1、155 第 七章 共形映射（保形变换） 一个复变函数 ()fz = (z E C)是一个从 z 平面中的点集到 平面的一个对应，从几何角度理解为一个映射 .当这种对应为本章所讨论的“共形映射”时，对于区域及区域上函数的很多性质可以保留，而这些共形映射可以将很多不规则的区域转化成规则的区域，从而使复杂问题简单化，所以研究共形映射对于数学问题本身及复变函数理论在流体力学、弹性力学等方面的应用都是很重要的，是使问题化繁为简的重要方法 . 本章主要用几何方法来解释解析函数的特征和用 ，除了阐述一些有关的理论性问题外，着重讨论 1、 由线性函数和初等函数构成的 变换的性质，求已知区域的像区域 . 2、
2、给定两个区域，求 符合条件的共形映射，使其中一个区域共形映射到另一个区域，及共形映 射的基本问题 . 本章是从几何角度研究复变函数，参考文献【 1】、【 2】、【 5】 1、 解析函数变换的性质 一、教学目的和要求 1、 掌握解析变换的保域性和单叶解析函数的相关相关性质 . 2、掌握 解析函数的保角性 导数的几何意义和单叶解析变换的（共）保形性 . 二、重难点 1、 重点 解析函数的保域性，单叶解析函数的相关性质 . 2、 难点 对解析变换的深刻理解（从几何角度）和把握 . 三、教学方法 讲授法为主，启发、探讨式 四、教学手段 电教（多媒体课件辅助教学） 五、教学时数 约 2 学时 六、教学内
3、容 （ 一 ） 解析变换的保域性 补 引例 1 （ 276P 习题 16） 设 （ 1） ()fz在点 0z 解析， 00( )=fz （ 2） 0()fz 以 0z 为 n 阶零点 156 则对于任意小的 0 ，能确定 0 ，使对满足 0a 的 a ， 函数 ()f z a 在圆 0zz内恰有 n 个 一阶零点 . 证明 由解析函数零点的孤立性， 0 ，使在圆周 C 0zz=上，0( ) 0fz ；而在 C 的内部， 0()fz 无异于 0z 的零点且 0()fz 在闭圆 cI() 上解析，设 0= min ( )zC fz 于是在 C 上，有 00( ) ( )a f z 再由 Rouch
4、 定理，即可证得 ( ) c)f z a n=N（ ， ，依“一个 m 阶零点作 m 个零点的 约 定 ， ()f z a 在 C 内 部 的 这 n 个 零 点 都 只 能 是 一 阶 的 （ 否 则 将 有( ) c)f z a nN（ ， ） 几何意义 对于 0z 的一个充分小的领域内， 0 使得对 010U （ ， ）， 1 在0U （ z， ） 内有 n 个原象 12. nz， z， ， z ，使得 ( )= ( 1, 2,.)iif z i = 定理 7.1 （保域定理）设 =( )fz 在区域 D 内解析且非常数，且 ()G f D= 也是一个区域 . 证明 （ 1）先证 G 为
5、开集，即 G 中任意一点皆为内点，对 0 0,G ， 使0UG（ ， ） ， 事实上 0 = (0)Gf ，故 0zD ，使 00( )=fz ，又因为 f 常数，故 nN+ ，使 i 0( ) 0 ( =1 n 1)f z i=+（ ） 但 () 0( ) 0nfz 据引理 00 ( )UD 使 （ z ， ）， 1 0 1 0U z U 0, 对 （ ， ） ， （ z ， ）使得 11( ) =0fz 即 11= ( ) ( )=f z f D G 157 故 0U （ ， ） G，由 0 的任意性得 G 为开集 （ 2）证明 G 是连通的，即对 12G， ，存在折线 * GT ，使 *
6、T 连接 1 与2 事实上， 1 2 1 1 2 2, , ( ) , ( )z z D f z f z = =使 ，而 D 是区域，故存在折线 TD ，连接 12zz与 ，于是 =( )Lf 是一条连接 12及 的连接曲线，可以证明存在 *T 内接于 L，且* GT 使 *T 连接 12与 ，由（ 1）（ 2）易知 =( )fDG 是区域 定理 若 ( )=fz 为区域 D 内的单叶解析函数，则 =( )Gf D 也是一个区域 补 1、 单叶解析函数必非常值函数，两单叶函数的代数和，积商不必是单叶函数 . 2、 两单叶函数的复合函数仍为单叶解析函数 . （二）单叶解析函数 定理 7.2 26
7、9 6.11Th（ P ） 若 ()fz为区域 D 的单叶解析函数，则对 ( ) 0fz z D, 证 （反证法）若 00( )= 0D f zz ， 使 ，00= ( )fz记 ， 由引理 1 0 及 0 ， 使得当 10U （ ， ）时， 1 1 0( )=f z z z在 中至少有两个一阶零点，即 1 2 0, z U D z （ z ， ），使 11( ) =0fz ，故 12( )= ( )f z f z 此与 ()fz的单叶性矛盾 定理 7.2 的逆不真（局部时真，如定理 7.3） 如 ( ) = ( ) = 0zzf z e z C f z e ， ， 定理 7.3 若函数 ()
