中考数学压轴题二次函数与圆.doc

1、第四讲：二次函数与圆综合中考要求考试要求板块A 级要求 B 级要求 C 级要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；例题精讲一、二次函数与圆综合【例 1】 已知：抛物线 与 轴相交于 两点，2:(1)(2)Myxmx12(0)()AxB， ， ，且 12x（）若 ，且 为正整数，求抛物线 的解析式；

2、0M（）若 ，求 的取值范围；12x，（）试判断是否存在 ，使经过点 和点 的圆与 轴相切于点 ，若存在，求出ABy(02)C，的值；若不存在，试说明理由；:()(2)ym（）若直线 过点 ，与（）中的抛物线 相交于 两点，且使 ，求直线 的lkxb07F， PQ， 12PFl解析式【解析】（）解法一：由题意得， 12解得， 2为正整数， myx解法二：由题意知，当 时， 02(1)0(2)m（以下同解法一）解法三： ，2(1)4()3123xx， ，又 （以下同解法一 ）12200， 解法四：令 ，即 ，y()()0m （以下同解法三 ）12()x，（）解法一： 12121xx， ， ，即

3、12()0，12xm， 解得： ()m 的取值范围是 解法二：由题意知，当 时 ，x 1()(2)0y解得： 的取值范围是 m1解法三：由（）的解法三、四知， 12xm，12x， ， m 的取值范围是 m xyODO C(0,2)BA7OFP2P1PQ2Q1 xyQ（）存在解法一：因为过 两点的圆与 轴相切于点 ，所以 两点在 轴的同侧，AB， y(02)C， AB， y 120x由切割线定理知， ，2OC即 ，14x 124.x.6m解法二：连接 圆心所在直 线 ， B， 122bmxa设直线 与 轴交于点 ，圆心为 ，xxDO则 122ODC，1(3)ABABxm， 2在 中， RtOD

4、22BO即 解得 2316（）设 ，则 12()()PxyQy， ， ， 2211xyx，过 分别向 轴引垂线，垂足分 别为 则 ， 1(0)()PQ， ， ， 11PFOQ 所以由平行线分线段成比例定理知， FO因此， ，即 120x21x过 分别向 轴引垂线，垂足分 别为 ，PQ， y212(0)()Pyy， ， ，则 所以 2 2FPQ F 127y12y221().34x，或 2114x， 12x当 时，点 直线 过 ，(3)P， l(3)07PF， ， ，解得703.kb， 7.k，当 时，点 直线 过 ，12x()， l(2)()， ， ，解得).kb， .k，故所求直线 的解析式

5、为： ，或 l 7yx7yx【例 2】 已知抛物线 与 y 轴的交点为 C，顶点为 M，直线 CM 的解析式 2yaxc并且线段 CM 的长为2（1 ）求抛物线的解析式。（2 ）设抛物线与 x 轴有两个交点 A（X 1 ，0） 、B（X 2 ，0） ，且点 A 在 B 的左侧，求线段 AB 的长。（3 ）若以 AB 为直径作N，请你判断直线 CM 与N 的位置关系，并说明理由。【解析】（1）解法一：由已知，直线 CM：y=x2 与 y 轴交于点 C（0,2）抛物线 过点 C（0,2），2yaxbc所以 c=2，抛物 线 的顶点 M 在直线 CM 上，2yabc24,bac所以 ，解得 或24a

6、b02若 ，点 C、M 重合，不合题意，舍去，所以 即 M0 b1,2a过 M 点作 y 轴 的垂线，垂足为 Q，在 2RtCQ中 ，所以， ，解得， 。22118()()aa1所求抛物线为： 或 以下同下。yx2yx解法二：由题意得 ,设点 M 的坐标为(0)C(,)点 M 在直 线 上，2由勾股定理得 ，2)xy2C = ，即22()xy(8解方程组 ，得 ，22814y20x 或(,0)(,)当 时，设抛物线解析式 为 ，抛物线过 点，4M2()a(0,2) ，12a2yx当 时，设抛物线解析式 为(,0) 2()yx抛物 线过 点， ，12a所求抛物线为： 或yx21yx（2）抛物线与

