1、,第三章 整 式,3、整式,3,小明房间的窗户如图所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们的半径相同)。 (1) 装饰物所占的面积是多少? (2) 窗户中能射进阳光的部分的面积是多少?(窗框面积忽略不计),从代数式说起,从 代 数 式 说起,，的式子,叫做代数式。,用+、乘方把数字与字母连结所成,试用代数式表示下图中有关的图形的面积：,代数的基本思想是,用字母表示数，,用代数式表示问题的结果。,（2） 当水结冰时，其体积大约会比原来增加 ，xm3的水结成冰后体积为多少？,做一做,（1）如图 ，长为a,宽为b的矩形绿地，截去边长为c的四个小正方形后剩下的作为草地，则这个草地的面
2、积是多少？,（3）如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别为a,b,c.这个箱子露在外面的表面积是多少？体积是多少？,（4）某件商品的成本价是a 元，按成本价提高15%后标价，又以8折（即按标价的80%）销售，这件商品的售价是多少元？,议一议,前面所得出的代数式：,有什么特点？,都是由数与字母的乘积组成的，,这样的代数式叫做单项式；,单项式中的数字因数叫做这个单项式的,系数,一个单项式中，所有字母的指数的和,叫做这个单项式的,次数。,、0.8（1+15%）a,单独一个非零数的次数是 0 。, 注 意 ,单独的一个数或一个字母也是单项式；, 注 意 ,练一练, 练一练 ,3,3,2,1
3、,6,4,当单项式的系数为1或 1时，这个“1”应省略不写。,注 意,单项式、多项式、整式,几个单项式的和叫做,单项式和多项式统称,一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。,多项式，,整式,多项式中的每一个单项式，叫做多项式的,项。,随堂练习,p4,1. 下列整式哪些是单项式，哪些是多项式?它们的次数分别是多少?,议一议,小红和小兰房间窗户的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径分别相同) (1)窗户中能射迸阳光的部分的面积分别是多少?(窗框面积忽略不计) (2)你能指出其中的单项式或多项式吗?它们的次数分别是多少?,图13,(1)窗户中能射迸阳光的部分的
4、面积分别是:,(2) 它们都是 2 项式,次数都是 2.,拓 展 练 习,下列说法中, 正确的是( ),D,拓 展 练 习,1. 单项式m2n2的系数是_,次数是_, m2n2是_次单项式.,2. 多项式x+y-z是单项式 , ,_的和,它是_次_项式.,3. 如果 -5xym-2 为4次单项式, 则 m=_.,1,4,4,x,y,-z,1,3,5,作业,作业,习题3.4,整式的加减,整式加减运算的最后结果也是一个整式，按数学的基本要求，这个结果应是最简的。,所谓一个整式是最简的，意即这个整式中不再有同类项；而在合并同类项之前，相加减的整式之间可能有括号。 因此，整式加减运算的过程与步骤，就是
5、我们业已熟知的两个运算：,八字决,去括号、合并同类项,例2：计算:（1）,解:,如果括号前是 “ ”,则去掉括号后原括号内每项都要变号,例2：计算:（2）,解:,7（p3p2p1）2（p3p）,7（p3p2p1）2（p3p）,如果括号前有非1 的数字因数，,则去掉括号后这个数字因数要,乘遍括号内的每一项。,7p37p27p7,2p3,2p,5p3,7p2,9p,7。,例2：计算:（3）,请三位同学上黑板做。,用棋子摆成下面的“小屋子”：,摆第 1 个“小屋子”需要 5 枚 棋子，,摆第 2 个“小屋子”需要 枚 棋子，,摆第 3 个“小屋子”需要 枚 棋子，,11,17,用棋子摆成下面的“小屋
6、子”：,23,5+16,5+26,5+36,5+ 6,9,59,5+6(n-1),1.火车站和飞机场都为旅客提供“打包”服务，如果长、宽、高分别为x,y,z米的箱子按如图所示的方式“打包”，至少需要多少米的“打包”带?(其中红色线为“打包”带),提示,“至少”意即“带子”长最短,这时, 线色线应垂直长方体的棱.,答: 至少需要 米的“打包 ” 带.,2(x+z)+,2(z + y),2,2x+4y+6z,2、某花店一枝黄色康乃馨的价格是x元，一枝红色玫瑰的价格是y元，一枝白色百合花的价格是z元，下面这三束鲜花的价格各是多少? 这三束鲜花的总价是多少元?,3x+2y+z,2x+2y+3z,4x+
