1、4.2 圆管层流沿程水头损失 【学习目标 】 了解均匀流动方程式的推导过程， 熟悉圆管层流过流断面上均匀流动方程式，掌握圆管层流切应力分布，流速分布，沿程水头损失的计算。 4.2.1 均匀流动方程式 当圆管的断面沿程不变且处于顺直情况时， 当中的水流属于均匀流。 沿程阻力 （均匀流内部流层间的切应力） 是造成沿程水头损失的直接原因， 建立沿程水头损失和切应力的关系式，得出切应力的变化规律，从而解决沿程水头损失的计算问题。 截取圆管均匀流中的一段 （如图 4.5 所示） 为隔离体来进行分析。 从形式上， 把动力学问题转化为静力学问题。对隔离体进行受力分析。受到的力有： （1 ）动水压 力 两个过
2、水断面上的动水压力因为在同一平面上， 所以存在 C g p z / ， 则动水压强的的分布规律与静水压强的分布规律相同。假设 11 过水断面和 22 过水断面的动水压强分别为1p 和2p ， 则作用在 11 过水断面和 22 过水断 面的动水压力分别为11 1A p P ，2 2 2A p P ，方向垂直指向受压面。而作用在管流侧面的动水压力方向与流速方向垂直。 图 4-5 圆管 均匀流 （2 ）重力 重力大小为 AL G ，其 中 A 为过水断面面积， 作用力的方向铅直向下。 重力沿水流方向的分力为： ) ( cos cos2 12 1z z ALz zAL AL G （4-7 ） （3 ）
3、摩擦力 作用在侧面 的摩擦力的 大小为 L T 0 ，其 中，0 为切应 力， 为湿周 。作用力的 方向与水流方向相反。 因为该管流 是恒定均匀 流，没有加 速度，处于 静力平衡状 态，列出流 动方向的平 衡方 程式为： 0 cos2 1 T G P P （4-8 ） 即 0 ) (0 2 1 2 2 1 1 L z z A A p A p （4-9 ） 用 AL 去除式(4-9) 各项，并整理可得 R LgpZgpZ102211 （4-10 ） 以 00 为基 准面，列 11 断面和 22 断面的总流 能量方程 whgVgpZgVgpZ 2 222 2 2221 1 11 （4-11 ） 因
4、为是均匀流，gVgV2 222 221 1 ，f wh h 。 所以， gpZgpZ hf 2211 （4-12 ） 将式（4-12 ） 代入式（4-10 ）得 R Lhf1 或RLhf （4-13 ） 而水力坡降LhJf ，则 R J 0 （4-14 ） 由于水力半径20rR （0r 为圆管半径） ，则式 （4-14 ）可以 写成 200rJ （4-15 ） 式（4-13）及（4-14 ） 即为 均匀流动方程式， 表示沿程水头损失和切应力的关系。 对于无压均匀流， 按照上述的步骤同样可以推导出流动方向的平衡方程式， 结果同式 （4-13）及（4-14 ） 。所 以，方程对于有压流和无压流，层
5、流和紊流都适用。 4.2.2 圆管 层流过流断面上的切应力分布 取图 4-5 所 示的圆管，轴线与管轴重合，半径为r 的流束，用推导式（4-13 ）及（4-14 ）的方法得到圆管过流断面上的切应力方程式 gR J （4-16 ） 式中： 液体密度； R 半径为r 的流束的水力半径； J 半径为r 的流束的水力坡降，与总流的水力坡降J 相等，即 J J 。 由2Rr 及 J J ，将式（4-16 ）整理 为 2rg J （4-17 ） 将式（4-15）和 （4-17 ）两 式相比，得 00 rr （4-18 ） 式（ 4-18 ） 表 明圆管过流断面上的切应力呈直线分布， 在管轴处 0 r ，
