1、动力学基础(Fundamentals of Aerodynamics)空 气1激波的形成过程2激波的推进速度3正激波4斜激波5激波内部结构激 波第 20讲在超声速气流中，存在两个基本物理现象，一是膨胀波，另一个是激波。膨胀波是使气流发生膨胀的扰动波，而激波是以一定强度使气流发生突然压缩的波。一 激波的形成过程假定有一根很长管的管子 ， 管之左端用一个活塞封住 ，管内充满了静止气体 ， 压强为 p1 ， 温度为 T1。 活塞从静止起 ， 向右作急剧加速运动 ， 对管内气体压缩 。 从t=0起到 t=t1为止 ， 活塞向右急剧加速 ， t1以后以匀速前进 。一 激波的形成过程从 t=0到 t=t1
2、的加速过程中 ， 活塞以右的气体受到越来越强的压缩 ，活塞与被压气体相接触的面上的气体压强不断提高 ， 到 t=t1时假定活塞面上的气体压强由原来的 p1上升到 p2。AA界面是第一扰动所达到的地方 ， 其右是未经扰动的气体 ， 以左是已经被压缩过的气体 ， 而且越靠活塞压缩越厉害 ， 气体的压强由 AA处的 p1连续地上升到活塞处的 p2。一 激波的形成过程经过一定时间 ， 所有后来产生的波都追上了第一道波 ，导致整个压缩波区 A-B的长度几乎缩短为零 ， 无数多道我们可以把这个连续的变化看作是无数个微小的压缩波 ，每一道波使压强提高一个p， 每一小步的压缩波都以当地的音速向右推进 。 活塞
3、初动时的第一道小波以的速度向右推进 ，该波扫过的气体 ， 压强和温度都有微小提高 。=a RT11第二道小波向右推进的速度是 比第一道波快 。 第三道波又在第二道之后 ， 每道后续的波都在追赶它前面的波 。 AA到 BB的长度 ， 必随时间的推移越来越短 。+=a a R T T()11一 激波的形成过程微弱压缩波叠在一起 ， 形成一个具有一定强度的突跃压缩面 S-S。 在 S-S未到处 ， 气体完全没有受到压缩 ， 而只要 S-S一到 ， 气体就突然受到压缩 ， 压强由 p1突然增大到 p2。 这样一个突跃的压缩面 S-S， 称为激波 。 因 S-S面与气流方向垂直 ， 这种激波称为正激波
4、。上面讨论时未考虑气体微团运动速度 ， 气体原来静止 ， 经第一道波压缩之后 ， 气体微团多少有了一点向右的运动速度 ， 所以第二道波的速度还应叠加该气体运动速度 ， 两个因素都是使第二道波比第一道波快 。 激波形成是必然的 。一 激波的形成过程二 激波的推进速度当由无数个微小压缩波叠加在一起形成激波后 ， 其波阵面以一定的速度向右推进 ， 现在利用积分形式的控制方程 ， 推求激波推进速度 Vs 。 取如图所示的控制体 ， 设激波在初始时刻位于 2-2面 ，在 t时段 ， 激波由 2-2推进到 1-1面 ， 设控制体的长度为 x= Vs t现根据积分形式的控制方程来推导 。 设激波推进速度为
5、Vs ， 激波后气体的运动速度为 Vg 。二 激波的推进速度由连续方程为 （ =V V A AVs g s)21由积分形式的动量方程，有 = ( p p )A (V V )A(V V V )s g s g s1 2 2联解连续方程和动量积分方程，得到 =VVp p p pVVsggs, ( )( )1 2 1 2 12 2 1 2 1 2 1221二 激波的推进速度为了由压强比值得到密度比值，需利用积分形式的能量方程。 +=e AV V V A eppV VVs s gs sg22( ) ( ) ()121 1 2 22 2整理得到 =pp ppe C T pe V p VV v sgg 11
6、1 11 ( 1)2( e )11 22121 2 1 22二 激波的推进速度激波的推进速度和气体的运动速度也用压强和密度的比值确定。 =V a p pV a p pgs /( / 1)( / 1)( / 1) ( / 1)211 2 1 2 11 2 11 2 2 1二 激波的推进速度如果规定了激波的强度 p2/p1，就可以求出激波推进速度了。由此得出，激波的推进速度总是大于微小扰动波的传播速度 a1。令 =+ppV V a ppsg 2/1 1 /1212 21+pVa ps 21 ( 1)1 11 2二 激波的推进速度这说明，激波的推进速度相对于波前气体而言必是超声速的。另外，还可以证明
7、，激波对于波后已经有 Vg运动速度的气体而言，其相对速度必是亚声速的。即 V V asg()2二 激波的推进速度例题设长管中的静止气体参数为 p1=1大气压， 1=1/8kg/m3，T1=288K，用活塞压缩气体产生激波， p2=2大气压，求 Vs，Vg， a2？ =1.4。解 =a RT m s340.1 /11二 激波的推进速度+=+pp pp 1 1.4 121 1.4 1 13 / 8 1.6251.4 11 211 1.4 1111 2212a RT m spT T m spV a a m sa p pV a p pgs 1.4 287 354.5 377.4 /288 2 / 1.
