1、第二节 直线的交点坐标与距离公式,三年2考 高考指数:1.会求两直线的交点坐标；2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.,1.两点间距离公式、点到直线的距离公式,两平行线间的距离公式是高考的重点；2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题；3.多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答题中考查.,1.两条直线的交点直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组 的解一一对应.相交方程组有_，交点坐标就是方程组的解；平行方程组_；重合方程组有_.,唯一解,无解,无数组解,【即时应用】（1）思考：如何用两直线的交点判
2、断两直线的位置关系？提示：当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两直线平行；有无数个交点时，两直线重合.,（2）直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是_.【解析】由直线l1与l2所组成的方程组直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是(2,-2).答案：(2,-2),（3）直线l1：5x+2y-6=0与l2：5x+2y-16=0的位置关系是_.【解析】由直线l1与l2所组成的方程组 无解，直线l1与l2平行.答案：平行,2.距离,【即时应用】（1）原点到直线x+2y-5=0的距离是_；（2）已知A(a,-5)，B(0,10
3、)，|AB|=17，则a=_；（3）两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为_.,【解析】（1）因为（2）依题设及两点间的距离公式得：解得：a=8；（3）因为两平行线方程可化为：2x-y=0与2x-y+5=0.因此，两平行线间的距离为：答案：（1） （2）8 （3）,两直线的交点问题【方法点睛】1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.2.过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0),【例1】（1）求经过直线x+y
4、+1=0与直线x-y+3=0的交点，且也经过点A(8,-4)的直线方程为_；（2）已知两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0，若l1与l2相交，求实数m、n满足的条件.,【解题指南】（1）可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；（2）两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到m、n满足的条件.,【规范解答】（1）方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点坐标为(-2,1)，直线又过A(8,-4)，所以所求直线方程为： 即x+2y=0；方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为x+y+1+(x-y+3)=0
5、，又因为直线过A(8,-4)，所以8-4+1+(8+4+3)=0，解得:=- ,所以，所求直线方程为x+2y=0.答案：x+2y=0,（2）因为两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0相交，因此，当m=0时，l1的方程为y=- ，l2的方程为x= ，两直线相交，此时，实数m、n满足的条件为m=0，nR；当m0时，两直线相交， ，解得m4，此时，实数m、n满足的条件为m4，nR.,【互动探究】本例（1）中的“且也经过点A(8,-4)”改为“与直线2x-y=0垂直”,求该直线方程.,【解析】方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点坐标为(-2,1)，又直线与直线2x
6、-y=0垂直，所以所求直线的斜率k=- ，因此所求直线方程为：y-1=- (x+2)，即x+2y=0.方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为x+y+1+(x-y+3)=0，即(1+)x+(1-)y+1+3=0,又因为直线与直线2x-y=0垂直，所以所求直线的斜率k=- ，即有解得:=- ,所以，所求直线方程为x+2y=0.,【反思感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求的值;2.考查两直线相交的条件,
7、即斜率不等或有一条直线的斜率不存在.,【变式备选】当m为何值时，三条直线l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0,l3：2x-3my-4=0能围成一个三角形?,【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点，所以又因为l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0的交点为(1,-1)，所以2+3m-40，解得m ；当m=0时，l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1与l3的交点为(2,-5)，l1与l2的交点为(1,-1),l2与l3的交点为(2,-2)，能构成三角形，符合题意.综上可知：m- ,m- 且m .,距离公式的应用【方法点睛】1.两点间的距离的求法设点A
8、(xA,yA),B(xB,yB)，特例：ABx轴时，|AB|=|yA-yB|ABy轴时，|AB|=|xA-xB|.,2.点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.3.两平行直线间的距离的求法(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.（2）利用两平行线间的距离公式.,【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中x、y的系数必须相等.,【例2】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0，且l1与l2的距离是 .(1)求a的值；(2)能否找到一
9、点P,使P同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到l1的距离是P点到l2的距离的P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 .若能，求P点坐标；若不能，说明理由.,【解题指南】（1）由l1与l2的距离及两平行线之间的距离公式，可得关于a的方程，解方程即可得出a的值；（2）由点P(x0,y0)满足条件可得出关于x0、y0的方程组，解方程组，即可求出点P的坐标，注意验证是否适合条件.,【规范解答】（1）l2为2x-y- =0,l1与l2的距离为a0,a=3.(2)设存在第一象限的点P（x0,y0）满足条件,则P点在与l1、l2平行的直线l:2x-y+c=0上且2x0-y0+ =0或2x0-y0