6、0 ； 在管壁处0r r ，0 。 设管壁至任一圆筒液层的距离为y ， 则圆管切应力的分布为 0 0) / 1 ( r y （4-19 ） 对于二元明渠恒定均匀流，设其水深为h ，距渠 底任一点的水深为y ，切 应力公式为 0) / 1 ( h y （4-20 ） 可见，不论是管道恒定均匀流还是明渠恒定均匀流，过水断面上的切应力均呈直线分布。 4.2.3 圆管 层流过流断面上的流速分布 为了求得圆管层流过流断面上的流速分布， 可应用牛顿内摩擦定律drdu ， 代入式（4-17 ）中并 分离变量，得到过流断面流速微分方程 rdrJ gdu2 （4-21 ） 对式（4-21 ） 求积分，得到过水断
7、面的流速分布方程 C rgJu 24 （4-22 ） 其中 C 为积分常数，可由边界条件确定。在管壁处，0r r ， 0 u 。代入式（4-22 ）得积分常数4gJC 。将常数 C 值回代入式（4-22 ） ，得 ) (42 20r rgJu （4-23 ） 式（4-23 ）是 过水断面的流速分布方程，该方程是一抛物线方程，如图 4.6 所示。 图 4-6 圆管 层流流速分布 从图 4-6 中可 以看出， 管轴线上的流速最大， 管壁处的深度为零。 取 0 r ， 得轴线处最大流速 2020max16 4dgJ gJru （4-24 ） 式中，0d 为圆管直径。 圆管层流的流量为 4002 20
8、1282 ) (40dgJrdr r rgJudA QrA （4-25 ） 圆管层流断面平均流速 max2020402132 4/128u dgJd dgJAQV （4-26 ） 式（4-26 ）说 明，圆管层流最大流速是断面平均流速的两倍。 4.2.4 圆管 层流沿程水头损失的计算 将LhJf ， 代入式（4-26 ） ，可 求得沿程水头损失fh 2032gdLVhf （4-27 ） 从式 （4-27 ） 可以得出结论： 圆管层流的沿程水头损失与断面平均流速的一次方成正比，这一结论与雷诺实验中所得的结论完全一致。 将式（4-27 ） 进一步变换，可得 gVdLR gVdLVdgdLVhef2
9、64264 322 2020 （4-28 ） 令eR64 ，称为沿程阻力系数，则式(4-28) 可以改写成 gVdLhf22 （4-29 ） 式（4-29 ）是 计算圆管层流沿程水头损失的常用基本公式，称为维斯巴赫- 达西公式。 从eR64 可以看出，圆管层流的沿程阻力系数只和雷诺数有关，与管道的粗糙程度无关。 但是不要误认为沿程水头损失与速度的平方成比例。 而对于紊流而言， 需要根据实验确定。 对于非 圆管 RLhf4 gV22 （4-30 ） 例 4-2 某输 水管管径 100mm，管 长 1000m ， =0.18cm2/s ， 水流流 速 6.35cm/s，并 且 作层流运动。求（1
10、）管道 中心处的最大流速； （2 ）距离管道中心 20mm 处的流速； （3 ）沿程阻力系数 ； （4 ）管壁处切 应力及沿程水头损失。 解： （1 ）管 道中心处的最大流速 V u 2max =26.35=12.7cm/s （2 ）距离管 道中心 20mm 处的流速 将式 ) (42 20r rgJu 改写成2maxKr u u ，当 mm r 50 时， 0 u ，可得 51 . 0 K ，则当 mm r 20 时， s cm u / 7 . 10 ) 2 ( 51 . 0 7 . 122 （3 ）沿程阻力系数 雷诺数 VdRe1018 . 035 . 6=3532300 （层 流） 则沿程阻力系数 18 . 035364 64 eR （4 ）管壁处切应力及沿程水头损失。 沿程水头损失 mgVdLhf37 . 060 . 190635 . 01 . 0100018 . 022 2 管壁处切应力 0 008 . 9 1000100037 . 02 2rgLhrg Jf =0.09N/m2