8、625 354.5 / 1.4 1.625 0.524 178.3 /1 0.625( / 1)( / 1)( / 1) 1.4 0.625a 1.363a 463.6m/s 1.625( / 1)22122121 21 111 2 1 2 11 2 1 111 2 2 1三 正激波正激波的波阵面与气流方向垂直 。 现在用相对座标来处理问题 。建立激波前后流动参数之间的关系 。 采用相对坐标的优点是 ， 气流相对于波阵面而言 ， 气流是定常的 ， 可以直接应用定常流的基本方程 。激波前后取虚线所示控制面 。 激波不动 ， 静止的气流以 V1=Vs流向激波 ， 激波后气流速度为 V2（ 小于 a
9、2） 。三 正激波应用连续方程，有 =VV1 1 2 2对虚线控制面应用动量方程，得： 1 1 2 2 1 222+V V p p应用绝热流的能量方程于此控制面，得 1 1 12 2 11 1 2 22 2 2 2 2V a V a a*三 正激波因 2 =a p /代入上式，得到 221122=+aVp *又由连续方程和动量方程得到 22112 2 2 21 1 1 1 1 11212 2211 2 2 12 2 2 22 2 1 112 21+VV (V V ) aVVV V a V a VVVVV pp *三 正激波其有两个解。一个是 V1=V2，代表无变化的情况。另一个解是221111
10、22 +=+VVa* 1112 22 =VV , a 1*上式即为著名的 Prandtl激波公式 。 其表示波前和波后流速系数的关系 。 说明正激波后气流速度系数 2恰好是波前气流速度系数 1的倒数 。因波前必为超音声流 ， 1 1， 所以波后的速度系数 2 1， 就是说 ， 超声速气流经过正激波后必为亚声速流 。三 正激波各气动参数与 Ma的关系为 +=MaMa Ma Ma Ma 221-1 -1, 11 -11 1 12222211 2 1 222密度比关系 =MaV VMa 21 -12 1 11 2 2 212 1 1 2 12三 正激波压强比、温度比、总温、总压比与 M1的关系。=+
11、pVMa Ma1 (1- ) 1 (1- )1 1 2112 2 122+p Map 111 11211 111 212 2 12 +=T Ma MaT MaTT ( 1) 1 1-2 -12 ( -1) 1- -111 1- -1112 12122111222 12三 正激波总压比 +=pppp 11-() -1 11() 1- -1 1201 2 1 12102 2 12 -11Ma Ma Ma 1 1 ( -1) 2-2 -1 ( 1) 121 12 -1 -12- 1熵增量 +MaCpMa S Mapv 1 1 ( 1)1 ln ln 21 ( 1) 201 121 102 2 2三
12、正激波经过激波，总温不变，总压下降，熵增大。这与热力学第二定律所述隔绝系统中的熵只能增加的结论是一致的。当 M11时，熵增量总是正的；而当 M11之下 ， 如果机翼前缘尖劈的顶角 2不太大 ， 所形成的上下两道简单的直激波 ， 其波面和运动方向成一定的斜角 ， 激波依附在物体的尖端上 。 这种激波在形式上与正激波不同 ， 我们把这种波阵面与来流方向斜交的激波称为斜激波 。 在斜激波中 ， 激波波阵面与来流方向之间的夹角 ,称之为激波斜角或简称为激波角 。四 斜激波四 斜激波同样，斜激波后的气流方向也不与激波面垂直，与波前气流方向也不平行，而是与尖劈面平行，夹角 ，称为气流折角 , 意指气流经过
