1、1、 证明： ； 2211+.3n2、 若： ，求证： ； 3abab3、 若： ，求证： ； nN1.212n4、 若： ，且 ，求： 的取值范围 ； ,035、 若： 是 的三边，求证： ； abcABC1abc6、 当 时，求证： ； 2n221.3nn7、 若 ，求 的值域 ； xRyxx8、 求函数 的最大值和最小值 ； 3si2co9、 若 ，求证： ； ,0ab29abcabc10、 若 ，且 ，试求： 的取值范围 cR25211、 若 ，且 ，求 的最小值 , 6212、 若 ，且 ，求 的最大值和最小值； ,abc2(1)()(3)154abcabc13、 若 ， ，且满足
2、， ，,0,xyz225a2236xyz，求： 的值；3axbycbcz14、 求证： ； 215nk15、 当 时，求证： ； 1()3n16、 求证： ； 35.(21).24646n17、 求证： ； 1().(1)23n18、 已知： ,求证： ；0xln()xx19、 已知： ，求证： ； nN1.ln(1).232n20、 已知： ，求证： ； 2n(1)n21、 已知： ，求证： ； N.232n22、 设： ，求证： ； 1.()nS 2(1)(1)nS23、 已知： ，求证： . 1.3nn【解答】1. 证明： ；2211+.3n1、证明： .22122112(1)nnnkk
3、kk n从第二项开始放缩后，进行裂项求和.另：本题也可以采用积分法证明.构建函数： ，则 在 区间为单调递减函数 .1()2fx()fxR于是： 22211 11()2nnnnkkdxn从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为 ；积分1,n项小于求和项时，积分限为 .2,n2. 若： ，求证： ；3abab2、证明： ，即：2()()ab()2ab则： ， ，即： ，即： .363838a立方和公式以及均值不等式配合.另：本题也可以采用琴生不等式证明.构建函数： ，则在在 区间为单调递增函数，且是下凸函数.3()fxxR对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不
4、小于平均值的函数值.即： ().().1212)fxffxxnnf对于本题： 即：()()fabf 33ab即： ，即： ，即：3212 122琴生不等式可秒此题.3. 若： ，求证： ；nN.1212nn3、由： 得： ，k(,.)k则： ， 即： 1112nnnkkk1.212nn故： .从一开始就放缩，然后求和.另：本题也可以采用不等式性质证明.所证不等式中的任何一项如第 项，均满足 ，当有 项累加时，k12nkn不等式两个边界项乘以 倍，则不等式依然成立.n即：大于最小值得 倍，小于最大值的 倍. 另外， 的最大值是 ，本题有些松.11.2nnln20.6931474.若： ，且 ，求
5、： 的取值范围 ；,0ab3abab4、解： ，22()4(3)4()12ab令： ，则上式为： . 解之得： .t 210t6t均值不等式和二次不等式. 5. 若： 是 的三边，求证： ；,abcABC11abc5、证明：构造函数 ，则在 时， 为增函数.()1xf0()fx所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即： ，abc那么， ，即： .()(fabfc1abc.111构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果.另：不等式的入门证法就是“作差法”和“作商法”. “作差法”即两项相减得差与 0 比较；作商法”即同号两项相除得商与 1 比较. 本题亦可以采用“作差法”.6. 当 时，求证
6、： ；2n221.13nn6. 证明：当 时， ，都扩大 倍得： ，2()()取倒数得： ，211()()nn裂项： ，2求和： ，22111()()nnnkkk即： 22.3先放缩，裂项求和，再放缩.另：本题也可以采用积分证明.构建函数： ，则 在 区间为单调递减函数.1()2fx()fxR由面积关系得到： 11()22kkdxfdx即： 1xxkOAABDCE FG H即： 112kk本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式.后面的证法同前.7、若 ，求 的值域 ；xR221yxx7、解：2222131344x设： ， ，13(,)mx(,)nx则： ， ，242134(1,0)m
