1、几何图形的计数【点与线的计数】例 1 如图 5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1 个，其下行线有 2 点；第二排三角形有 3 个，其下行线有 3 点；第三排三角形有 5 个，其下行线有 4 点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。所以是小三角形个数多。例 2 直线 m 上有 4 个点，直线 n 上有 5 个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图 5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只
2、要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。直线 n 上有 5 个点，这 5 点共可以组成 43+21=10（条）线段。以这些线段分别为底边，m 上的点为顶点，共可以组成 410=40（个）三角形。同理，m 上 4 个点可以组成 6 条线段。以它们为底边，以 n 上的点为顶点可以组成 65=30（个）三角形。所以，一共可以组成 70 个三角形。【长方形与三角形的计数】例 1 图 5.47 中的正方形被分成 9 个相同的小正方形，它们一共有16 个顶点，以其中不在一条直线上的 3 点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为
3、3的三角形，或者高为 2，底为 3 的三角形，都符合要求。底边长为 2，高为 3 的三角形有 244=32（个）；高为 2，底边长为 3 的三角形有 82=16（个）。所以，包括图中阴影部分三角形共有 48 个。例 2 图 5.48 中共有_个三角形。（现代小学数学）邀请赛试题）讲析：以 AB 边上的线段为底边，以 C 为顶点共有三角形 6 个；以 AB 边上的线段为底边，分别以 G、H、F 为顶点共有三角形 3 个；以 BD 边上的线段为底边，以 C 为顶点的三角形共有 6 个。所以，一共有 15 个三角形。例 3 图 5.49 中共有_个正方形。（现代小学数学邀请赛试题）讲析：可先来看看图
4、 5.50 的两个图中，各含有多少个正方形。图 5.50（1）中，正方形个数是 635241=32（个）；图 5.50（2）中，正方形个数是 44+33+2211=30（个）如果把图 5.49 中的图形，分成 56 和 411 两个长方形，则：56 的长方形中共有正方形56+45342312=70（个）；411 的长方形中共有正方形411+310+2918=100（个）。两个长方形相交部分 45 的长方形中含有正方形45+342312=40（个）。所以，原图中共有正方形 70100-40=130（个）。例 4 平面上有 16 个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等如图 5.51
5、（1），每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成_个正方形。（小学生科普报奥林匹克通讯赛试题）讲析：能围成图 5.51（2）的正方形共 14（个）；能围成图 5.51（3）的正方形共 2（个）；能围成图 5.51（4）的正方形共 4（个）。所以，一共可围成正方形 20 个。【立体图形的计数】例 1 用 125 块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图 5.52）。那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_。（1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：本题要注意不能重复计数。八个顶点上各有一个黑色正方体，共 8 个；每条棱的中间有一个黑色正方体，共 12 个；除上面两种情况之外，每个面有 5 个黑色正方体，共 56=30（个）。所以，总共有 50 个黑色正方体露在表面上。例 2 把 1 个棱长为 3 厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成_个小正方体。（北京市第九届“迎春杯小学数学竞赛试题）讲析：若分成的小正方体，则共可分成 27 个。但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。则在开始的时候，可分出一个 222 的正方体（如图5.53），余下的都只能分成 111 的正方体了。所以，最少可分成 20 个小正方体。
