1、3-7 磁场能量与力引言静电场中储存有能量 ， 恒定磁场中也储存有能量 。 这些能量是在电场或磁场建立过程中 ， 由外源作功转换而来的 。 3.7.1 恒定磁场中的能量 3.7.2 磁场能量的分布与密度 3.7.3 磁场力3.7.1 恒定磁场中的能量假设磁场和电流的建立过程都缓慢进行 ， 周围均为线性媒质 ， 且没有电磁能量辐射及其它损耗 。 这样 ， 外源所做的功都转变为磁场中储存的能量 。设有一个回路 l ， 由于通入的电流变化时 ， 穿过回路的磁通发生变化 ， 会在回路中产生感应电动势 。 感应电动势在回路中产生的感应电流所引起的磁通要阻碍原磁通的变化 ， 因此在电流从零变化到 I的过程
2、中 ， 外源要克服感应电动势做功 。在 dt 时间间隔中 ， 外源所做的功 dA=uidt 。 因为电压（ 3-7-1）， 所以 dA=Lidi ， 在回路电流 I 建立的整个过程中外源所作的功全部转化为磁场中储存的能量 ， 所以 上式表明 ， 磁场能量只与回路中电流的最终值有关 ， 与电流建立的过程无关 。若线性媒质中有个两个电流回路 l1、 l2， 不难得到 （ 3-7-2）ddddiuLtt=2m 01= d = d2IW A Li i LI=22m 1 1 2 2 1 211=+22W LI L I MI I+3.7.1 恒定磁场中的能量这里顺便指出 ， 由于式 （ 3-7-2） 中右
3、边的前两项分别仅与 1号和 2号回路各自的电流和自感有关 ， 所以称为自由能 ， 而第三项与两个回路中的电流及它们之间的互感有关 ， 称为互有能 。 自有能恒为正 ， 互有能则可正可负 ， 随电流方向而定 。对于由 n个电流回路组成的系统 ， 不难得到（ 3-7-3）其中 M I M I L I M I k nk k k k k kn n= + + + + + = ( 1,2, , )1 1 2 2（ 3-7-4）磁场能量是分布于磁场所存在的整个空间中的 。 在 n个电流回路 （ 设它们都是单匝的 ） 的磁场中 ， 第 k 号回路的磁链可表示为 m11=2nkkkWI=ddkkk Sl = B
4、 S = A l3.7.2 磁场能量的分布与密度将上式代入式 （ 3-7-3） 中 ， 可得（ 3-7-5）对更普遍的情况 ， 电流不是限制在线形导体内 ， 而是在横截面面积不可忽略不计的导电体内流动 ， 即这时要用 JdV代替Idl ， 用体积分代替线积分 ， 并将体积积分范围扩大到包含所有载流回路 。 这样 ， 式 （ 3-7-5） 即可写成（ 3-7-6） 利用 的关系 ， 上式还可写为 （ 3-7-7）利用矢量恒等式 ， 式 （ 3-7-7） 成为 m11=d2 knklkWI= Alm1=d2 VWV AJJ = Hm1=d2 VWV AH( ) = H A A H H A( )m
5、11= d d22VVW V V + H A H A3.7.2 磁场能量的分布与密度再应用散度定理以及 的关系 ， 得式中等号右端第一项中的闭合面 S是包围整个体积 V的 。 假设所有电流回路都为有限分布 ， 而把 S面取得离电流回路很远 。r 时 ， 第一项的闭合面积分应等于零 。 因此 ， 有（ 3-7-8） 这样 H随 变化 ， A随 变化 ， 面积 S随 变化 ， 所以当 r2 可以看出 ， 磁场能量的体密度为 （ 3-7-9）利用在单个载流回路情况下 ， 磁场能量 的关系 ， 可通过磁场能量求得自感 ， 即 （ 3-7-10）B= Am11= d d22SVWV + H A S H
6、B21r1rm1=d2 VWV HBm1=2w HB2m1=2W LIm22WLI=3.7.3 磁场力载流导体或运动电荷在磁场中所受到的力叫磁场力或电磁力 。从原则上来说 ， 磁场力都可归结为磁场作用于元电流段的力 ， 但这样需用矢量积分式来计算 ， 通常是很繁复的 。设有由 n 个载流回路所构成的系统 ， 假设除了第 p 号回路外 ， 其余都固定不动 ， 且回路 p 也只能这样运动 ， 即仅有一个广义坐标 g发生变化 ， 这时在该系统中发生的功能过程是即所有电源提供的能量等于磁场能量的增量加上磁场力所作的功 。式 （ 3-7-11） 中的 dW可表示成（ 3-7-11）（ 3-7-12） m
7、d d + dW W f g=1ddnkkkWI=3.7.3 磁场力下面分别讨论两种情况：（ 1） 假定各回路中的电流保持不变 ， 这时根据式 （ 3-7-3） ，有可见外源提供的能量 ， 有一半作为磁场能量的增量 ， 另一半用于作机械功 ， 即 由此可得广义力 （ 2） 假定与各回路相交链的磁链保持不变 ， 即 dk=0。这时 ， 外源提供的能量为零 。 根据式 （ 3-7-11） ， 有 （ 3-7-13）m11d = d2knkkIkWI=常 量md =dkIf g W=常 量mmd= =+dkkIIWWfgg=常 量 常 量md = dkf g W =常 量3.7.3 磁场力（ 3-7
8、-14）由此可得广义力此时 ， 磁场力做功只有靠系统内磁场能量的减少来完成 。式 （ 3-7-13） 与式 （ 3-7-14） 所得的都是在当时的电流和磁链情况下的力 ， 因此 ， 两者是相等的 ， 即 在实际问题中 ， 有时只要求计算某一系统中的相互作用力 ， 这时 ， 只要写出它们相互作用能的表达式 ， 然后求偏导数即可 。mmd=dkkWWfgg=常 量 常 量mm=kkIWWgg=常 量 常 量3.7.3 磁场力按照法拉第的看法 ， 每一束磁感应线所形成的磁感应管沿其轴向受到纵张力 ， 同时在磁感应管的侧面会受有侧压力 。 每单位面积上的张力和压力的量值相等 ， 都等于 （ 3-7-15）应用法拉第的看法 ， 有时能较简便地算出磁场力并分析回路受力情况 。应用法拉第观点 ， 还可以证明在两种媒质分界面上 ， 磁场作用于单位面积上的力为 （ 3-7-16）并且不论磁场方向如何 ， 此力总是垂直于该面积 ， 总是由磁导率较大的媒质一边指向磁导率较小的媒质一边 。22112 2 2BBH H=( )22210 1 1 2 1122ntf B H=+谢谢
