1、一方法综述数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二解题策略类型一 数列求和中的新定义问题【例 1】【2018 届广东省中山市第一中学高三月考】定义 为 个正数 ， ， ， 12np 1p2的“均倒数”，若已知数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则npna
2、 4ab（ ）123420178bbA. B. C. D. 05661207所以 ，1234201781112072320788bb 故选 C【答案】C【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2.解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1
3、）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.【举一
4、反三】【2018 安徽省巢湖市柘皋中学第三次月考】已知数列 的前 项和为 ，定义 为nanS1niS数列 前 项的叠加和，若 2016 项数列 的叠加和为 2017，则 2017 项数列na1232016,a的叠加和为( )12016,A. 2017 B. 2018 C. D. 20728故选 A【答案】A类型二 子数列中的求和问题【例 2】【河南省南阳市 2018 届高三上学期期中质量评估】已知有穷数列 中， ，na1,23,79且 ，从数列 中依次取出 构成新数列 ，容易发现数列 是以-12nnana2514,a bnb3 为首项，-3 为公比的等比数列，记数列 的所有项的和为 ，数列 的
5、所有项的和为 ，则（ nSnT）A. B. C. D. 与 的大小关系不确定STSSTS【解析】因为 ， 72813572919s，所以 ，当 时， 是 中第 365 项，符合题意，nnnb6n672bna所以 ,所以 ，选 A. 65413TST【答案】A【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.【举一反三】【安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学 2018 届高三第四次考试】已知 ，集合*nN，集合 的所有非空子集的最小元素之和为 ，则使得 的最小正整13521,48nnM nMnT80数 的值为（ ）A. B. C. D. 123145 =S1+S
6、2+S3+Sn= + 则 的最小正整数 为 13 nT12237531.24n280n故选 B【答案】B类型三 奇偶性在数列求和中的应用【例 3】【江苏省淮安中学 2018 届高三数学月考】已知函数 ，且2cosfn，则 _1naffn123a 10a【解析】 为偶数时， ； 为奇数时， ；nn221nan123 105792501【答案】-100【指点迷津】数列求和中遇到 ， ， 都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化n)(sincos法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如 ）及符号型（如 ）,2na为
7、 奇 数为 偶 数 21nna【举一反三】【黑龙江省大庆实验中学 2018 届高三上学期期中考试】设数列 的前 项和为 ,已知nnS, ,则 _2a12nna40S【答案】240类型四 周期性在数列求和中的应用【例 4】【2018 陕西西安长安区五中二模】数列 满足 ，则数列 的na12sin12nnana前 100 项和为_【答案】5100【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有 ，于是考虑到三角函数的周期性，构造 ，周sin2sin2f期为 4，于是研究数列中依次 4 项和的之间的关系，发现规律，从而转化为
8、熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 【举一反三】已知数列 满足 则该数列的前 项的和n22122,1cossin,naa21为_【解析】 为奇数时， ；n22cos0si1，为偶数时， ；21in，所以 为奇数时有 ； 为偶数时 ;2na 2na即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列. 所以.10210 12135214620 2S13 62aa 【答案】类型五 数列求和的综合问题【例 5】【2017 届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟】数列 满足na，则 的整数部分是_2*114,3nnaaN122017aa【答案】2
9、【指点迷津】本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为 ，再借11nnnaa助数列的单调性是解答的关键.【举一反三】【2017 福建外国语学校高三月考】已知数列 满足 （ ），若nx21|nnx*N， （ ， ），且 对于任意正整数 均成立，则数列 的前 2015 项和1x2a103nx的值为 （用具体的数字表示）205S【答案】 134三强化训练1【江西省新余市第一中学 2017 届高三高考全真模拟
10、考试】数列 是以 为首项， 为公比的等比naq数列，数列 满足 ，数列 满足nb121,2nna c，若 为等比数列，则 （ ）12,nc cqA. B. 3 C. D. 65【答案】B【解析】由题意， ，则 ，得1nab11nnnabab,要使 为等比数列，必121nn baCn122bnC有 ，得 ，故选 B.201ba1,32ab2.【江西省赣州市南康中学 2018 届高三月考】已知数列： ，即此数列1,2,4,8124,6.第一项是 ，接下来两项是 ，再接下来三项是 ，依此类推，设 是此数列的前 项02012, 0 nSn的和，则 （ ）017SA. B. C. D. 64636456
11、352【答案】A【解析】将数列分组：第一组有一项 ；第二组有二项 ；第 项有 项 ，前0201+n012+21n项组共有 ， 6364201 01012015217+2.S12630. 63+，故选 A. 63646423.【2017 届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模】已知数列 的通项公式为na，其前 项和为 ，则 （ ）*12cos1NnnannS60A. B. C. D. 306902【答案】D4.【福建省福州第一中学 2017 届高三 5 月质检】已知数列 满足 ， （， ），则 的整数部分是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】 ，所以可得 ，1211,nna
12、a111122iiiiiaaa20171232342015620171206172016720167. =4iiaaaaaa ， 的整数部分是 ， 故选 B.207i0721ii5.【2017 届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试数学】已知函数 ，且2cosfn，则 （ ）naffn1210a A. B. C. D. 10【答案】A6.【2017 届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三 2 月联考】数列 满足，且 ，记 为数列 的前 项和，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 得 ,所以数列 为等差数列，因此,因此 ,选 D.7.【2018 届安徽池州一中月考】在数列 中，若
13、存在非零整数 ，使得 对于任意的正整数naTmTa均成立，那么称数列 为周期数列，其中 叫做数列 的周期，若数列 满足mnaTnanx，如 （ ），当数列 的周期最小时，该数列的11|(2,)nnxN12,x,0R前 2016 项的和是（ ）A672 B673 C1342 D1344【答案】D8.【湖南省长沙市长郡中学 2018 届高三第三次月考】已知函数（ ），若数列 满足12,1, 2nxsinfx Nnna，数列 的前 项的和为 ，则 （ ）*NmafmamS10596SA. 909 B. 910 C. 911 D. 912【答案】A【解析】函数 ，数列 满足12,1 ,2nxsinfx nN na， *mafN10596798105.Sa，故选 A.4849522.2sinsinsin9.【贵州省遵义市遵义四中 2018 届高三第三次月考】在数 1 和 2 之间插入 个正数，使得这 个数构n2n