7、n代入向量不等式： 得：nm，故： .1ymn1y这回用绝对值不等式.本题另解.求函数 的极值，从而得到不等式.221yxx求导得： 221 0则： ，故函数 的极值出现在 .x2yxxx函数为奇函数，故我们仅讨论正半轴就可以了，即在 .0,)2221122111xyxx xx22lim()1xyxx由于是奇函数，故在 ，(,0)2222221 111xyxx xx22lim( )1xyxx故： .(,)8、求函数 的最大值和最小值 ；3sin2coy8、解：将函数稍作变形为： ，0(sin)332coMNyyx设点 ，点 ，则 ， ，(,)Mxy(,)Nx(,)(cs,in)而点 N 在单位
8、圆上， 就是一条直线的斜率，是过点 M 和圆上点 N 直线斜率的 倍，关键是直线过圆上的 N 点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围3就是： .故 的最大值是 1，最小值是-1.1y原本要计算一番，这用分析法，免计算了.另：如果要计算.先变形： 变形为： ；3sin2coy2cos3insicosyy即： ；222(si)i()3y即： ，即： ；2sin()3y21sin()1y即： ，即： ，即： ，即：241y2243y2yy如果要计算，需要用到辅助角公式.9、若 ，求证：,0abc229abcabc9、证明：由柯西不等式：211abcaabcabc 即： 2239 即： 29abcabc柯
9、西不等式.本题也可以采用排序不等式证明.首先将不等式变形： ；92abcabc即： ，即： .932cab3a由于对称性，不妨设： ，则： ；abcabc即： .11c有排序不等式得：正序和 乱序和；abcabcc正序和 乱序和；上两式相加得： 2 3abcabcac即： 证毕.3cab排序不等式.10、若 ，且 ，试求： 的取值范围 ；,cR225bc2abc10、解：柯西不等式： ；221即： ，故： ；2925ac15c所以： .5b柯西不等式.另：本题亦可采用求极值的方法证明.构建拉格朗日函数： 12(,)2(25)Labccabc由在极值点的导数为 0 得：，则： ，即： ；21La
10、2，则： ，即： ；bb，则： ，即： .20ac代入 得：25bc103极值点为： ， ，b103c则： ，即：21yacm525ab11、若 ，且 ，求 的最小值 ；,bcR6c11、解：设： ， ，(,)(,)nxyz则： ； ； ；221922abc2mnabc代入 得： ；mn36abc即： ，故：最小值为 4.224abc向量不等式.向量不等式是柯西不等式的特殊形式，本题当然可用柯西不等式.，2222(1)()()abcabc即：222 64(1)9abc用拉格朗日乘数法也行.构建拉氏函数： 22(,)(26)Labccabc在极值点的导数为 0，即：，即： ；2La，即： ；b2
11、b，即： .20Lcc代入 得：6ab43则： ， ，43c故：2222 43639ab求极值时，要判断是极大值还是极小值，只需用赋值法代一下.12、若 ，且 ，求 的最大值和最小值；,abcR222(1)()()1654abcabc12、解：柯西不等式： 2222 221345 1345abcabc 即： ；故： ；21bc5a于是： .37a柯西不等式.另：本题也可以采用换元法求解.有人说： 是一个椭球面，没错. 它是一个不等轴的椭球. 222(1)()(3)1654abc它的三个半轴长分别为： ， ，A5B2C设： ， ， ，则这个椭球的方程为：1xa2yb3zc2zABC现在来求 的最
12、大值和最小值.abc采用三角换元法：令： ， ，sincoxAsinyBcoszC代入方程检验，可知它满足方程.采用辅助角公式化简： sincosincosfxyzABC4sinco52452(cossin)2cos445sin()i21sn()221si cosi1in()sin()s()故： 的峰值是：fxyz当 时，2si()1221sin()15fm即： 55xyz而 ，232abcabc故： ，即： .713、若 ， ，且满足 ， ， ，,0bc,xyz225c2236xyz30axbycz求： 的值 ；a13、解：本题满足： 2222abcxyzaxbycz即柯西不等式中等号成立的条件.故有： ，即： ， ， .0cxyzaxbycz则： ；即： ，即： 2222()abxyz22536axyz56故： .56cabxyzz柯西不等式中等号成立.
