都沿e。（e。n。）。n1）f。n。e2） 。g。e。n。n。e 。e。n。n。e。g。 3.试证明习题2中的两个单位矢量相等。f。夹角为最小
10、的单位矢量。 4.试在2题的m平面中找到与e。 5.已知二矢量a和b不共线，若xa。yb。0，试证明：x。0，y。0。 。 6.空间一点o到某线段ab两端点的位置矢量分别为a和b，试证明点o到线段中点的位置矢量 。a。b为。 2。a7.空间一点o到某三角形abc三顶点的位置矢量分别为、b和c，试证明点o到三角形形心 6 多体动力学课程讲稿 。a。b。c（中线交点）的位置矢量为。 3。 8.空间一矢量a，试借助另一与a不平行的矢量b找到两个与a垂直且相互垂直的矢量。 。， 9.定轴转动刚体轴线方向单位矢量为p刚体上任意矢量为a，当刚体绕轴线转过。角之后，a变 。及。表示a1。为a1，试用a、p
11、2坐标系 坐标系是指由固定在一起的三个相互垂直的单位矢量组成的右手直角坐标系，三个单位矢量的y。的正方向，再转。及z符号可以人为规定，如x。，所谓右手坐标系是指伸出右手，四指先指向x。的正向，此时拇指指向z过90度绕向y。的正向的坐标系，若指向z。的负向，则为左手坐标系，我们 所使用的都是右手坐标系。通常在大地上要建立一个全局坐标系，称为gcs（globalcoordinatesystem），用来对整个多体系统提供一个统一的参照坐标系。在物体上要建立一个局部坐标系，称为bcs（bodycoordinatesystem），一方面用来描述物体在gcs内的位置和姿态，另一方面，为物体上的点或其它坐标
12、系提供局部的确定位置和姿态的标准。此外，在物体上可以根据需要建立其它的坐标系，例如，为描述物体上的约束及列写约束方程，需要建立约束的坐标系。 根据平行四边形法则有任一矢量在某坐标系中的分解。yy。zz。.（2-1）。xx如图2-1所示，其中。x，。y，。z称为矢量。在三个轴上的投影、分量或坐标，且有 。.（2-2）。x。x。.（2-3）。y。y。.（2-4）。z。z 。zz。z。y。x。yy。xx图2-1矢量在坐标系内的分解 。和一个坐标系的三个单位矢量x。，y。，z。分别点乘，则得到该单位矢量在这个坐例2-1一个单位矢量e标系里的三个方向余弦。x。cos。e.（2-5）。y。cos。.（2-
13、6）e 。z。cos。.（2-7）e 7 多体动力学课程讲稿 且根据（2-1）有 。e。x。x。e。y。y。e。y。y。cos。x。cos。y。cos。z。.（2-8）e 例2-2一个坐标系的三个单位矢量间的点乘和叉乘关系为 。x。1，。x。y。x。0，。z。0，。x。x。x。0，。y。x。z。，。y。，。x。z。y。0，x。y。1，y。z。0x。z。0y。0，z。y。z。1z.（2-9） 。y。z。z。，x。yx。y。0，。z。xyy。x。，z。y。z。0z习题二 1.试说明一个右手坐标系只要两个单位矢量确定了，另外一个单位矢量就可随之确定。 y。及z2.将一个坐标系放于镜子前，镜中像为一个
14、左手坐标系。设坐标系的单位矢量x。的像分 y。和z。，现在只保留像x。，并按右手坐标系的约定确定一个新的右手坐标系，。及z别为x。，试利用xy。表yz。，设镜面向外的法向单位矢量为n。和z其三个单位矢量分别x。及ny。和z示x3矢量的坐标阵和坐标方阵 对矢量进行运算可以借助于它的坐标阵和坐标方阵。 。，y。和z设某坐标系的三个单位矢量分别为x。，矢量a在该坐标系的各方向上有三个投影： ax，ay和az，则由（2-1）式知a可表示为 。ayy。azz。.（3-1）a。axx。a在该坐标系内的坐标阵定义为 。ax。.（3-2） a。ay。az。坐标方阵定义为 。同样，对于矢量b，在同一坐标系内也有。byy。bzz。.（3-4）b。bxx。bx。b。by。.（3-5）。bz。8 。0。aa。z。ay。az0axay。ax。.（3-3）0。多体动力学课程讲稿 。0。b。bz。by。于是 。bz0bxby。bx。.（3-6）0。ayy。azz。byy。bzz。）。（bxx。）。axbx。ayby。azbz。atb。bta.（3-7）a。b。（axx这是用坐标阵计算
