1、现代控制理论Modern Control Theory第5 章：线性定常系统的综合第5 章：线性 定常 系统 的综 合问题1：什么是极点配置？经典控制理论中，采用传递函数模型，利用输出量作为反馈量，改变系统的极点，称为极点配置。U s G s H s s a s a s aWsY s G s b s b s bnnnnn()1+()()()()()1 1 011 1 01 极点位置直接决定了闭环系统的性能问题2：为什么要采用极点配置？实部决定收敛速度，虚部决定振荡强度 对极点是否可以配置的研究，解决了控制是否有解的问题问题3：什么样的系统可以采用极点配置？如果可以，如何配 置？状态反馈、输出反
2、馈、5.2 极点配置5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点bv y=cx bK x A x()K 是1 n 维的矢量1.状态反馈的极点配置问题给定n阶线性定常系统：确定状态反馈控制u=kx+v，使得状态反馈闭环系统的极点为期望值。A b c(,)0 x Ax bu y=cx x t(0)0 0 n,12 为期望的闭环极点(实数极点或共轭复数极点)ini(1,2,)I A bK det()状态反馈闭环系统的特征多项式：f a a aiinnnn()()11 1 01期望极点所决定的期望的特征多项式：I A bK f det()()要求：解读：解决两个问题：1）极点任意配置的条件 2）极点任意配
3、置的方法5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点能将 化成能控标准I 型：0y c xx Ax bu 1)若 完全能控，必存在非奇异变换：0 x T x cI式中b T b cI1001A T AT a a a ancI cI0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 2 11c cT b b bcI n(,)0 1 1W c I A b s a s a s assb s b s b s bnnnnnnn()()1 1 0101 2 1 0112受控系统 的传递函数为：0充分性：定理3 采用状态反馈对系统 任意 配置 全 部 极 点 的充要条件是 完全能控。A b c(,)0 02.状态
4、反馈极点可配置的条件能控任意配置极点I A bK f det()()，T A b A b Ab b a a aaaancnnn11()111 2 12311215.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点2)加入状态反馈增益阵：K k k kn(,)0 1 1可求得对 的闭环状态空间表达式：xy c xx A b K x b v()W c I A bK b s a k s a k s a kssb s b s b s bnnnnknnnn()()()()()1 1 1 1 0 011 2 1 0112闭环传递函数为：式中A b K a k a k a k a knn()()()()0 0 0 10
5、 0 1 00 1 0 00 0 1 1 2 2 1 1仍然是能控标准型闭环特征多项式为：I A b K f a k a k a knnnn()()()()()1 1 1 1 0 01可通过调节 K 的各 元素值来调整特征方程的系数，所以 的特征值可以任意选择，即极点可以任意配置。A b K 5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点3)闭环极点与期望极点相符，要满足：f f a a aiinnnn()()()11 1 01由等式两边 同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各系数：k a a i ni i i(0,1,1)得：K a a a a a ann,0 0 1 1 1 14)把对应于 的 通过
6、逆变换，得到对应于状态 的。x KxKK K T cI1x T x cIx T x cI1T x A b K T x b vcI cI()11x A b K x b v()x T A b K T x T b vcI cI cI()1T AT T b KT x T b vcI cI cI cI cI()11A bK x b v()b b可找到状态反馈矩阵，使系统极点为期望极点，即极点可以任意配置。K K T cI1充分性得证5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点必要性：任意配置极点 能控反证法，已知极点可以任意配置，反设系统不完全能控。由于系统不完全能控，故存在非奇异线性变换阵 Rc,对系统进
7、行能控性分解而导出：AA R ARAA cccc0112b R bb cc01对于任一状态反馈矩阵，有。K K K,12 K KR K K c,12 I A bK I R A bK R ccdet()det()1特征多项式：I R AR R b KR c c c cdet()()11IAI A b K A b K cc c c0det1 12 2I A b K I A c c cdet det 15.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点 实际问题中，几乎所有的系统都是可控的，因此，通常总可以利用状态反馈来控制系统的特征值，即振型，这是状态反馈的重要特征之一。若系统不完全能控，则不能控部分的状态