7、3y+2z,答: 三束鲜花的价格各是：,这三束鲜花的总价是:,3x+2y+z +,2x+2y+3z +,4x+3y+2z,=,9x+7y+6z .,试一试,1.任意写一个两位数;,2.交换这个两位数的十位数字和个位数字,又得到一个数;,3.求这两个数的和.,再写几个两位数重复上面的过程.这些和有什么规律?这个规律对任意一个两位数都成立吗?,如果用a,b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,那么这个两位数可以表示为:_.,从上面你能得出什么规律?,把这两个数相加并化简得: _.,交换这个两位数的十位数字和个位数字,得到的数是:_.,10a+b,10b+a,(10a+b)+(10b+a)=11a
8、+11b=11(a+b),做一做,任意写一个三位数,交换它的百位数字与个位数字,又得到一个数,两数相减,两个数相减后的结果有什么规律?这个规律对任意一个三位数都成立吗?,100a+10b+c,100c+10b+a,(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a- c),议一议:,在上面的 “试一试”、 “做一做”中,涉及了整式的_运算.你是怎样运算的?你曾经做过这种运算吗?,加、减,先去括号,再合并同类项.,练一练,3.求下列整式的值:,2.计算:,例2 已知m、x、y满足：,解：由题意可得 x-5=0，m=0，y+1=3.,解得 x=5，m=0，y=2.,当 x=5，m=0，y
9、=2时，,原式=522+5025+10522=50+200=250.,例3 若x2-3x-2=(x2-2x+1)+B(X-1)+C对任何X均成立，求B、C的值.,解： x2-3x-2=(x2-2x+1)+B(X-1)+C，,X2-3X-2=X2-2X+1+BX-B+C.,即X2-3X-2=X2+(B-2)X+(1-B+C).,对于任何X上式均成立，,即 B=-1，C=-4.,例4 已知关于 x、y的多项式mx2+2xy-x与3x2-2nxy+3y的差不含二次项，求nm的值.,解： ( mx2+2xy-x )-(3x2-2nxy+3y) = mx2+2xy-x-3x2+2nxy-3y =(m-3
10、)x2+(2+2n)xy-x-3y, 差不含二次项，, nm=(-1)3=-1 .,an,（乘方的结果）,你肯定知道吧？！,探索发现,=27,=(5 5 5) (5 5 5 5) = 5 5 5 5 5 5 5 =57,23 24,5354,=(2 2 2) (2 2 2 2),= 2 2 2 2 2 2 2,(乘方的意义),(乘法结合律),(乘方的意义),(2)如果把指数3、4换成正整数m、n，你能得出am an的结果吗？,=a7 (乘方的意义),继续探索,(1)a3 a4,=(aaa)(aaaa) (乘方的意义),=aaaaaaa (乘法结合律),猜想: am an= (当m、n都是正整数
11、),am an =,m个a,n个a,= aaa,=am+n,(m+n)个a,即:,am an = am+n (当m、n都是正整数),（aaa）,（aaa）,am+n,（乘方的意义）,（乘法结合律）,（乘方的意义）,真不错，你的猜想是正确的！,同底数幂的乘法,am an = am+n (当m、n都是正整数),同底数幂相乘,想一想： 当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也 具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？,底数，指数。,不变,相加,同底数幂的乘法性质：,请你尝试用文字概括这个结论。,我们可以直接利用它进行计算.,如 4345=,43+5,=48,如 amanap =,am+n+p,（m、n、p都
12、是正整数）,运算形式,运算方法,（乘法、同底）,（底不变、指加法）,幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加.,中国奥委会为了把2008年北京奥运会办成一个环保的奥运会，做了一个统计，一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量。那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤多少千克？,108 105=,1013,108+5=,你会做吗？,43 47 =,410,a2 a13 =,a15,挑战自我：,(1) x n xn+1 ;,(2) (x+y)3 (x+y)4 .,1.计算:,解:,x n xn+1 =,解:,(x+y)3 (x+y)4 =,am
