1、2014 年中考试题分类汇编（二次函数）含答案一、选择题1、（2014 天津市）已知二次函数 的图象如图所示，)0(2acbxy有下列 5 个结论： ； ； ； 0abc24cb； ，（ 的实数）其中正确的结论有（ bc32)(m1）BA. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个2、（2014 南充）如图是二次函数 yax 2bx c 图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为 x1给出四个结论：b 24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正确结论是（ ）B（A） （B） （C） （D）3、（2014 广州市）二次函数 与 x 轴的交点个数是（ ）B21yA0 B1 C2 D3
2、4、（2014 云南双柏县）在同一坐标系中一次函数 和二次函数yaxb的图象可能为（ ）A2yaxb5、（2014 四川资阳）已知二次函数 (a 0)的图象开口向上，并经过点(-2yxbc1，2)，(1 ，0) . 下列结论正确的是( )DA. 当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大B. 当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小C. 存在一个负数 x0，使得当 x x0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大D. 存在一个正数 x0，使得当 xx0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大6、（2014 山东日照）已知二次函数 y=x2-x+a(a0) ，当自变量 x 取 m 时，其相
3、应的函数值小于 0，那么下列结论中正确的是（ ）B(A) m-1 的函数值小于 0 (B) m-1 的函数值大于 0 (C) m-1 的函数值等于 0 (D) m-1 的函数值与 0 的大小关系不确定二、填空题1、（2014 湖北孝感）二次函数 y =ax2bx c 的图象如图 8 所示，且 P=| abc | 2ab |，Q=| abc | | 2ab |，则 P、 Q 的大小关系为 . PQ图 8O xyO xyO xyO xyA B C D2、（2014 四川成都）如图 9 所示的抛物线是二次函数的图象，那么 的值是 1231yaxa3、（2014 江西省）已知二次函数的部分图象如图所示
4、，则关于2m的一元二次方程 的解为 x20x ， ；1234、（2014 广西南宁）已知二次函数的图象如图所示，则点 在第 象2yaxbc()Pabc，限 三三、解答题1、（2014天津市）知一抛物线与x轴的交点是 、B（1，0），),2(A且经过点C（2，8）。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。解：（1）设这个抛物线的解析式为 cbxay2由已知，抛物线过 ，B（1，0），C （2，8）三点，得),2(A（3 分）解这个方程组，得8240cba 4,cba 所求抛物线的解析式为 （6 分）42xy（2） 29)1()(42 xy 该抛物线的顶点坐标为 29,12、（201
5、4 上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ，且过(14)A，点 (30)B，（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 轴的另一个交点的坐标x解：（1）设二次函数解析式为 ， 2(1)4yaxxyO第 4 题Oyx图 9yxO13（第 3 题）二次函数图象过点 ， ，得 (30)B， 4a1二次函数解析式为 ，即 21yx23yx（2）令 ，得 ，解方程，得 ， y212二次函数图象与 轴的两个交点坐标分别为 和 x(0)， )，二次函数图象向右平移 1 个单位后经过坐标原点平移后所得图象与 轴的另一
6、个交点坐标为 (4)，3、（2014 广东梅州）已知二次函数图象的顶点是 ，且过点 12， 302，（1）求二次函数的表达式，并在图 10 中画出它的图象；（2）求证：对任意实数 ，点 都不在这个m2()M，二次函数的图象上解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为 ， 2 分2(1)yax又点 在它的图象上，可得 ，解得 302， 32所求为 令 ，得21()yx0y123x，画出其图象如右 （2）证明：若点 在此二次函数的图象上，M则 得 2(1)m23m方程的判别式： ，该方程无解480所以原结论成立4、（2014 贵州省贵阳）二次函数 的图象如图 9 所示，根据图象解2(0)yaxbc答
7、下列问题：（1）写出方程 的两个根（2 分）20axbc（2）写出不等式 的解集（2 分）（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围（2 分）yx（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围（4 分）2axbckk解：（1） ， 123图 101 2 33210yx图 9xy32142O（2） 13x（3） （4） k5、（2014 河北省）如图 13，已知二次函数 的图像经24yaxc过点 A 和点 B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点 P（ m， m） 与 点 Q 均 在 该 函 数 图 像 上 （ 其 中 m 0） ， 且这 两 点 关