10、+ =0.,若P点满足条件，由点到直线的距离公式有：即|2x0-y0+3=|x0+y0-1|,x0-2y0+4=0或3x0+2=0.P在第一象限，3x0+2=0不可能.,联立方程2x0-y0+ =0和x0-2y0+4=0,解得由存在P( )同时满足条件.,【反思感悟】在解答本题时，首先要根据题设条件，由点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式得出方程（组），这是很关键的问题；另外，还要注意每种距离公式所要求的条件，以防漏解、错解.,【变式训练】已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0，在坐标平面内求一点P，使PA=|PB|，且点P到直线l的距离为2.,【解析】设点P的坐标
11、为（a,b）.A（4，-3），B(2,-1)，线段AB的中点M的坐标为（3，-2），线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.由题意知点P（a,b）在上述直线上，a-b-5=0.又点P（a,b）到直线l：4x+3y-2=0的距离为2， ,即4a+3b-2=10,联立可得所求点P的坐标为（1，-4）或( , ).,【变式备选】过点P(-1,2)引一直线，两点A(2,3)，B(-4,5)到该直线的距离相等，求这条直线的方程.,【解析】方法一：当斜率不存在时，过点P(-1,2)的直线方程为：x=-1，A(2,3)到x=-1的距离等于3，且B(-4,5)到x=-1的距离也等于3，符合
12、题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，过点P(-1,2)的直线方程为：y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0，,依题设知：解上式得：k=- ，所以，所求直线方程为：x+3y-5=0；综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.,方法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点P(-1,2)与AB平行的直线，另一条是过点P及AB中点的直线.因为A(2,3)，B(-4,5)，所以因此，过点P与AB平行的直线的方程为：y-2=- (x+1),即x+3y-5=0;又因为A(2,3)，B(-4,5)的中点坐标D(-1,4)，所以过点P及AB中点的直线方程为x=-1；综上可知,所求直线方
13、程为x=-1或x+3y-5=0.,对称问题【方法点睛】1.对称中心的求法若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公式求得a、b的值，即,2.轴对称的两个公式若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0（A0)对称，则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l.故有,3.对称问题的类型（1）点关于点对称；（2）点关于直线对称；（3）直线关于点对称；（4）直线关于直线对称.以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称.,4.对称问题的具体应用（1）在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小问题当两定点分别在直线
14、的异侧时，两点连线与直线的交点即为所求;当两定点在直线的同一侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形来解决.,（2）在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大问题当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求;当两定点分别在直线的异侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形解决.,【例3】（1）(2012杭州模拟）若点A（3，5）关于直线l:y=kx的对称点在x轴上，则k是( )（A） （B）（C）（D）（2）求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线b的方程.,【解题指南】（1）设出对称点B的坐标，利用A
15、B中点在l上，kABk=-1求解.（2）本题实质上是求直线的方程，可设法找到两个点的坐标，再由两点式即可求出方程；本题还可利用求曲线方程的方法求解，设所求曲线上任意一点，由该点关于直线l的对称点在已知曲线上，即可求得.,【规范解答】（1）选D.设点A关于直线l的对称点B的坐标为（a,0），则AB的中点（ ）在直线l上，故有 ， 又ABl, k=-1， 由、得 故选D.,（2）方法一：由解得直线a与l的交点E(3,-2)，E点也在直线b上.在直线a：2x+y-4=0上取一点A(2,0)，设A点关于直线l的对称点B的坐标为(x0,y0)，由由两点式得直线b的方程为 即2x+11y+16=0.,方法
16、二：设直线b上的动点P(x,y)关于l：3x+4y-1=0的对称点为Q(x0,y0).则由于Q(x0,y0)在直线a：2x+y-4=0上，则化简得2x+11y+16=0是所求的直线b的方程.,【反思感悟】1.此题是求点关于直线、直线关于直线对称的直线方程问题，通过求解本题，我们可体会到求直（曲）线的对称直（曲）线方程时可以转化为求点的对称点坐标来求解.2.利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等的情形，此时可直接写出直线方程.,【变式训练】（1）在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；（2）在直线l：3x-y-1=0上求一点Q，使得Q
17、到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小.,【解析】（1）如图甲所示，设点B关于l的对称点为B，连接AB并延长交l于P，此时的P满足|PA|-|PB|的值最大.设B的坐标为(a,b),则kBBkl=-1.即 3-1,a+3b-12=0,又由于线段BB的中点坐标为( ),且在直线l上， 即3a-b-6=0. 联立，解得a=3,b=3,B(3,3).于是AB的方程为即2x+y-9=0,解所求P点的坐标为（2，5）.,（2）如图乙所示，设C关于l的对称点为C，连接AC与l交于点Q，此时的Q满足|QA|+|QC|的值最小.设C的坐标为（x,y）,由两点式得直线AC的方程为即19x+17y-93=0.