13、 an = am+n,xn+(n+1),= x2n+1,公式中的a可代表一个数、字母、式子等.,(x+y)3+4 =(x+y)7,例1：计算,(1) 7873 (2) (-2)8(-2)7 (3) a a3 (4) (a-b)2(a-b) (5) a a3 a5,题组练习一：,运用同底数幂的乘法法则计算下列各式，并用幂的形式表示结果：,333= 105105= 105+105= （-3）5（-3）3= am an ap=,34,1010,2105,(-3)8,am+n+p,=38,判断下列计算是否正确，并简要说明理由： x x2 x2 aa2 a3 y3 y3 y9 b3b3 b6,(),()
14、,(),(),题组练习二：,判断下列计算是否正确，并简要说明理由： a3 a3 2a3 a a6 a6 y2 y3 y6 (-7)873 (-7)11,(),(),(),(),题组练习三：,填空：（1）x5 （ ）=x 8 （2）a （ ）=a6（3）x x3 （ ）= x7 （4）xm （ ）3m,变式训练,x3,a5,x3,2m,练习1.计算：（抢答）,( 1011 ),( a10 ),（ x10 ）,（ b6 ）,（2） a7 a3,（3） x5 x5,（4） b5 b,（1） 105106,2.填空：（1） 8 = 2x，则 x = ；（2） 8 4 = 2x，则 x = ；（3） 3
15、279 = 3x，则 x = .,3,5,6,23,23,3,25,36,22,=,33,32,=,补充练习：判断（正确的打“”， 错误的打“”）,x4x6=x24 ( ) (2) xx3=x3 ( )(3) x4+x4=x8 ( ) (3)x2x2=2x4 ( )(5)(-x)2 (-x)3 = (-x)5= -x5 ( ) (6)a2a3- a3a2 = 0 ( ) (7)x3y5=(xy)8 ( ) (8) x7+x7=x14 ( ),计 算： 323m = 5m 5n = x3 xn+1 = y yn+2 yn+4 =,强化练习一：,3m+2,5m+n,y2n+7,Xn+4,计 算：(
16、结果写成幂的形式) (-2)4(-2)5 = ( ) 3 ( ) 2 = (a+b)2 (a+b)5 =,强化练习二：,(-2)9,(a+b)7,( ) 5,加油啊！,= -29,计 算： 232( ) = 27 a( ) a2 = a8 bm b( ) = bm+n,强化练习三：,4,6,n,你真棒！,am an = am+n (m、n为正整数), am+n = am an (m、n为正整数),已知：am=2， an=3.求am+n =？.,动脑筋,解： am+n = am an =2 3=6,根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空： （1） (23 )2 = 23 23 =2( ) （2） (
17、am )n = a( ) (m、n为正整数),探索思考：,6,mn,今天，我们学到了什么？,同底数幂的乘法： am an = am+n (m、n为正整数),小结,同底数幂相乘，底数不变，指数相加。,1.4 幂的乘方与积的乘方（一）,知识回顾,指数,幂,底数,am an,=am+n,同底数幂相乘底数 ，指数 .,不变,相加,102 的意义是什么？把 102 看成底数，则(102)3 的意义是什么？怎样计算(102)3 ？,想一想：,计算下列各式，并说明理由,（1）,（2）,（3）,（4）,n个,n个m,幂的乘方，,底数不变，,指数相乘。,n个,n个m,知识点一：,注：公式中的a可以是单项式，也可
18、以是多项式！,例1 计算：,解：,随堂练习,课本 P18 1计算,判断题：,（1）（）,（2）（）,（3）（）,（4）（）,（5）（）,（6）（）,进行幂的运算时要注意什么?,3计算：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,拓展：,幂的乘方：(am)np=amnp,逆公式：,知识点二：,练习：,2. 8x32y=,a3n=5 , b2n=3；求a6nb4n的值,4. 若3x+5y=3，则8x32y的值 。,已知x2n=3，求（3x3n）2-4(x2)2n的值,例题解析,例题解析,阅读 体验 ,1、若（x2）n=x8，则m=_.2、若（x3）m2=x12，则m=_。3、若xmx2m=2
