1、九年级数学(上)第三章 证明(三),1.平行四边形(2)平行四边形的性质,等腰梯形的性质与判定,驶向胜利的彼岸,学好几何标志是会“证明”,证明命题的一般步骤:,(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);,(2)根据题意,画出图形;,(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;,(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);,(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;,(6)检查表达过程是否正确,完善.,我思，我进步！,利用前面学过的公理和定理,我们可以证明许多与四边形的有关结论.,如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,
2、四边形EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗?,平行四边形的性质,你还记得我们探索过的平行四边形的性质及判别条件吗?你能利用公理和已有的定理证明它们吗?,平行四边形的性质,定理:平行四边形的对边相等.,已知:如图,四边形ABCD是平行四边形.,求证:AB=CD,BC=DA.,分析:要证明AB=CD,BC=DA可转化全等三角形的对应边来证明,于是可作辅助线来达到目的.,证明:连接AC.,四边形ABCD是平行四边形,ABCD,BCDA.,1=2, 3=4.,AC=CA,ABCCDA(ASA).,AB=CD,BC=DA.,从上面的证明过程,你还能得到什么结论?,平行四边形的性质
3、,定理:平行四边形的对角相等.,已知:如图,四边形ABCD是平行四边形.,求证:BAC=BCD, B=D.,1=2, 3=4.,证明:,ABCCDA(已证).,B=D.,BAC=BCD.,平行四边形的性质,定理:平行四边形的对角线互相平分.,已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O.,求证:CO=AO,BO=DO.,分析:要证明AO=CO,BO=DO可转化全等三角形的对应边来证明.,证明:,四边形ABCD是平行四边形,BCDA.,1=2, 3=4.,BC=DA,BOCDOA(ASA).,CO=AO,BO=DO.,平行四边形的性质,定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.
4、,已知:如图,直线MNPQ,线段ABCD,且AB,CD与MN,PQ分别相交于点A,D,B,C.,求证:AB=CD.,分析:可利用平行四边形边的对边相等来证明.,证明:,MNPQ,ABCD.,四边形ABCD是平行四边形.,AB=CD.,等腰梯形的性质,定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.,已知:如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC.,求证:A=D, B=C.,分析:可将两个角转化为同一三角形的内角,利用等腰三角形等边对等角来证明,于是可过D作AB的平行线.,证明:过点D作DEAB,交BC于点E.,1=B.,四边形ABED是平行四边形.,AB =DE.,AB =DC,DE =DC.,1=C
5、.,ADBC,DEAB,B =C.,A+B =1800,ADC+C =1800.,A=ADC.,等腰梯形的性质,定理:等腰梯形的两条对角线相等.,已知:如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC.,求证:AC=DB.,分析:可转化为利用全等三角形的对应边相等来证明.,证明:,ABC=DCB., AB=DC.,BC=CB,ABCDCB(SAS).,AC=DB.,ADBC,AB=DC,等腰梯形的判定,定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.,已知:如图,在梯形ABCD中,ADBC, B=C.,求证:AB=DC.,分析:可将两个角转化为同一三角形的内角,利用等腰三角形等角对等边来证明,于是可过
6、D作AB的平行线.,证明:过点D作DEAB,交BC于点E.,1=B.,1=C., DE =DC.,ADBC,DEAB,四边形ABED是平行四边形。,AB=DE.,B=C.,AB =DC.,等腰梯形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.,已知:如图,在梯形ABCD中,ADBC,AC=DB.,求证:AB=DC.,分析:设法将两条相等的线段转化在同一三角形中,利用全等三角形的对应边相等来证明.于是可过点D作AC的平行线.,证明:过D作DEAC,交BC的延长线于点E.,DE=AC,1=E.,AC=DB,DB=DE.,2=E.,1=2.,ADBC, DEAC,ABCDCB(SAS
7、).,AB=DC.,BC=CB,平行四边形的性质,定理:平行四边形的对边相等.,证明后的结论,以后可以直接运用.,四边形ABCD是平行四边形.AB=CD,BC=DA.,定理:平行四边形的对角相等.,四边形ABCD是平行四边形.A=C, B=D.,定理:平行四边形的对角线互相平分.,四边形ABCD是平行四边形.CO=AO,BO=DO.,定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.,MNPQ,ABCD,AB=CD.,等腰梯形的性质,定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.,定理:等腰梯形的两条对角线相等.,在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,AC=DB.,在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,A=D,
8、 B=C.,证明后的结论,以后可以直接运用.,等腰梯形的判定,定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.,在梯形ABCD中,ADBC,A=D或B=C,AB=DC.,定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.,在梯形ABCD中,ADBC,AC=DB.AB=DC.,证明后的结论,以后可以直接运用.,知识的升华,P76习题3.1 1,2题.祝你成功！,P76习题3.1 1题,1.已知:如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别交于点E,F.,求证:OE=OF.,证明:,OB=OD,ADBC., 1=2.,3=4,BOFDOE(ASA).,OE=OF.,四边形ABCD是平行四边形,分析:要证明OE=OF,可转化全等三角形的对应边来证明.,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.,