18、所求Q点的坐标为（ ， ）.,【创新探究】新定义下的直线方程问题【典例】(2012上海模拟）在平面直角坐标系中，设点P(x,y)，定义OP=|x|+|y|，其中O为坐标原点.对于以下结论：符合OP=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；设P为直线 x+2y-2=0上任意一点，则OP的最小值为1；其中正确的结论有_(填上你认为正确的所有结论的序号) .,【解题指南】根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；认真观察直线方程，可举一个反例，得到OP的最小值为1是假命题.,【规范解答】由OP=1，根据新定义得：|x|+|y|=1,上式可化为：y=-
19、x+1(0x1)，y=-x-1(-1x0)，y=x+1(-1x0)，y=x-1(0x1),画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是 的正方形，所以面积等于2，故正确；,当点P为（ ，0）时，OP=|x|+|y|= +01,所以OP的最小值不为1，故错误；所以正确的结论有：.答案：,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：,1.(2012杭州模拟）直线l与两条直线x-y-7=0，y=1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为（1，-1），则直线l的斜率为( )（A）- （B） （C） （D）- 【解析】选D.设l与直线x-y-7=0交于P（x,y）,由中
20、点坐标公式：-1= ,y=-3,将y=-3代入x-y-7=0得x=4，即l与直线x-y-7=0的交点为（4,-3），所以,2.(2012宁波模拟）已知直线l1：y=2x+3，直线l2与直线l1关于直线y=-x对称，则直线l2的斜率为_.【解析】直线l1：y=2x+3与直线y=-x的交点为(-1,1)；在直线l1：y=2x+3上任取一点(0,3)，则该点关于y=-x的对称点坐标为(-3,0)，又因为点(-1,1)与(-3,0)在l2上，因此直线l2的斜率为答案：,3.(2012聊城模拟）若点P是曲线y=x2上的任意点，则点P到直线y=x-2的最小距离为_.【解析】在曲线y=x2上任取一点P(x0
21、,y0)，则P到直线y=x-2的距离为：因此，当x0= 时其最小值为 .答案：,4.(2011安徽高考）设直线l1:y=k1x+1，l2:y=k2x-1，其中实数k1，k2满足k1k2+2=0.（1）证明l1与l2相交；（2）证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.,【解题指南】（1）注意两直线相交的定义，可用反证法；先假设l1与l2不相交,之后推出矛盾.（2）可以求出交点，代入方程；也可消去参数k1、k2，得出椭圆方程.,【证明】（1）（反证法）假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2，代入k1k2+2=0，得 +2=0.此与k1为实数的事实相矛盾.从而k1k2，即l1与l2相交.（2）方法一：由方程组得交点P的坐标(x,y)为（ ）而,此即表明交点在椭圆2x2+y2=1上.方法二：交点P的坐标(x,y)满足代入k1k2+2=0，得 整理得：2x2+y2=1,所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.,