8、变量将不受输入量的控制，其对应的极点是不可配置的。I A b K I A c c cdet det 1 状态反馈 不能 改变 系 统 不 能 控 部 分 的 特 征 值，系统不能任意配置全部极点。与系统可任意配置极点的已知条件矛盾，故反设不成立，即系统是完全能控的。必要性得证5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点3.极点配置方法步骤：规范算法1）判断被控系统的能控性：2）计算原系统的特征多项式：3）计算期望极点决定的期望特征多项式：4）计算能控标准型下系统的状态反馈矩阵：5）计算能控标准I 型的变换矩阵：6）计算状态反馈矩阵：f a a annn()1 1 01KK a a a a a an
9、n,0 0 1 1 1 1Q rankocK K T cI1，T A b A b Ab b a a aaaancnnn11()111 2 1231121 f a a aiinnnn()()11 1 015.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点例：设受控对象传递函数：利用状态反馈使闭环极点配置在-2，-1j。解：1）判断系统的能控性 xxx x uxx0 0 2 10 1 1 00 1 0 0332211A 0 0 20 1 10 1 0b 100Q b Ab A b rankoc(,)32能控Q b Ab A b oc1 2 4(,)0 1 30 0 12x y 10 0 0 5.2 极点配置
10、一、采用状态反馈配置极点闭环极点：-2，-1j。f j j()(2)(1)(1)4 6 4*3 23）计算期望的特征多项式：A 0 0 20 1 10 1 0b 1004）计算能控标准型下系统的状态反馈矩阵：0 4,2 6,3 4 k a a a a a a,0 0 1 1 2 2 4,4,12）计算原系统的特征多项式：IA f()0 0 20 1 110(1)(2)3232 a a a 0,2,30 1 25.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点6）计算状态反馈矩阵：k kT c11 0 1 1 4,4,1 0 1 01 0 0 4,3,15）计算能控标准I 型的变换矩阵：T A b Ab
11、b aaac1 4 2 1 2 3 1(,)1 0 3 1 0 3 1 01 0 0 1 0 0 1 0 0121220 1 10 1 01 0 0T c0 1 10 1 01 0 011A 0 0 20 1 10 1 0b 1005.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点3.极点配置方法步骤：解联立方程待定系数法（系统维数较低）1）判断被控系统的能控性：2）计算状态反馈系统闭环特征多项式：3）计算期望极点的特征多项式：4）根据 求出K。Q rankocI A bK f()()0 f a a annn()1 1 0*1 ff()()*5.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点例：设受控对象传递函数
12、：利用状态反馈使闭环极点配置在-2，-1j。解：1）判断系统的能控性2）设状态反馈阵，计算状态反馈系统闭环特征多项式：k k k k0 1 2 I A bk f k k k k()()(3)(2)2 1 2 032Q b Ab A b rankoc(,)32能控 xxx x uxx0 0 2 10 1 1 00 1 0 0332211x y 10 0 0 A 0 0 20 1 10 1 0b 1005.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点4）根据 求出；ff()()*k k k,0 1 2 kkkk342642120k 4 3 1 k k k k(3)(2)4 6 42 1 2 03 2 3
13、2 kkk1342103）由期望的闭环极点写出期望的状态反馈系统的特征多项式：闭环极点：-2，-1j。f j j()(2)(1)(1)4 6 4*3 25.2 极点配置一、采用状态反馈配置极点引入状态反馈后闭环系统的传递函数：W s a s a s asb s b s b s bnnnonnnn()1 1 011 2 1 012W c I A b bK k k k s a s a s assb s b s b s bnnnknnnnn()()()()()1 1 0 1 1 011 2 1 0112单输入单输出受控系统 的传递函数为：A b c o(,)W c I A b sso()()1的对应的传递函数：0 相同改变k 调配极点4.状态反馈对传递函数零点的影响 对于 单输 入 系 统，状 态 反 馈 不 改 变 系 统 零 点，但 可 能 改 变 系 统 的 能 观 测 性。当任意配置极点 导致零极点对消时，原有的观测性可能变为不能观测，也有可能使原有的不能观测性能变为能观测的。对象不含零点时，状态反馈自然能保持原有观测性能。