8、fz在点 0z 处解析，且 0( ) 0fz ，则存在 0z 的一个邻 域 0U （ z， ） ，使得 ()fz在 0U （ z， ） 中单叶 . 证明参照种玉泉复变函数学习指导书 403P 定理 7.4 （单叶解析函数的反函数仍是单叶解析函数） 即设 =( )fz 是区域 D 内的单叶解析函数则其反函数 1= = ( )z f z （ ） 在区域 =( )Gf D 中也是单叶解析函数，且0 0 0Gz =， 记 （ ），有 001= ()fz （ ） （三）解析函数的保角性 导数的几何意义 1、 导数辅角 0arg ( )fz 的几何意义 158 ( ) ( ) : = ( ) C z z
9、t f z f z t= = ： 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) a r g ( ) a r g ( ) a r g ( )t f z z t t z t f z = = + 设 ( )w f z= 在区域 D 内解析， ( )00,0z D f z（如图），则 ( )0argfz 仅与 0z 有关，而与过 0z 的曲线 C 的选择无关 . 定义 1 （ 1）称 ( )0argfz 为变换 ( )w f z= 在 0z 的旋转角 . （ 2）这里所谓无关，亦称为旋转角的不变性 . （ 3）保角性指两曲线夹角在 ( )w f z= 的变换下，交点处两切线夹角大小及角的方向均保持不变
10、 . 2.导数模的几何意义 ( ) ( ) ( )0 00 0limzz f z f zfz zz = ， 当变量非常接近 0z 时， ( ) ( ) ( )0 0 0=f z f z f z z z ， 若 ( )00lim 0z w fzz = . 则 解析函数在导数非零处具有旋转角不变性和伸缩率不变性 . 说明像点间无穷小距离与原像点间的无穷小距离之比的极限为 ( )0fz，它仅与 0z 有关，与曲线 C 的方向无关 . 定义 2 称 ( )0fz为变换 ( )w f z= 在 0z 处的伸缩率 .伸缩率与 C 的方向无关的性质称为伸缩率不变性 . y Z 0 x v w 0 x 159
11、 3、 相关概念与结论 （ 1）保角变换 定义 3 若 ( )w f z= 在 0z 的邻域内有定义，且在点 0z ，有 伸缩不变性 . 过 0z 的任两曲线的夹角在变换 ( )w f z= 下保持大小和方向不变 .则称( )w f z= 在 0z 处是保角的，或称 ( )w f z= 在 0z 处为保角变换 .若 ()fz在 zD 处皆为保角的，则称变换 ( )w f z= 在 D 内的为保角的或保角变换 . 总结以上所讨论的结论，我们有 定 理 7.4 若 ( )w f z= 在区域 D 内解析，则在 ( ) 0fz 处 ( )w f z= 为保角变换 . 定义 7.5 若在区域 D 内为
12、内单叶解析，则为 D 内的保角变换 . 四、单叶解析变换的拱形性 概念 若 ( )w f z= 在区域 D 内是单叶且保角的，则称此变换在 D 内是共形的，也称它为 D 内的共形映射 . 法 解析变换 ( )w f z= 在解析点 0z ，若有 ( )0 0fz （由 ()fz 在 0z 的连续性，必在 0z的邻域内 0 ），于是 ( )w f z= 在 0z 点保角，因而在 0z 的邻域内单叶保角，从而在 0z 的邻域内保形（局部） . ( )w f z= 在区域 D 内整体共形 ( )w f z= 在 D 内处处（局部）共形 . 例 1 讨论函数 zwe= 的保角性和共形性 . 解 （ 1
13、） ( )0zdw ezdz = 故 zwe= 在 上处处都是保角的（因而是处处局部共形的） . （ 2）由于 zwe= 的单叶性区域为平行于实轴、宽度不超过 2 的带形区域，故在其内，zwe= 是共形的 .但在宽超过 2 的平行于实轴的带形区域内，是不共形的，自然在整个 z平面上是不共形的 . 定 理 7.6 若 ( )w f z= 是区域 D 内的单叶解析函数 ， 则 ( )w f z= 为 D 内的共形变换 ，并对 0zD ， 有 160 （ 1） ( )w f z= 把以 0z 为点点的一个角角形映成 w 平面中曲三角角形且对应的角相等 ， 对应三近似成比例 . （ 2） ( )w f z= 把半径充分小的圆 0zz=映成圆 ( )00w w f z = . 易见两个共形变换的复合仍然是一个共形变换 . 七、小结 1、 解析变换的两种几何性质； 2、 单叶解析函数的性质 . 八、作业 预习下节内容 （ 及 317.1P ） . 九、预习要求思考并回答下列问题 1、 分式线性变换与共形变换何关系？ 2、 分式线性映射有哪些性质？能实现哪些区域之间的对应？ 3、 将上半平面映成下半平面的分式线性映射是什么？想唯一确定该映射 需加何条件？ 十、后记 1、 参考文献 1、 5、 6.
