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专题3.1+复杂数列的通项公式求解问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品.doc

上传人:eco 文档编号:1414499 上传时间:2018-07-14 格式:DOC 页数:16 大小:1,005KB
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资源描述

1、一方法综述数列的通项公式是数列高考中的热点问题,求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数阵(数表)问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为 形式的数列通项公式问题中都有所涉及,本讲就这类na问题进行分析.二解题策略类型一 数阵(数表)中涉及到的数列通项公式问题【例 1】【2017 安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是:每行每列都成等差数列,则数字 73 在图中出现的次数为_【答案】12【指点迷津】1.本题

2、主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列,先从第一行入手求出第一行数组成的数列 的通项公式,再把第一行的数当成首项,再次根据等差数列这),21(jA一性质求出第 数列组成的数列 ,最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.j ij2.数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等) ,来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行” ,纵向为“列” ,在项的表示上通常用二维角标 进行表示,其ija中 代表行, 代表列.例如: 表示第 行第 列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的ij34a4方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号

3、,再根据每行元素个数的特点(数列的通项) ,求出前 行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即n列.【举一反三】 【2017 江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列 ,若 ,则 _na2015nn【答案】 103类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题【例 2】已知点 顺次为直线 上的点,点12(,)(,),(),nAyAy 142yx顺次为 轴上的点,其中 .对于任意 ,点12(,0)0nBxBx x1(0)a

4、*nN构成以 为顶点的等腰三角形.则数列 的通项公式为_.1,nBAn nx【答案】 ,(1naxn为 偶 数 )为 奇 数 )【指点迷津】对于点列问题,要根据图像上点与点之间的关系,以及平面几何知识加以分析,找出关系式即可,本题是直线上的点列,已知点列 的通项公式,求点列 的通项公式,并研究等腰三角形是否为nAnB特殊的等腰直角三角形.【举一反三】在直角坐标平面中,已知点列 , , ,1,221,A31,,其中 是正整数.连接 的直线与 轴交于点 ,连接 的直线与1,()2nnAn12x1,0Bx23A轴交于点 ,连接 的直线与 轴交于点 ,.则数列 的通项公式为x,0Bx1nA ,nn_.

5、【解析】直线 的斜率为 ,1nA112()()3()nnnnk所以 , .11()3(): )2nnnyx 3n【答案】 nx类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题【例 3】 【全国名校大联考 2017-2018 年度高三第三次联考】设函数 是定义在 上的单调函数,fx0,且对于任意正数 有 ,已知 ,若一个各项均为正数的数列 满足,xyffxfy12f na,其中 是数列 的前 项和,则数列 中第 18 项*1nnnfSfafNnSnan( )18A. B. 9 C. 18 D. 3636【答案】C【指点迷津】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前 项和之间的关系以及公式n的应用,

6、属于难题.已知 求 的一般步骤:(1)当 时,由 求 的值;12nnaSnSa11aS1(2)当 时,由 ,求得 的表达式;(3)检验 的值是否满足(2)中的表达式,若1nnaS1a不满足则分段表示 ;(4)写出 的完整表达式.【举一反三】 【北京西城 35 中 2017 届高三上学期期中数学】已知 是 上的奇函数, 12FxfR,则数列 的通项公式为( ) *1210n nafffffnNn naA. B. C. D. nana23na【解析】 是奇函数, ,令 , ,12Fxf10F12x1Ff令 , , , ,12x01Ff12ff1012aff令 , ,令 , ,n2fnxnnFf ,

7、 ,同理可得 ,1102F12ffn22ffn, ,3nff 2(nanN)故选 C【答案】C类型四 由复杂递推公式求解数列通项公式问题【例 4】 【重庆市第一中学 2018 届高三上学期第一次月考】我们把满足 的数列 叫做牛顿数列,已知函数 ,且数列 为牛顿数列,设 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【指点迷津】对于复杂的递推公式,关键是进行化简和变形,适当的时候需要换元,本题通过题意,可求得 即数列a n是以 2 为公比的等比数列,又a1=2,利用等比数列的通项公式即可求得答案【举一反三】 【辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学 2018 届高三第二次联考】设

