1、传播问题,同一元一次方程，二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型。本节课将讨论如何利用一元二次方程解决实际问题。,复习回顾：,传染病,一传十, 十传百, 百传千千万,有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?,分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人,开始有一人患了流感,第一轮:他传染了x人,第一轮后共有_人患了流感.,第一轮的传染源,第一轮后共有_人患了流感.,第二轮的传染源,第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,第二轮后共有_人患了流感.,x+1,x+1,1+x+x(x+1)=(x+1)2,列方程得,
2、1+x+x(x+1)=121,x=10;x=-12,注意:1,此类问题是传播问题. 2,计算结果要符合问题的实际意义.思考:如果按照这样的传播速度,三轮后有多少人患流感?,121+10121=1331,1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?,主干,支干,支干,小分支,小分支,小分支,小分支,x,x,x,1,解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+xx=91,即,解得,x1=9,x2=10(不合题意,舍去),答:每个支干长出9个小分支.,两年前生产一吨甲种药品的成本是5000 元,生产一吨乙种药品的成本是60
3、00元,随着生产技术的进步,现代生产一吨甲种药品的成本是3000元,生产一吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?,分析:甲种药品成本的年平均下降额_ 乙种药品成本的年平均下降额_显然,_种药品成本的年平均下降额较大.但:年平均下降额(元)等于年平均下降率(百分比)吗？,分析:乙种药品成本的年平均下降额较大,是否它 的年平均下降率也较大?请大家计算看看.,设乙种药品的年平均下降率为x，则一年后乙种药品成本为_,两年后乙种药品成本为_,思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗? 应该怎样全面地比较几个对象的变化状况?,类似地 这种增
4、长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式,若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为,其中增长取“+”,降低取“”,小结,1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500,2.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨.设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意,列出方程为 _ .,3. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比
5、两个月前下降了36，问平均每月降价百分之几？,解：设平均每月降价的百分数为 ，又设两个月前的价格为 元，则现在的价格为 元，根据题意，得 ， 不合题意舍去答：平均每月降价 ,总结,1、平均增长（降低）率公式,2、注意： （1）1与x的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法,学无止境,迎难而上,这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求,列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答,22.3 实际问题与一元二次方程（二）,探究2,两年前生产 1吨甲种药品的成本是50
6、00元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?,分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)2=1200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数),解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为 5000(1-x)2 元,依题意得,解方程,得,答:甲种药品成本的年平均下降率约为2
7、2.5%.,算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?,比较:两种药品成本的年平均下降率,22.5%,(相同),经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?,经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.,思考,归纳,类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式,若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为,其中增长取+,降低取,例.2003年2月27日广州日报报道：2002年底广州市自然保护区覆盖率（即自然保护区
8、面积占全市面积的百分比）为4.65，尚未达到国家A级标准因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2004年底自然保护区覆盖率达到8以上若要达到最低目标8，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）,应用,解：设广州市总面积为1，广州市自然保护区面积年平均增长率为x，根据题意，得 14.65% (1x)218% (1x)21.720 1x1.312 x1 0.312=31.2%, x2 2.312(不合题意,舍去) 答：要达到最低目标，自然保护区面积的年平均增长率应为31.2%,1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A
9、.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 .,B,练习,3.美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。某城市近几年来通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）。（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2001年底的绿地面积为 公顷，比2000年底增加了 公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是 _年；（
10、2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率。,60,4,2000,解：设2002年,2003年两年绿地面积的年平均 增长率为x，根据题意，得 60 (1x)272.6 (1x)2=1.21 1x=1.1 x1 = 0.1=10%, x2 =2.1(不合题意,舍去) 答： 2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率为10%,4.某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图.请你根据统计图给出的信息回答：(1)填写完成下表：这20个家庭的年平均收入为_万元；(2)样本中的中位
11、数是_万元，众数是_万元；(3)在平均数、中位数两数中，_更能反映这个地区家庭的年收入水平.(4)要想这20个家庭的年平均收入在2年后达到2.5万元,则每年的平均增长率是多少?,1,1,2,3,4,5,3,1,1.6,1.2,1.3,中位数,解：设年平均增长率为x，根据题意， 得1.6 (1x)22.5 (1x)2= 1x=1.25 x1 = 0.25=25%, x2 =2.25(不合题意,舍去) 答：每年的年平均增长率为25%,5、某农户1997年承包荒山若干亩，投资7800元改造后种果树2000棵，其成活率为90%。在今年(注：今年指2000年)夏季全部结果时，随意摘下10棵果树的水果，称
12、得重量如下：(单位：千克)8，9，12，13，8，9，11，10，12，8根据样本平均数估计该农户今年水果的总产量是多少？此水果在市场每千克售1.3元，在水果园每千克售1.1元，该农户用农用车将水果拉到市场出售，平均每天出售1000千克，需8人帮助，每人每天付工资25元.若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果，选择哪种出售方式合理？为什么？该农户加强果园管理，力争到2002年三年合计纯收入达到57000元，求2001年、2002年平均每年的增长率是多少？(纯收入=总收入-总支出),解:(1)样本平均数为,总产量=200090%10=18000(千克),(2)在果园出售的利润是1.11800
13、07800=12000(元),在市场出售的利润是1.3180007800(180001000)825=12000(元),所以两种出售方式相同,选择哪一种都可以;,(3)设2001年、2002年平均每年的增长率是x,得, x1 = 0. 50=50%,x2 =3.5(不合题意,舍去),答： 2001年、2002年平均每年的增长率是50%,1、平均增长（降低）率公式,2、注意： （1）1与x的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法,1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg,2003年平均每公顷产8450kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.,2.某银行经过最近的两
14、次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%,平均每次降息的百分率是多少(精确到0.01%)?,课后作业,22.3实际问题与一元二次方程（三）,面积问题,复习：列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题。,一、复习引入,1直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？ 2正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？ 3梯形的面积公式是什么？ 4菱形的面积公式是什么？ 5平行四边形的面积公式是什么？ 6圆的面积公式是什
