1、2011 年新方案名校难点互动达标提高测试卷数学理科 2011.04本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，总分 150 分，考试时间 120 分钟。第卷(选择题，共 50 分)参考公式：锥体的体积公式 13VSh，其中 表示底面面积， h表示锥体的高球的表面积公式 24R，其中 R 为球的半径.如果事件 AB、 互斥，那么 ()()PABP如果事件 、 相互独立，那么 (B一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案涂在答题卡上）1已知复数 1iz， z是 的共轭复数，则 z等于A 4 B2 C1 D
2、122下列说法中，正确的是A命题“若 amb，则 a”的逆命题是真命题B命题“ xR， 02x”的否定是：“ xR， 02x”C命题“ p或 q”为真命题，则命题 “ p”和命题“ q”均为真命题D已知 ，则“ 1”是“ 2”的充分不必要条件3抛物线2y的焦点坐标是A1(,0)B (,0) C1(0,)4D1(0,)84函数 sincosyaxba 的一条对称轴的方程为 4x，则以 (,)vab为方向向量的直线的倾斜角为A 5B 60 C 120 D 1355已知两不共线向量 (cs,in)， (cos,in)b，则下列说法不正确的是A ()()ab B 与 的夹角等于 C 2D a与 b在
3、方向上的投影相等6已知函数 7(13)0)xaf 6x ，若数列 na满足 *()nfN，且 na是递减数列，则实数 的取值范围是A 1(,)3 B (,)32C 15(,)36 D 5(,1)6. F7若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A 163 B 193C 92D 48函数 ()cosfx的导函数 ()fx在区间 ,上的图像大致是9用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,29 的个小正方形（如右图） ，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“ 、 5、 ”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有A 108
4、种 B 60种C 4种 D 3种10如右图，有公共左顶点和公共左焦点 F的椭圆与的长半轴的长分别为 1a和 2，半焦距分别为1c和 2则下列结论不正确的是A 12acB 12ca C D 1第卷 （共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分其中 15 题是选做题，请把答案填在答题卡的相应横线上.11按如下程序框图运行，则输出结果为_12如图，圆 O： 22xy内的正弦曲线 sinyx与 轴围成的区域记为 M（图中阴影部分） ，随机往圆 O内投一个点 A，则点 落在区域 内的概率是_开始 1i0SiS22i9i否 S输 出 结 束是1 2 34 5 67 8 9
5、13某驾驶员喝了 m 升酒后，血液中的酒精含量 ()fx（毫克/毫升）随时间 x（小时）变化的规律近似满足表达式25,01()3()xf 酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过 0.02 毫克/毫升此驾驶员至少要过_小时后才能开车 （不足 1 小时部分算 1 小时，结果精确到 1 小时） 14把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列 na，若 20n，则 n_15选做题（考生注意：请在（1） （2）两题中，任选做一题作答，若多做，则按（1）题计分）（
6、1） （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线 sin24http:/ /被圆4http:/ /截得的弦长为_.（2） （不等式选讲选做题）若不等式 |2|3|xa的解集为 ，则实数 a的取值范围为_三、解答题（本大题共计 6 小题，满分 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） （请在答题卡的指定区域内作答，否则该题计为零分 ）16 （本小题满分 12 分）已知函数 2 23sinsico5sfxxx（1）若 5，求 ta的值；（2）设 ABC三内角 ,所对边分别为 ,abc且22bca，求 ()fx在0,上的值域17 （本小题满分 12 分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜
7、者得 1 分，负者得 0分，比赛进行到有一人比对方多 2分或打满 6局时停止设甲在每局中获胜的概率为 p1()2，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 59（1）求 p的值；（2）设 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望 E18 （本小题满分 12 分）如图， AC是圆 O的直径，点 B在圆 O上， 30BAC， MAC交 于点 ，E平面 B， F E， 41ACF， ， （1）证明： M；（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值19.（本小题满分 12 分）已知数列 na满足 1*114, 324 .()nnaN（1）李四同学欲求 的通项公式，他想