13、斜激波后所折转的角度。四 斜激波如图所示，现在斜激波波阵面上取一段 12341作为控制体，其中 12面、 34面都平行于波阵面，且二者靠的很近。按照波阵面的方向将速度分解为与波阵面垂直和平行的分量。即：12面：来流速度为 V1，分量为 V1t、 V1n； 34面：合速度为 V2，分量为 V2t、 V2n。=V V V VV V V Vntsin( ) cos( )sin cos2 2 2 21 1 1 1四 斜激波利用积分形式的质量方程，得到 =VVnn1 1 2 2四 斜激波然后计算切向动量关系。由切向的动量积分方程得到（在 14和 23面上无压差） +=V V V Vn t n t 01
14、1 1 2 2 2由此得到 V =VVt t t12这说明，气流越过斜激波时，切向分速是不变的。可以把斜激波看作为由正激波的流场与一股平行于激波面的直匀流场相迭加而成。通过斜激波阵面，气流法向分速发生了突变，切向分速不变，波后的气流与物面平行。因此对于给定的来流 Ma1，其法向分速发生多大突变，决定于物面的斜角 。这样，可得 =f Ma( , )1四 斜激波如果尖劈半顶角 是无限小，显然这个很薄的尖劈对超声速气流造成的扰动一定是微弱扰动，扰动波必是马赫波，扰动角必是马赫角。随着尖劈角 的增大， 亦逐渐增大。 愈大， 也愈大。由此看来，就正激波而言，只要 Ma1确定，诸参数的增量就定了；而对斜激
15、波而言，则需要由 Ma1及 两个参数确定激波斜角 ，然后再根据 所确定的激波强度，来确定其它物理量的改变量。由法向动量积分方程得到 +=p V p VV V p pnnnn1 1 1 2 2 2222 2 1 1 1 222四 斜激波由绝热运动的能量方程得到 =+CCT T TVVpp220 1 21222由于 =+VVn Vt2 2 2消去 Vt，有 +CCT T TVVppnnn221 2 01222这里， T0n为不计 Vt的总温。表示仅计及法向速度的部分总温。与之相对应的临界声速为 +=a RT a a Vn n n t11 21* 0 * *2 2 2 2四 斜激波根据法向运动的守衡
16、关系，得到 =+VVV V V V aVVVV pp nnn n n n nnnnn 22()11121 2 1 2 *22 2 1 112 21由此导出 +=VV V V a a Vann n n n tn 11, 112 1 2 * * 2 2 22再由动量积分方程，得到 p p V Map VVVV ap p Vp V V Vnnnn nn n n1 (1 ) 1 sin (1 )sin1 (1 ) 1 (1 )1 1 1 21211 1 2 22211 11 1 1 221 1 2 122压强与密度比的关系不变，有 +=pp pp 111 1111 2212代入，得到 +=p Map
17、11sin211 12 22四 斜激波密度比为 +=Ma MaMasin11 ( 1) sin 2211 ( 1) sin1122 11 2222四 斜激波温度比 =+MaTp MaTp sin1 1 1sin 1 11 2 2 111 1 2 2212 2 1 222总压比为 +Map Ma Map ( 1) sin 211sin21( 1) sin101 221 102 22 1 1221熵增量为 MaC MaS Mav ( 1) sin111 ln ln sin21( 1) sin 21221 12222)(四 斜激波波后 Ma数为 +=+Ma MaMa Ma Ma11sin 1 sin
18、2211cos222 2 2 222 2 2 2经过斜激波，切向速度不变，总温不变。由压强比的公式可见，对于给定的来流 Ma数，激波强度与激波角有关，激波角越大，激波强度越大。当激波角等于 90度时，激波强度最大这说明，正激波是最强的激波。四 斜激波另一个极端是弱激波，激波强度趋近零，有 =+Map Mapsin 111sin 12111 12 22说明，在给定 Ma数下，最弱的激波是马赫波。现在利用几何关系确定激波角与气流折角的关系 =+=Va VVaV V a Vn tn n t1112 1 1 1112 1111 22 1 12221 2 *22四 斜激波化简得到 +=+MaVV nn