15、么？,要设计一本书的封面,封面长27,宽21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?,探究3,分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的 矩形两边之比也为9:7,解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得,解得,故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:,分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7,解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm 依题意得,解方程得,方程的哪个根合乎实际意义?为什
16、么?,例1. 学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.,应用,解: (1),方案1：长为 米，宽为7米;,方案2：长为16米，宽为4米;,方案3：长=宽=8米;,注：本题方案有无数种,（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.,由题意得长方
17、形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.,x(16-x)=63+2，,即x2-16x+65=0，,此方程无解.,在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米,1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.,解:设这个矩形的长为xcm,则宽为 cm,即,x2-10x+30=0,这里a=1,b=10,c=30,此方程无解.,用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.,练习,2：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各
18、设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.,解:(1)如图，设道路的宽为x米， 则,化简得，,其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.,图(1)中道路的宽为1米.,则横向的路面面积为 ，,分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。,解法一、如图，设道路的宽为x米，,32x 米2,纵向的路面面积为 。,20x 米2,注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2,所列的方程是不是,所以正确的方程是：,化简得，,其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：,=100 (米2),答：
19、所求道路的宽为2米。,解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）,横向路面 ，,如图，设路宽为x米，,32x米2,纵向路面面积为 。,20x米2,草坪矩形的长（横向）为 ，,草坪矩形的宽（纵向） 。,相等关系是：草坪长草坪宽=540米2,(20-x)米,（32-x)米,即,化简得：,再往下的计算、格式书写与解法1相同。,3.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平
20、方米,问:道路宽为多少米?,解:设道路宽为x米，,则,化简得，,其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.,答:道路的宽为1米.,4.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.,解:设小路宽为x米，,则,化简得，,答:小路的宽为3米.,1.如图（1），宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【 】 A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm22. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（2）所示，如果要使整个挂图的面积
21、是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】 Ax2+130x-1400=0 Bx2+65x-350=0 Cx2-130x-1400=0 Dx2-65x-350=0,A,B,图（1）,图（2）,补充练习,3.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形，用计算器求得a的长为（保留3个有效数字）【 】A2.70m B2.66m C2.65m D2.60m,C,4如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_,图（3）,图（4）,这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题
22、时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求,列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次 方程解应用题的步骤类似， 即审、设、列、解、检、答,小结,实际问题与一元二次方程(4),（销售问题）,列方程解应用题的一般步骤？,第二步：设未知数(单位名称);,第三步：根据相等关系列出列出方程；,第四步：解这个方程，求出未知数的值；,第五步：检验求得的值是否符合实际意义；,归纳复习,第六步：写出答案（及单位名称）。,提示：隐含条件的挖掘，从中找等量关系。,第一步：审清题意，找出等量关系。,销售问题,1.利润=售价-进价,2.利润率=,3.总售价=单价x总销售量,拓展与提高： 1.制
23、造一种产品，原来每件成本价是500元，销售价是625元，经市场预测，该产品销售价第一个月降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为使两个月后的销售利润与原来的销售利润一样，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？,2.某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率。,3.某个体经营户以2元/kg的价格购进一批西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可卖出200kg，为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现这种西瓜每降价0
24、.1元/kg ,每天可多售出40kg（每天房租等费用共计24元），该经营户要想赢利200元，应将每千克的西瓜的售价降低多少元？,4 某区的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？某区建设发展规划纲要（草案）确定2012年走区内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？,30%，可完成,100%,5 某厂生产一产品，今年产量为200件，计划创新后使今后两年产量均比上年增长相同百分数，这样三年（包括今年）总产量达1400件，求这个百分数。,6 某商场销售一批名牌衬衫，
25、平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每天衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？,（1）每件降价10元或20元；（2）每件降价15元，平均每天盈利最多1250元,7 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫
26、应降价多少元？（2）每天衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？,（1）每件降价20元；（2）每件降价15元，平均每天盈利最多1250元,8某水果批发商城经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500kg。经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量就减少20kg，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？,每千克涨价5元,某木器厂今年1月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求该工厂3月份和4月份的平均增长率。 某企业2007年盈利1500万元，
27、2009年实现盈利2160万元从2007年到2009年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2008年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2010年盈利多少万元？,20,（1）2008年该企业盈利1800万元 （2）预计2010年该企业盈利2592万元,数字问题,1.两个连续偶数：2n 2n+2或2n-2 2n 或n n+2或n-2 n,2.两个连续奇数： 2n -1 2n +1或 2n +1 2n +3或n n+2或n-2 n,3.三个连续偶数： 2n-2 2n 2n+2 或n-2 n n+2,4.三个连续奇数：2n -1 2n +1 2n +3 或n-
28、2 n n+2,例1 有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。例2 已知三个连续奇数，其中最小的数的平方的3倍减去25和两个较大数的平方和相等，试求这三个数。例3 有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数。,3，1，1或15，17，19,68,例4 有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为x2，根据题意得 3x（x2）10（x2）x整理得3x217x200因为（3x5）（x4）0所以因为个位上的数字不能为分数，所以 不合题意，舍去，所以x4，x22，故这个两位数为24,例5.一个三角形的三边长是三个连续奇数，这三个连续奇数的平方和为155，这个三角形三条边长各是多少？,问题 展示：,1.正方体的表面积是216 ，求这个正方体的棱长。 2.已知两个数的和是12，积等于32.求这两个数。3.一个直角三角形的面积是24 ,两条直角边的差是 2 cm，求两条直角边的长。,
