1、教 学 目 的 ： 理 解 Laplace 变 换 下 的 卷 积 概 念 ， 掌 握 卷 积 定 理 及 其 应 用 .知 识 梳 理 ：一 、 卷 积 的 概 念设 )(1 tf 与 )(2 tf 都 满 足 当 0t 时 ， 0)()( 21 tftf ， 则 积 分 t tff0 21 d)()( 称 为 函数 )(1 tf 与 )(2 tf 的 卷 积 ， 记 为 )()( 21 tftf . 即 t tfftftf 0 2121 d)()()()( . (1)注 ： 1.实 际 上 ， Laplace 变 换 的 卷 积 定 义 与 第 6 章 Fourier 变 换 中 的 卷
2、积 定 义 是 完 全 一 致 的 ；2.今 后 如 不 特 别 声 明 ， 都 假 定 这 些 函 数 在 0t 时 恒 为 零 . 它 们 的 卷 积 都 按 （ 1） 式 计 算 .二 、 卷 积 的 运 算 律1. )()()()( 1221 tftftftf ；2. )()()()()()( 321321 tftftftftftf ；3. )()()()()()()( 3121321 tftftftftftftf .三 、 卷 积 定 理设 )(1 tf 与 )(2 tf 满 足 Laplace 变 换 存 在 定 理 的 条 件 ， 且 )()( 11 sFtf L ， )()(
3、22 sFtf L ， 则 )()( 21 tftf 的 Laplace 变 换 一 定 存 在 ， 且或 .)()()()( ,)()()()( 21211 2121 tftfsFsF sFsFtftfLL说 明 ： 卷 积 定 理 表 明 两 个 函 数 卷 积 的 Laplace 变 换 等 于 这 两 个 函 数 Laplace 变 换 的 乘 积 .推 广 ： 上 述 定 理 也 可 推 广 到 n 个 函 数 的 情 形 ， 即 若 ),2,1()( nktfk 满 足 Laplace 变 换 存在 定 理 的 条 件 ， 并 且 )()( sFtf kk L ),2,1( nk
4、， 则 )()()()()()( 2121 sFsFsFtftftf nnL .例 题 讲 解 ：例 1 求 函 数 ttf )(1 和 ttf cos)(2 的 卷 积 .解 由 卷 积 定 义 ， 有 t ttt 0 d)cos(cos tt tt 00 d)sin()sin( tcos1 .例 2 设 22 )1()( s ssF ， 求 )(tf .解 由 于 )1()1( 1)( 22 s sssF ， ts sin1121 L ， ts s cos121 L ， 由 卷 积 定 理 ，得 tts sstf cossin)1()1( 1)( 221 L t t0 d)cos(sin
5、t tt0 d)2sin(sin21 tttt 02 )2cos(21sin21 ttsin21 .例 3 设 22 )134( 1)( sstfL ， 求 )(tf .解 由 于 22222 3)2( 1)134( 1)( ssstfL 2222 3)2( 33)2( 391 ss .根 据 位 移 性 质 ， 有 ts t 3sine3)2( 3 2221 L ，故 )3sin(e)3sin(e91)( 22 tttf tt t t t0 )(22 d)(3sine3sine91 tt t02 d)(3sin3sine91 tt tt02 d3cos)36cos(21e91 )3cos33
6、(sine541 2 tttt .例 4 设 )0()(e)( absstf asL ， 求 )(tf .解 利 用 卷 积 定 理 先 求 出 bssbss 11)( 1 11 LL bss 11 11 LL bttu e)( t tbu0 )( de)( )e1(1de0 )( btt tb b .再 由 延 迟 性 质 ， 有 )()e1(1)(e)( )(1 atubbsstf atbas L .这 里 单 位 阶 跃 函 数 )( atu 是 不 可 缺 少 的 .重 难 点 注 记 ：重 点 ： 卷 积 的 定 义 及 卷 积 定 理 ；难 点 ： 利 用 卷 积 定 理 求 函 数 的 逆 变 换 .知 识 点 总 结 ：1.卷 积 定 义 ： t tfftftf 0 2121 d)()()()( ；2.卷 积 定 理 ： )()()()( 21211 tftfsFsF L .
