1、数值分析,第八章 数值积分,一、 Newton-Cotes求积公式,三、 Romberg求积法,二、 复化求积公式,四、 Gauss求积公式,例 运用复化梯形公式, 复化Simpson公式,和复化Cotes公式计算 要使精度达到,则N应各取多少？,解：,先计算 的各阶导数:,那么，当 时,由复化梯形公式余项公式可得,得 N129.10，取 N=130.,由复化Simpson公式余项公式可得,得 N3.9，取 N=4.,由复化Cotes公式余项公式可得,得 N1.3，取 N=2.,例 给定积分,(1) 利用复化梯形公式，使其精度达到,(2) 取同样的节点，改用复化Simpson公式计算时，误差是
2、多少？,(3) 要求误差不超过 , 利用复化Simpson计算，要取多少个节点？,解：,(1)由复化梯形公式余项公式可得,即,得 N7.452，取 N=8，此时,(2) 对于同样节点用复化Simpson公式时,所以,(3) 要求误差不超过 ,即,得 N2.887，取 N=3. 即至少要三等分,则一共有23+1=7个节点.,例 若用复化梯形公式计算积分,应将区间多少等分，才能保证计算结果有五位有效数字？,解：,五位有效数字即精度为,那么由复化梯形公式余项公式可得,解得 N 67.309，取N=68，即将区间68等分.,太大,利用复化梯形公式、复化simpson公式、复化Cotes公式等计算定积分
3、时，如何选取步长 h?,解决办法：采用 变步长算法,通常采取将区间不断对分的方法, 即取 n = 2k ,反复使用复合求积公式, 直到相邻两次计算结果之差的绝对值小于指定的精度为止.,三、 Romberg求积法,1 变步长的梯形公式,步长折半：xi , xi+1/2, xi +1/2 , xi+1,将a, b分成n等分xi , xi+1 ，,n = 20, 21, 22, ,xi,xi +1,xi +1/2,解：,例：用变步长梯形公式计算积分 ，要求计算精度满足,例：用变步长梯形公式计算积分 ，要求计算精度满足,准确值1.609437912434100,T(1)=2.400000000 T(2
4、)=1.866666667 T(3)=1.683333333 T(4)=1.628968254 T(5)=1.614406324 T(6)=1.610685896 T(7)=1.609750286 T(8)=1.609516030 T(9)=1.609457443 T(10)=1.609442795 T(11)=1.609439133 T(12)=1.609438218 T(13)=1.609437989 T(14)=1.609437932,变步长梯形法算法简单，编程方便,梯形法的加速龙贝格(Romberg)算法,变步长梯形法中止依据,但收敛速度较慢.,由 来计算 效果是否会更好些？,= (4
5、*0.945690864 - 0.944513522)/3 = 0.94608331,精确值：0.946083070367,事实上,同理可得,一般地，有,龙贝格公式,2 龙贝格(Romberg)求积公式,注：(1)上述加速技巧称为龙贝格求积算法； (2)每加速一次，计算精度提高二阶； (3)该技巧可以不断继续下去，但通常最多用到龙贝格公式., ?, ?,3时, 可用数值方法计算Pn+1(x)的零点,设 f (x) Ca, b,作变量替换x =(b- a) t/2+(b + a)/2,则t-1, 1,其中xi和i分别为Gauss点和Gauss系数.,例：用Gauss-Legendre求积公式计算
6、,解：,令 x = (t + 1)/2，则t-1, 1,两点G-L公式：,三点G-L公式：,0.946083070.,与前面求积方法的比较,复合梯形公式：用了 210+1 个节点达到 7 位有效数字,Romberg公式：用了 9 个节点达到 7 位有效数字,G-L公式：用了 3 个节点达到 7 位有效数字,G-L求积公式的优点：,计算精度高；可计算无穷区间上的积分和奇异积分.,G-L求积公式的缺点：,需计算Gauss点和Gauss系数;增加节点时需重新计算.,在-1, 1上关于(x)正交的多项式: Chebyshev多项式,取其n+1个零点作为Gauss 点，即可得Gauss-Chebshev
7、 求积公式.,设 ,f (x)C-1, 1,考虑Gauss型,3 Gauss-Chebyshev公式,求积公式,G-C求积公式中的 Gauss点和 Gauss系数,(i = 0, 1, , n),余项,， (-1,1),定理,分别为,n = 0:,n = 1:,0=1= /2,n = 2:,两点G-C公式,三点G-C公式,0=1= /3,几个简单的 G-C 公式,例：用Gauss-Chebyshev求积公式计算下面的定积分，要求误差不超过10-6.,解：,由余项公式得,五点G-C公式：,3.97746326051.,当n=4时,= 3.97746325878,解：,分别取f (x) = 1, x, x2, x3 ,使公式精确成立,例：构造形如,的Gauss型求积公式.,4 一般Gauss公式的构造,得,
