1、关于复数域上的中值定理摘要 ： 文章在前人研究的基础上， 运用 复积分的相关知识点 ， 推出 了复数域上曲线弧上的微分中值定理和积分中值定理。关键词： 中值定理， 解析函数， 光滑曲线中图分类号： 文献标识码 ： 文章编号 ： （ （ ）实变函数中的中值定理在数学分析中有着非常重要的作用和广泛的应用 ， 数学分析中的很多定理和些结论的证明过程都直接或间接地通过中值定理衍生出来 数学分析的很多结论都可以直接推广到复数域上来， 但中值定理却不能直接推广到复数域 于是国内许多数学工作者都对复数域上的中值定理展开了相关的讨论 文献就提出了复数域上直线段上的中值定理； 文献本意是想在文献 的基础上得出复
2、数域上曲线弧上的中值定理， 但其证明过程中其实还是在直线段上的证明， 并没有得出曲线弧上的中值定理； 文献则得出了与实数域上中值定理类似的结论，而这实际上是不可能的 ， 可以举出例子推翻其结论 如： 当 （ ， ， ； 时，显然 ） 满足文献定理 ， 的条件， 但）夫 ， 故定理 ，都不成立； 当（ ）（）， ， 时 ， 显然（ ） ， ） 满足定理 的条件， 但 ，关 ， 故定理 也不成立（ 之 ）（ 之 ）￥（ 之）文章在文献的基础上进行讨论，得出了复数域上光滑曲线弧段上的中值定理，推广了文献 的结论定理 （积分中值定理）设 （： ： （ 匕 （， 为复平面上连接 ， 两点的光滑曲线弧 ，
3、 ， ） 在曲线 上连续， 则至少存在两点 ？， ， 使得 ：）（）？（？ ）？）？） （ ）证明 ： 因为曲线 光滑， ） 在 上连续 ， 所以由复积分的参数式计算法知：（） ） （ ） ）（） （ ） ） ）（） （） ）？）（ ） ）？）（） （） ）？（）（） ） ）？）因为） 连续 ， 曲线 光滑， 所以 ， ， （）， ） 均连续 ， 因此由实变函数的积分中值定理知， 至少存在两点 ， 使得 ：（ ） （） ）？ ） ）（沒一） （ ） ： （？ ） ）？（ ）（ ） ： （ ） ）？（ 艺 ） 收稿日期 ： 通讯作者： 沈霞 （ ） ， 女， 江西九江人， 硕士 ， 讲师 ， 研
4、究方向为复分析。第 期沈 霞， 等 ： 关于复数域上的中值定理？ ？（ ？） ） （）（ （） （）（ ） ） ）？（ ）（ ） （ ） ）？令： （ ） （ ） ， ： （ ）秒（ ） ，那么， ”则 ：（ 之）办（卢一）（瓜（ ？）？ （ ？）？） （？（ ）？（ ）？注：这里 （ ）， ？） 当光滑曲线 为直线段时 ，： （） ，此时 ，卢 ，以 ， ，（， 从而 （ ） 式变为（ ：）办 （） （ ）；（） ， 这便是文献中定理 的结论？当 ） （： ） ， ， 时， 此时办（ （ ？） ，加（？） ， 从而（ ） 式变为（：）血（？） （） ，这便是文献 中实数域上的积分中值定理定理
5、 （微分中值定理）设 ： （：（ ， ， 为复平面上连接 ，两点的光滑曲线弧， ，（） 在包含曲线的区域 内解析， 则至少存在两点 ，使得 ：（） （？（ ）？ ）？）（）证明 ： 因为 （） 在包含 的区域 内解析，所以由复积分的积分基本定理知 ： （ （） （）办 ，而 （）显然满足定理 的条件 ，所以由定理 知， 在曲线上至少存在两点？ ， ， 使得：（？） （）？ ？）？ ）？所以 ， ，）？ ？） （？（ ）？，？）？注 ：这里（ ） ， ？）（ 艺 ） 当为直线段时， ： （） ？此时 ，沒 ， （ ？） ，从而（ ） 式变为：（）沁（？） 十出乂） ， 这便是文献中定理 的结论当） ， ， 时 ， 此时？（ ， （？） ，从而（ ） 式变为（）（ ？） ， 这便是文献中实数域上的微分中值定理参考文献： 曾韧英 关于复函数的中值定理 重庆师范学院学报（ 自 然科学版） ， ， （ ） ： 杨静宇 复变函数积分中值定理 赤峰学院学报 （ 自 然科学版） ，（ ） ： 胡江 ， 王玉 复数域上微分中值定理新证 高等数学研究 ， ， （） ： 钟玉泉 复变函数论 ？ 北京 ： 高等教育 出版社 ， 华东师范大学数学系 数学分析 北京 ： 高等教育出版社，