19、，求x9m的值。 4、若a2n=3，求（a3n）4的值。 5、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.,小结,2弄清同底数幂相乘与幂的乘方的区别：前者是指数，后者是指数,1本节主要学习幂的乘方性质,（m、n是正整数）,幂的乘方，,底数不变，,指数相乘。,相乘,相加,拓展与提高,1.计算：,你能比较的大小吗？,作业：,课本习题.5 1、2,快乐学习目标,1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义2、了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些实际问题。,1.5同底数幂的除法,探究一下下,你能计算下列两个问题吗?(填空),2,2,2,2,2,2,2,2,2,5-3,a,1,3
20、-2,a,a,a,a,am-n,（4）能不能证明你的结论呢？,(mn)个a,m个a,n个a,同底数幂相除，底数不变，指数相减即,同底数幂的除法法则:,条件：除法 同底数幂结果：底数不变 指数相减,注意:,（5）讨论为什么a0？m、n都是正整数，且mn ？,归纳法则,一般地，同底数幂相除的法则是： 同底数幂相除，底数不变，指数相减。,（a0，m,n都是 正整数，且mn),热身,(1) a9a3,=a9-3 = a6,(2) 21227,=212-7=25=32,(3) (- x)4(- x),=(- x)4-1=(- x)3= - x3,=(- 3)11-8=(- 3)3=- 27,注意：1、首
21、先要判定是同底数幂相除，指数才能相减2.题目没有特殊说明结果形式要求的，都要化到最简。,补充：本教科书中，如果没有特别说明的，含有字母的除式均不零。,一起去探险吧,数学游艺园,(1) s7s3,=s4,(2) x10x8,=x2,(3) (-t)11(-t)2,=（-t）9,(4)(ab)5(ab),=（ab）4,=-t9,=a4b4,(5) (-3)6(-3)2,=81,(6)a100a100,=1,=(-3)4,=34,指数相等的同底数（不为0）幂相除，商为多少？,1,比a除以b小2的数,(7) x7.( )=x8,x,(8) ( ).a3=a8,a5,(9) b4.b3.( )=b21,
22、(10) c8( )=c5,b14,c3,（1） a6 a3 = a2,( ),a6 a3 = a3,（） a5 a = a5,( ),a5 a = a4,( ),（） -a6 a6 = -1,（-c）4 （-c）2 c2,判断,(am)n= (m、n都是正整数),(ab)n =,anbn,（m,n都是正整数）,积的乘方法则,amn,同底数幂的除法运算法则：,am an = am-n (a0，m、n为正整数，mn),回忆城,幂的运算法则,例2 计算：（1）（2）（3）（4）,乘除混合运算的顺序与有理数混合运算顺序相同（即“从左到右”）.若底数不同，先化为同底数，后运用法则可以把整个代数式看作底
23、运算结果能化简的要进行化简,教你几招,攀登高峰,比一比，赛一赛,比一比，赛一赛,a与b的和的平方,（2）y8（y6y2),注意：在应用同底数幂相除的法则时，底数必须是相同的,计算洋葱细胞分裂时间,经染色的洋葱细胞，细胞每分裂一次，1个细胞变成2个细胞。洋葱根尖细胞分裂的一个周期大约是12时，210个洋葱根类细胞经过分裂后，变成220个细胞大约需要多少时间？,220210=,1012=120（小时）,金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最亮的一颗星。金星离地球的距离为4.2107千米时，从金星射出的光到达地球需要多少时间？,目前，光的速度是多少？,练一练：,思考,
24、已知：am=3,an=5. 求：am-n的值 (2)a3m-2n的值,解:(1) am-n= am an= 3 5 = 0.6,(2) a3m-2n= a 3m a 2n = (am)3 (an)2 =33 52=27 25 =,拓展思维,（1） 已知 ax=2,ay=3,则ax-y= a2x-y= a2x-3y= 10a=20,10b=0.2,试求9a32b的值？ 已知 2x-5y-4=0,求4x32y的值？,同底数幂除法的性质,am an = am-n (a0，m、n为正整数，mn),蓦然回首,成果展示小结,1.同底数幂相除的法则：2.注意a0,m,n都是正整数，且mn.3.幂的四个运算法则：,同底数幂相乘：指数相加。幂的乘方：指数相乘。积的乘方：同底数幂相除：指数相减。,