7、 x 轴有两个交点， 不合题意，舍去。21y抛物 线应为 ： 21yx抛物线与 x 轴有两个交点且点 A 在 B 的左侧， ，得210x由124AB（3）AB 是N 的直径，r = ， N（2， 0），又M（2， 4），MN = 4设直线 与 x 轴交于点 D，则 D（2，0），DN = 4，可得 MN = DN，y，作 NGCM 于 G，在 = r 5MDRt中 ， sin52GN即圆心到直线 CM 的距离等于 N 的半径直线 CM 与N 相切【例 3】 已知：在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与 轴交于点 ，抛物线 经过 ，xOy4ykxxA2yaxbcO两点A试用含 的代数式表示 ；

8、ab设抛物线的顶点为 ，以 为圆心， 为半径的圆被 轴分为劣弧和优弧两部分若将劣弧沿 轴翻折，DDA翻折后的劣弧落在 内，它所在的圆恰与 相切，求 半径的长及抛物线的解析式；OD设点 是满足( )中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 轴上方的部分上是否存在这样的点 ，使得B2 x P？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由43POA PDDAOyxnmBD AEPO xy P yxBAEOD【解析】解法一：一次函数 的图象与 轴交于点4ykxxA点 的坐 标为( ， )A0抛物 线 经过 、 两点2abcOA ， ， 0c164a解法二：一次函数 的图象与 轴交于点4ykxx点 的坐 标为(

9、 )0，抛物 线 经过 、 两点2abc抛物 线 的对称轴为直线 2 ，x4由抛物线的对称性可知， DOA点 在 上，且O又由( )知抛物线的解析式为124yax点 的坐 标为( )D24，当 时，0a如 图 ，设 被 轴 分 得 的 劣 弧 为 ，它 沿 轴 翻 折 后 所 得 劣 弧 为 ，显 然xAmxAOn所 在 的 圆 与 关 于 轴 对 称 ，设 它 的 圆 心 为 D点 与点 也关于 轴对称点 在 上，且 与 相切ODD点 为 切点， O 45A 为等腰直角三角形，2点 的 纵坐标为 ，2a 12ab，抛物 线 的解析式为 21yx当 时，0同理可得： OD抛物线的解析式为 21

10、yx综上， 半径的长为 ，抛物 线的解析式为 或21yx21yx 抛物线在 轴上方的部分上存在点 ，使得xP43OAB 设点 的坐标为( )，且P,y0当点 在抛物线 上时( 如图 )21x2点 是 的优弧上的一点BD ，1452OA 4603POAB 过点 作 轴于点 ， ，PExtanE ，tan60yx3y由 解得： (舍去)21yx124306xy，点 的坐 标为 P，当点 在抛物线 上时( 如图 )，同理可得，21yx33yx由 解得： (舍去)231yx12406xy，点 的坐 标为 P43，综上，存在满足条件的点 ，点 的坐标为： 或P4236， 42364，点评：本题是一道二次

11、函数与圆的综合题，解决本 题的关键 是：作出将劣弧沿 轴翻折后的弧所在圆 ，并充xD分利用轴对称的性质本题考点： 1直线与圆的位置关系(切线的性质)；2 轴对称；3等腰直角三角形的性 质，4三角函数； 5二次函数解析式的确定【例 4】 如图，在平面直角坐标系中，以点 为圆心，半径为 的圆交 轴正半轴于点 ， (04)C， 4yA是 的切线动点 从点 开始沿 方向以每秒 个单位长度的速度运动，点 从 点开始沿 轴正ABC PAB1QOx方向以每秒 个单位长度的速度运动，且动点 、 从点 和点 同时出发，设运动时间为 (秒)4PQAOt当 时，得到 、 两点，求经过 、 、 三点的抛物线解析式及对