8、数列 中, , ,则数列 的通项公式为_n1122,1nnaab*Nnb【解析】 ,1 42211nnnnnaba 所以 , ,所以 .2q1nb【答案】 n类型五 两边夹问题中的数列通项公式问题【例 5】 【2017 届浙江省杭州地区(含周边)重点中学联考】设数列 满足 ,且对任意的 ,na123*nN满足 , ,则 _2nna452nna017a【答案】0173【答案】20173【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征,即 ,然后经过452nna恰当的变形,将求 的问题转化为数列求和的问题去处理,对于求和问题要把握准数列的公比和数列的2017a项数,这是比较容易出现错

9、误的地方.【举一反三】 【福建省莆田第六中学 2017 届高三下学期第一次模拟】已知各项都为整数的数列 中, na,且对任意的 ,满足 , ,则 _12a*Nn1na12n2na31n2017【答案】 2017类型六 下标为 形式的数列通项公式问题na【例 6】 【浙江省湖州、衢州、丽水三市 2017 届高三 4 月联考】已知等差数列 ,等比数列 的公比nanb为 ,设 , 的前 项和分别为 , 若 ,则 _*,qNnnbnST21nnqS【答案】 21na【解析】 , ,21 1ndSnan11nnbbTqq因为 ,所以 ,这是关于 的恒等式,所以2nnqT221 1nnnbdqa,解得 ,

10、所以 1102bdabq12da121nn【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式,既没有首项也没有公差,有的只是等差数列与等比数列的一个关系 ,这是一个关于正整数 的恒等式,因此我们可把等差数列与等比数列的前 项用基本21nnqTSn n量表示,并化已知等式为 的恒等式,利用恒等式的知识求解 n 1,ad【举一反三】 【2018 届安徽皖江名校联盟 12 月份联考改编】等差数列 和等比数列 的各项均为正整数,且 的前 项和为 ,数列 是公比为 16 的等比数列, .则 nb的通项公式_.【答案】 14nb三强化训练1 【山东省、湖北省部分重点中学 2018 届高三第二次(12 月)联考】已知从

11、 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为 1,第二行为 3,5,第三行为 7,9,11,第四行为 13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第 行,第 列的数记为 ,比如 ,若 ,ij,ija324254,3a, , , ,2017ija则 ( )ijA. B. C. D. 645712【答案】D【解析】奇数数列 ,即 为底 1009 个奇数. 2019nan207按照蛇形排列,第 1 行到第 行末共有 个奇数,则第 1 行到第 行末共有 个奇i 1122i 490数;第 1 行到第 行末共有 个奇数;则 2017 位于第 45 行;而第 行是从右到左依次递增,且共450

12、355有 个奇数;故 位于第 45 行,从右到左第 19 列,则 ,故选 D.274,272ijij2.【湖南省衡阳县 2018 届高三 12 月联考】在数列 中, ,na141nna且 ,记 ,则( )1a2iniaTA. 能被 41 整除 B. 能被 43 整除 C. 能被 51 整除 D. 能被 57 整除191919T19T【答案】A3.【”超级全能生”2018 届高考全国卷 26 省 9 月联考乙卷】已知数列 满足na( 为非零常数) ,若 为等比数列,且首项为 ,公比为 ,则*1,2 nadNqqna0q的通项公式为( )naA. 或 B. C. 或 D. 1nq1nnana1nn

13、a1nq【答案】C4.【浙江省湖州市 2017 届高三联考】对任意的 nN *,数列a n满足 且 ,21cos3na 2sin3a则 an等于( )A. B. C. D. 2si32sin321cos21cos3【答案】A【解析】 且 , , 21cosna 2sina22snas,即 , ,故选 A.2sii3351coco33na 21cosin35.【2016 届河北省衡水中学高三下学期猜题】已知数列 的首项为 ,且满足对任意的 ,n1 *N都有 , 成立,则 ( )12nna2nna2014A B C D204014 20152015【答案】A.【解析】试题分析: , ,两式相加,可得 ,12nna12na1223nnna又 ,需 ,等号成立的条件为: ,23n3n 1

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