19、sin112 1 111 222根据几何关系，得到 =V V V tgtgV V Vn t nn n t ()1122代入上式，解出 +=Ma tgtgMa2 sin 11 sin 1122122四 斜激波四 斜激波四 斜激波对于给定 Ma1和 的情况，都有两个不同的 、 Ma2等值。原因是：对于一定的 Ma1， 气流经过正激波时 ， 方向不变 ， 即=0：而气流经过马赫波 （ 无限微弱的压缩波 ） 时 ， 仍然 =0。 因此 ， 当激波斜角 由马赫角 增大到 90时 ， 中间必存在某个最大折角max当激波斜角 由 开始逐渐增大时 ， 相应地由 0逐渐增到 max；而 继续增大到 90时气流折
20、角 却相应地由 max逐渐减小 。在同一 Ma1之下，一个 值对应着两个 大者，代表较强的激波，称为强波； 小者，代表较弱的激波，称为弱波。四 斜激波图中的虚线表示对应于 max各点的联线 ， 这条虚线把各图分成两部分 ， 一部分是强波 ， 一部分是弱波 。 实际问题中出现的究竟是强波还是弱波 ， 由产生激波的具体边界条件来确定 。 根据实验观察 ， 方向决定的斜激波 ， 永远是只出现弱波 ， 不出现强波 。四 斜激波在超声气流中产生激波存在三种情况由气流折转所确定的激波在超声速气流中，放置一块尖劈，尖劈的斜面把气流通道挤小了，气流受到压缩，发生激波。这是的激波是被斜面的角度所确定。四 斜激波
21、四 斜激波由压强条件确定的激波在自由边界上由压强条件所确定的激波 。 例如超声速喷管出口的压强当低于外界大气压强时 ， 气流将会产生激波来提高压强 。四 斜激波壅塞激波在管道中（如超声速风洞和喷气发动机的管道中），可能发生一种的壅塞现象。那是管道某个截面限制了流量的通过，使上游的部分来流通不过去。这是会迫使上游的超声速气流发生激波，调整气流。这种激波既不是由方向所规定，也不是由反压所规定。四 斜激波离体激波在斜激波曲线图中，对于给定的 Ma1，经过一道斜激波，气流的转折角存在一个最大值。即使对于 Ma1趋近于无穷大的情况，最大的气流折角也不过 45.58度。四 斜激波当 Ma1趋近于无穷大时，
22、有 ，+=+tg tg dtg dMa ( 1)( 1) 1.4 45.59 , 67.7912 sin 21lim , 0,sinsin 1max max 002 221如果在某一 Ma数下，物面要求的气流折角大于该 Ma数下的最大折角，无解。这说明，在这种情况下气流产生一道斜激波是不可能绕过物体的。实验发现，这时在物体头部出现离体激波，波阵面是弯曲的，呈弓形状态，名为弓形激波，中间是正激波，两边是弯斜的。激波位置离物体头部存在一定的距离。四 斜激波来流 Ma数越大，越靠近物体。四 斜激波纹影仪显示的附体激波干涉仪四 斜激波干涉仪显示的脱体激波与膨胀波四 斜激波左：脱体正激波与尾波 (M=00.9)右：附着斜激波、尾波与膨胀波 (M=1.4)五 激波内部结构把激波当作没有厚度的突跃面（间断面）看待，在处理一般流动问题是可以的，不会造成较大误差的。当就其内部结构而言，激波是存在厚度的，这是因为速度经激波存在突跃，如果激波厚度为零，则速度梯度应无穷大。五 激波内部结构五 激波内部结构这种情况下，粘性必然起作用，而在粘性的作用下，速度的变化必然是在一个厚度上逐渐过渡的。这个过渡区的长度即为激波的厚度。不过这个厚度十分小，是分子自由程的量级。如在海面大气中，分子自由程为 mm70 10 6在 Ma=3的情况下，用连续介质理论计算出的激波厚度为 mm66 10 6
