1、奇数偶数与奇偶性分析【奇数和偶数】例 1 用 l、2、3、4、5 这五个数两两相乘，可以得到 10 个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到 3 个不同的奇数积。而偶数积共有 7 个。所以，乘积中是偶数的多。例 2 有两组数，甲组：1、3、5、7、9、23；乙组：2、4、6、8、10、24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到_个不同的和。（现代小学数学邀请赛试题）讲析：甲组有 12 个奇数，乙组有 12 个偶数。甲组中任意一个数与乙组中任意
2、一个数相加的和，必为奇数，其中最大是 47，最小是 3。从 3 到 47 不同的奇数共有 23 个。所以，能得到 23 个不同的和。本题中，我们不能认为 12 个奇数与 12 个偶数任意搭配相加，会得到 1212=144（个）不同的和。因为其中有很多是相同的。【奇偶性分析】例 1 某班同学参加学校的数学竞赛。试题共 50 道。评分标准是：答对一道给 3 分，不答给 1 分，答错倒扣 1 分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。（全国第三届从小爱数学邀请赛试题）讲析：如果 50 道题都答对，共可得 150 分，是一个偶数。每答错一道题，就要相差 4 分，不管答错多少道题，4 的倍数总是偶数。1
3、50 减偶数，差仍然是一个偶数。同理，每不答一道题，就相差 2 分，不管有多少道题不答，2 的倍数总是偶数，偶数加偶数之和为偶数。所以，全班每个同学的分数都是偶数。则全班同学的得分之和也一定是个偶数。例 2 5 只杯子杯口全都朝上。规定每次翻转 4 只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下？（美国小学数学奥林匹克通讯赛试题）讲析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必须翻转奇数次。要想 5 只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，则翻动的总次数也一定是奇数次才能办得到。现在每次只翻转 4 只杯子，无论翻多少回，总次数一定是偶数。所以，不能使杯口全部朝下。例 3 某班共有 25 个同学。坐成 5 行
4、 5 列的方阵。我们想让每个同学都坐到与他相邻的座位上去。（指前、后、左、右），能否做得到？（广州市小学数学竞赛预赛试题）讲析：如图 5.44，为了方便，我们将每一格用 A 或 B 表示，也就是与 A 相邻的用 B 表示，与 B 相邻的用 A 表示。要想使每位同学都坐到相邻座位上去，也就是说坐 A 座位的同学都要坐到 B 座位上去，而坐 B 座位上的同学都要坐到 A 座位上去。但是，A 座位共 13 个，而 B 座位共 12 个，所以，不管怎样坐，要想坐 A 座位的同学都坐到 B 座位上去，是办不到的。例 4 线段 AB 的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色。在线段中间插入 1991 个分点，每个分点随意标上红色或蓝色。这样分得 1992条不重叠的小线段，如果把两端点颜色不同的小线段叫做标准线段，那么标准线段的条数是奇数还是偶数？（1992 年长沙市小学数学竞赛预选赛试题）讲析：每插入一个点，无论其颜色怎样，其非标准线段的条数增加0 条或 2 条，所以插入 1991 个点后，非标准线段增加总数是一个偶数。又原非标准线段条数为 1，是一个奇数，故最后得到的非标准线段必为奇数。非标准线段条数+标准线段条数=1992 条。所以，标准线段的条数是奇数。