12、称轴 ；1t1Q1 l当 为何值时，直线 与 相切？并写出此时点 和点 的坐标；在的条件下，抛物线对称轴 上存在一点 ，使 最小，求出点 N 的坐标并说明理由lNPQ lQ1P1yxQOPCBAlQ1P1MyxQOPCBA【解析】 由题意得 ， ， 的坐标分别为 ， ， A1P(08)A， 1()P， 1(40)，设抛物线解析式为 ，则2yaxbc6abc ， ， 23ab8c所求抛物线为 23yx对称轴为直线 ： l1 设 时， 与 切于点 taPQCM连结 ， ， ，则 ， APa4QOa又 ， 分别平分 和C而 ，180AO ，990 ， MPQRttC 即 ，C4a2由于时间 只能取正

13、数，所以即当运动时间 时， 与 相切2tP此时： ， ， ，(P8)(0) 点 关于直线 的对称点为 ，l(18)则直线 的解析式为：Q649yx直 线 交直线 于 ， ，此 时 最小， ，lN(20)3NPQ1(2N0)3【例 5】 如图，点 ，以点 为圆心、 为半径的圆与 轴交于点 已知抛物 过点 和 ，40M， xAB， 216yxbcAB与 轴交于点 yC 求点 的坐标，并画出抛物线的大致图象 点 在抛物线 上，点 为此抛物线对称轴上一个动点，求 最小值8Qm， 216yxbcPPQB 是过点 的 的切线，点 是切点，求 所在直线的解析式E EOEMyxO EDCBA【解析】由已知，得

14、 ， ，20A， 6B，抛物 线 过点 和 ，1yxbcA则 ，解得2,610,bc4,32.c则抛物线的解析式为 ，故 16yxC02，(说明：抛物线的大致图象要过 点 、 、 ，其开口方向、顶点和对称轴相对准确)AB如图，抛物线对称轴 是 l4 ， 抛物 线上， 8Q)m2过点 作 轴于点 ，则 ， ，RxK80， 26QKA， A21又 与 关于对称轴 l 对称，60B， ， 的最小值 P20ACA M B xyO DEQPK图lCA M B xyO DE图当 在第四象限时，如图，连结 和 EMC由已知，得 2OC是 的切线， ，则 CM 90DEEDO又 ， D，又在 和 中，E，则

15、C， ECM设 所在直线的解析式为 ， 过点 ， ，ykxbM02， 40， ，解得40,2kb12b直线 的解析式为 CMyx又 直线 过原点 ，且 ，则 的解析式为 OEECM O12yx当 在第一象限时，易得四边 形 为矩形，此 时 ，(4E)直 线 的解析式为 12yx点评：本题难度不大，第问中，求距离和最短问题是我们 在学习轴对称时的一个典型问题；第问需注意，过圆外一点引圆的切线有两条考点： 1二次函数解析式的确定；2轴对称；3 切线的性质；4一次函数解析式的确定【例 6】 在平面直角坐标系 中，已知直线 经过点 和点 ，直线 的函数表达式为xOy1l0A， 23B， 2l， 与 相

16、交于点 是一个动圆，圆心 在直线 上运动，设圆心 的横坐标34y1l2PC C1lC是 过点 作 轴，垂足是点 aCMxM 填空：直线 的函数表达式是 ，交点 的坐标是 ， 的度数是 ；1l FPB 当 和直线 相切时，请证明点 到直线 的距离等于 的半径 ，并写出 时 的值 2 R32a 当 和直线 不相离时，已知 的半径 ，记四边形 的面积为 (其中点 是直线 l 32RNMOSN与 的交点) 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时 的值；若不存在，请说明理由2lS a yxl1l2EA OCP 4321-2 123Myxl2l1 OGPFEDCBA-2 421NMyxl2l1 OP

17、FECBA-2 421【解析】 ， ，3yx， 60 设 和直线 相切时的一种情况如图甲所示， 是切点，连接 ，则 C 2l DCDP过点 作 的垂线 ，垂足 为 ，PMPG则 ， 所以 RttDC 30DPP， GR当点 在射线 上， 和直 线 相切时，同理可 证A 2l取 时， ，或 32131aR132aR 当 和直线 不相离时，则 ，由知，分两种情况讨论：C l 如图乙，当 时，0 ， 14()233Sa236a当 时，( 满足 )， 有最大值()6a1 S此时 (或 )324()S最 大 值 93 当 时，320a显然 和直线 相切，即 时 ， 最大6SC 2l32aS此时 1234