8、 于 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 ， 求 m 的 值 及 点 Q 到 x 轴的距离解：（1）将 x=-1，y =-1；x=3，y=-9 分别代入 得cay42解得 二次函数的表达式.349,)()(2ca.6,1c为 6xy（2）对称轴为 ；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入 ，得 ，64xy 642m解得 m 0， 不合题意，舍去12,61 m=6 点 P 与点 Q 关于对称轴 对称，点 Q 到 x 轴的距离为 66、（2014 四川成都）在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的xOy2(0)yabxc图象与 轴交于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，其顶点的横坐标
9、为xAB， BC1，且过点 和 (23)， 12)，（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线 与线段 交于点 （不与点 重合），则是否存在这:(0)lykxCDB，样的直线 ，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函BO， ， A数表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由；D（3）若点 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角P与 的大小（不必证明），并写出此时点 的横坐标 的取值范围CAPpx解：（1） 二次函数图象顶点的横坐标为 1，且过点 和 ，(23)， 12)，xyO 3911AB图 13yx11O由 解得124392.bac， ， 123.a
10、bc，此二次函数的表达式为 2yx（2）假设存在直线 与线段 交于点 （不与点 重合），使得以:(0)lkBCDBC，为顶点的三角形与 相似BOD， ， A在 中，令 ，则由 ，解得23yxy230x123x，令 ，得 (10)(A， ， ， 0x()，设过点 的直线 交 于点 ，过点 作 轴于点 lBCDE点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 (3)， (3)， A(10)，445.AO， ， 23BC要使 或 ，A O 已有 ，则只需 ， BBDC或 成立.CA若是，则有 而 3294BOD45OBCED，在 中，由勾股定理，得 RtE 22229EDE解得 （负值舍去） 94B
11、34B点 的坐标为 将点 的坐标代入 中，求得 D3， (0)ykxk满足条件的直线 的函数表达式为 l3或求出直线 的函数表达式为 ，则与直线 平行的直线 的函数表达式为ACyxACl此时易知 ，再求出直线 的函数表达式为 联3yxBODAC B3yxyxBEA OCD 1xl立 求得点 的坐标为 3yx， D394，若是，则有 而 23BOAC45OBCED，在 中，由勾股定理，得 RtE 2222()E解得 （负值舍去） 点 的坐标2BD 31为 (12)，将点 的坐标代入 中，求得 满足条件的直线 的函数表达式为(0)ykx2k lyx存在直线 或 与线段 交于点 （不与点 重合），使
12、得以:3lyx2BCDBC，为顶点的三角形与 相似，且点 的坐标分别为 或 BOD， ， A 394， (12)，（3）设过点 的直线 与该二次函数的图象交于点 (03)1CE， ， ， 3(0)ykxP将点 的坐标代入 中，求得 此直线的函数表达式1E， ykx为 yx设点 的坐标为 ，并代入 ，得 P(3)x， 23yx250x解得 （不合题意，舍去） 1250x， 51y，点 的坐标为 此时，锐角 (1)， PCOA又 二次函数的对称轴为 ，x点 关于对称轴对称的点 的坐标为 C(23)，当 时，锐角 ；当 时，锐角 ；5pxPA5pxPCOA当 时，锐角 2CO7、（2014 四川眉山
13、）如图，矩形 ABCO是矩形 OABC(边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC在 y 轴正半轴上)绕 B 点逆时针旋转得到的O点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为(1，3)(1)如果二次函数 yax 2bxc(a0) 的图象经过 O、O两点且图象顶点 M 的纵坐标为xBEA OC 1xP1求这个二次函数的解析式；(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点 P，使得 POM 为直角三角形?若存在，请求出 P 点的坐标和 POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边 CO所在直线的解析式8、（2014 山东日照）容积率 t 是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即 t=
14、，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高用 地 面 积建 筑 面 积SM度，一般地容积率 t 不小于 1 且不大于 8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积 M（m 2）与容积率 t 的关系可近似地用如图（1）中的线段 l 来表示；1 m2 建筑面积上的资金投入 Q（万元）与容积率 t 的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段 c 来表示（）试求图（1）中线段 l 的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；（）求出图（2）中抛物线段 c 的函数关系式.解：（）设线段 l 函数关系式为 M=kt+b，由图象得解之，得.806,2bk.20,1