8、，如能找到一个函数()2 fABC，( AB、 、 是常数)把递推关系变成 1()naf3nf后，就容易求出 n的通项了.请问：他设想的 ()f存在吗？a的通项公式是什么？（2）记 123Sa ，若不等式 23nSp对任意 *N都成立，求实数 p的取值范围.20（本小题满分 13 分）已知双曲线 21xy的左、右顶点分别为 12A、 ，动直线 :lykxm与圆21xy相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 12(,)(,)Px.（1）求 k的取值范围，并求 21x的最小值；（2）记直线 1PA的斜率为 k，直线 2P的斜率为2，那么 2是定值吗？证明你的结论.21 （本小题满分 14 分）已知
9、函数 ln().xfe（1）求函数 的单调区间；（2）设 0，求证： 21()xfe；（3）设 nN，求证： lnl(3)ln(1)23n .参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B D D B C B A A D二、填空题11 170 12 3134 14102815 （1） 43http:/ / (2)(,5三、解答题16解：（）由 f，得 2 2sin3sico5s cos21coin in1， 即 3in1 23sisi s0或 ta， ta0tn3或 5 分（）由 2cos,BbCc即 o1,sBbCc得 os,i2insBCA则 1cos2B即3
10、B，8 分又 2 2sin3sico5sfxxx3incos24x sin(2)46x10 分由 0，则 1in()16，故 ()6f，即值域是 5,.12 分17解：（）依题意，当甲连胜 2局或乙连胜 2局时，第二局比赛结束时比赛结束有 225()9p 解得 3p或 1， 3p 5 分（）依题意知，依题意知， 的所有可能值为 2，4，66 分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 9若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有 5(2)9P， 520(4)(1)98P， 516(6)(1)98P10 分随机变量 的分布列
11、为： 2 4 6P 59208181则 520164.988E 12 分18解：（法一） （1） EA平面 BC， M平面 ABC， EM又 BMAC， ，平面 F而 平面H G A B C E F M O BME AC是圆 O的直径， 90ABC又 30， 4，2,A3,1M平面 /FE， 3G，F平面 BDE与 C都是等腰直角三角形 45MA90，即 （也可由勾股定理证得） ， EM平面 BF而 平面 ，BF6 分（2）延长 E交 C于 G，连 ，过 C作 HG，连结 F由（1）知 平面 A， 平面 A，而 H， 平面 F平面 ，FB，C为平面 E与平面 BC所成的二面角的平面角 8 分在
12、 RtA中， 30A， 4，sinM由 13FGE，得 22B又 CH，则 312CBMG F是等腰直角三角形， 45FH平面 BE与平面 A所成的锐二面角的余弦值为 2 12 分（法二） （1）同法一，得 3B， 3 分如图，以 为坐标原点，垂直于 C、 A、 E所在的直线为 ,xyz轴建立空间直角坐标系由已知条件得 (0,)(,0)(,)(3,0)(,41)MF，,331MEBF由 ,，得 F， 6 分（2）由（1）知 (,),(3,1)BF设平面 BE的法向量为 nxyz，由 0,n 得 30，令 3x得 1,2yz， ,12， 9 分由已知 EA平面 BC，所以取面 ABC的法向量为
13、(0,3)AE，设平面 F与平面 所成的锐二面角为 ，x y z A B C E F M O 则 30123cos,nAE ，平面 BF与平面 C所成的锐二面角的余弦值为 2 12 分19解（1） 1()3()nnafaf 13(1)3(nafnf,所以只需 1()24f,32nfABC, ,24,0ABC,2AB.故李四设想的 ()f存在， 1()nf.111()()33nnnnafaf,.5 分（2） 2113(2)nnnS 35().2nS,7 分由 2nnp，得 33nnp.设 3nb，则112()23nn1142()3nn,9 分当 4时 10122112() ()2n nnCCn
14、（也可用数学归纳法证明）时， 1nb. 容易验证 ,当 3时, |1nb, min()pb47381, p的取值范围为 73(,)8. 12 分20解：（） l与圆相切, 21mk 22k 2 分由 21ykxm , 得 2()(1)0kx,22222104()14()8kmkx,2,故 k的取值范围为 (1,).4 分由于 2121 22(41mxxk，20k当 0k时， 21取最小值 . 7 分（）由已知可得 12,A的坐标分别为 (,0)，12,yx， 2121ykx12()(kxm22112()kxmx22221mkkm2211k2k，由 2， 2(3)为定值. 13 分21、解：（1）定义域为 (0,)，由 ln1xfe2 分令 1()0,; .fxfxe解 得 令 解 得故 的增区间： (,) ， 减区间： (0,)e5 分（2）即证： 21211ln21lnln()0xxxx令 ()l),g由 223()()g，令 g，得 2，且x在 0,在 (，所以 minl1,xg故当 时，有 )2l10x得证10 分（3）由（2）得 ln(1，即 3()2,x所以 3l() ,)1kkk则33ln12l1)ln(2)()223(1)3. n 14 分