18、33(2)2S最 大 值综合以上和，当 或 时，存在 S 的最大值，其最大面积为 a 32点评：本题共 3 问，这 3 问之间难度递增，且环环相扣，解决后面的问题时要注意应用前面的结论，解决第 问时要先确定 的取值范围，然后分 类讨论考点： 1一次函数解析式的确定；2等 边三角形的判定及性质；3直a线与圆的位置关系；4全等三角形； 5两函数图象交点坐标的确定；6二次函数的最 值【答案】（1） ， ， ；（2） 或 ；（3）当 或 时，存在 S 的最大值，23yx1P， 03aaa2其最大面积为【例 7】 已知二次函数图象的顶点在原点 ，对称轴为 轴一次函数 的图象与 Oy1ykx二次函数的图象

19、交于 两点( 在 的左侧) ，且 点坐标为 平行于 轴的直线 过 点AB， A4， xl01， 求一次函数与二次函数的解析式； 判断以线段 为直径的圆与直线 的位置关系，并给出证明；tanxC l 把二次函数的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位 ，二次函数的图象与 轴交于 两点，2t0tMN，一次函数图象交 轴于 点当 为何值时，过 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？yFtFMN， ， lyxOlHFEBAO NMCBA yx【考点】二次函数与圆综合，直 线与圆位置关系的确定，切 线 的性质及判定【难度】5 星【题型】解答【关键词】2006 年，山东潍坊【解析】 把 代入 得 ，(4)

20、A， 1ykx34一次函数的解析式为 ； 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为 轴，y设 二次函数解析式为 ，2yax把 代入 得 ，二次函数解析式为 (4)A， 14214yx 由 ，解得 或 ， ， ，2314yxxy(B)过 点分别作直线 的垂线，垂足为 ， ，AB， lA则 ，15154，直角梯形 的中位线长为 ，AB 5248过 作 垂直于直线 于点 ，则 ， ，HH5BA154H ，22154 的 长等于 中点到直线 的距离的 2 倍，ABl以 为直径的圆与直线 相切 平移后二次函数解析式为 ，()yxt令 ，得 ， ， ，0y2()0xt12t过 三点的 圆的圆心一定在直线 上，点

21、 为定点，EDC要使 圆 面积最小， 圆半径应等于点 到直线 的距离，Fx此时，半径为 2，面积为 ，4设圆心为 中点为 ，连 ，则 ，CMN， EM， 1E在三角形 中， ，213 ，而 ，3xt当 时，过 三点的圆面积最小，最小面积为tF， ， 4点评：本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖 ，本 题亮点在第(2)(3)问，这两问都需要确定圆心位置，要求学生较好的掌握圆的有关性质，并能灵活运用考点： 1一次函数，二次函数解析式的确定；2直线与圆的位置关系，3二次函数 图象的平移； 4圆心的性质；5 点到直 线垂线段最短【答案】（1）一次函数的解析式为 ；二次函数解析式为 （2）以

22、为直径的圆与直线 相切 （3）当 时，31yx4yxABlt过 三点的圆面积最小，最小面 积为FMN， ， 【例 8】 如图 1， 的半径为 ，正方形 顶点 坐标为 ，顶点 在 上运动OA1ABCD50， DOA 当点 运动到与点 、 在同一条直线上时，试证明直线 与 相切；DC 当直线 与 相切时，求 所在直线对应的函数关系式；CO 设点 的横坐标为 ，正方形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并求出 的最大值与最小xSxS值1xyODABC1 52xyOD1ABC1 5E13xyOD2ABC1 5E2【考点】二次函数与圆综合，切 线的性质及判定，坐 标与面积【难度】5 星【题型】解答【关键词】2008 年，江苏宿迁【解析】 四边 形 为正方形， ABCDACD 、 、 在同一条直线上， ，直线 与 相切；O90OCDOA 直线 与 相切分两种情况：如图 2， 设 点在第二象限时，过 作 轴于点 ，设此时的正方形的边长为 ，则1 11Ex1 a，解得 或 (舍去)15a4a3