15、3k线段 l 的函数关系式为 M13000t +2000, 1t 8. 由 t= 知，当 t=1 时， S 用地面积 =M 建筑面积 ，用 地 面 积建 筑 面 积S把 t=1 代入 M13000t+2000 中，得 M=15000 m2.即开发该小区的用地面积是 15000 m2. （）根据图象特征可设抛物线段 c 的函数关系式为 Q a( t4) 2+k, 把点（4,0.09）, （1,0.18）代入，得 解之，得.180)41(,9.2ka.109k抛物线段 c 的函数关系式为 Q ( t4) 2+ ,即 Q t2- t + , 1t 8.9549、（2006 四川资阳）如图 10，已知
16、抛物线 P：y=ax 2+bx+c(a0) 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴上)，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，顶点F、G 分别在线段 BC、AC 上，抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x -3 -2 1 2 y - 52-4 - 520 (1) 求 A、B 、C 三点的坐标；(2) 若点 D 的坐标为 (m，0) ，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S与 m 的函数关系，并指出 m 的取值范围；(3) 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连接 DF 并延长至点 M，使 FM=kDF，若点 M 不在抛物线 P
17、上，求 k 的取值范围.若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答( 已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5 分) ：(2) 若点 D 的坐标为 (1，0)，求矩形 DEFG 的面积.解： 解法一：设 ，2(0)yaxbca=+任取 x,y 的三组值代入，求出解析式 ， 1 分214yx=+-令 y=0，求出 ；令 x=0，得 y=-4，124,- A、B、C 三点的坐标分别是 A(2，0)，B(-4，0) ，C (0，-4) . 3 分解法二：由抛物线 P 过点(1， - )，(-3， )可知，5
18、52抛物线 P 的对称轴方程为 x=-1， 1 分又 抛物线 P 过(2，0)、(-2， -4)，则由抛物线的对称性可知，点 A、B、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0) ，C (0，-4) . 3 分 由题意， ，而 AO=2，OC=4，AD=2 -m，故 DG=4-2m， 4 分DGO又 ，EF=DG，得 BE=4-2m， DE =3m， 5 分EFSDEFG=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2) . 6 分注：也可通过解 RtBOC 及 RtAOC，或依据BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. S DEFG=12m-6m2 (0m2)，m=1 时，矩形的面积
19、最大，且最大面积是 6 .当矩形面积最大时，其顶点为 D(1，0)，G(1，-2) ，F (-2，-2)，E( -2，0)， 7 分设直线 DF 的解析式为 y=kx+b，易知，k = ，b=- ， ，233yx又可求得抛物线 P 的解析式为： ， 8 分14x令 = ，可求出 x= . 设射线 DF 与抛物线 P 相交于点 N，则 N 的横23x-214x-63-坐标为 ，过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H，有6= = ， 9 分FHED1623-519-+图 10点 M 不在抛物线 P 上，即点 M 不与 N 重合时，此时 k 的取值范围是k 且 k0. 10 分5619-+说明：若
20、以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题： ，而 AD=1，AO=2 ，OC=4，则 DG=2， 4 分ADGOC=又 ， 而 AB=6，CP=2，OC=4，则 FG=3，FPBSDEFG=DGFG=6.10、（2014 山东威海）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标A(12)， B为 ，二次函数 的图象记为抛物线 (31)， 2yx1l（1）平移抛物线 ，使平移后的抛物线过点 ，但不过点 ，写出平移后的一个抛物线1l B的函数表达式： （任写一个即可）（2）平移抛物线 ，使平移后的抛物线过 两点，记为抛物线 ，如图，求抛物线1l A， 2l的函数表达式l（3）设抛物线 的顶点为 ， 为 轴上一点若 ，求点 的坐标2lCKyABKCS （4）请在图上用尺规作图的方式探究抛物线 上是否存在点 ，使 为等腰三角2lPAB形若存在，请判断点 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师P解：（1）有多种答案，符合条件即可例如 ， ， 或21yx2yx2(1)yx， ， 23yx2(1)yx()（2）设抛物线 的函数表达式为 ，2lyxbc点 ， 在抛物线 上，(1)A， ()B， 2lBOyx1l图A1 1 BOyx2l图AC1 1 BOyx2l图A1 1 BEFDOGKx2lCA图
