1、二次函数的综合运用1、 (2013重庆 B 卷 25 题)如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3） （1 ）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2 ）把直线 OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点 B（6，m） ，求 m 的值和这个一次函数的解析式；（3 ）第（2 ）问中的一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于 C、D，求过 A、B、D 三点的二次函数的解析式；（4 ）在第（3 ）问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 S1 与四边形 OABD 的面积 S 满足： S1= S？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由231
2、、分析：（1 ）由抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=-1，交 x 轴于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为（-3， 0） ，根据二次函数的对称性，即可求得 B 点（1，0 ） ；（2 ） a=1 时，先由对称轴为直线 x=-1，求出 b 的值，再将 B（1，0 ）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x-3，得到 C 点坐标，然后设 P 点坐标为（x，x2+2x-3） ，根据 SPOC=4SBOC 列出关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，进而得到点 P 的坐标（4，21）或（-4，5） ；先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y=-x-3，再设 Q 点坐标为（x，-
3、x-3） ，则 D 点坐标为（x，x2+2x-3） ，然后用含 x 的代数式表示 QD= 23942、 （ 2011丹东）己知：二次函数 （a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，26yaxb点 A、点 B 的横坐标是一元二次方程 x2-4x-12=0 的两个根（1 ）请直接写出点 A、点 B 的坐标（2 ）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标（3 ）如图 1，在二次函数对称轴上是否存在点 P，使APC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（4 ）如图 2，连接 AC、BC，点 Q 是线段 0B 上一个动点（点 Q 不与点 0、B 重合）
4、 过点 Q 作 QDAC交 BC 于点 D，设 Q 点坐标（ m，0 ） ，当CDQ 面积 S 最大时，求 m 的值2、分析：（1 ）A （-2 ，0 ） ，B（6，0） ；（2 ） ，顶点坐标（2，8 ） ；2116yxx（3 ）作点 C 关于抛物线对称轴的对称点 C，连接 ACy=x+2，交抛物线对称轴于 P 点（2,4 ） ；（4 ）由 DQAC 得BDQBCA，利用相似比表示BDQ 的面积，利用三角形面积公式表示ACQ 的面积，根据 S CDQ=SABC-SBDQ-S ACQ= 2 233246688mm3、 （ 2013珠海）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边
5、OA、OC 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，且长分别为 m、4m（m0） ，D 为边 AB 的中点，一抛物线 l 经过点 A、D 及点 M（-1 ，-1-m） （1 ）求抛物线 l 的解析式（用含 m 的式子表示） ；（2 ）把OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A处，连接 OA并延长与线段 BC 的延长线交于点 E，若抛物线 l 与线段 CE 相交，求实数 m 的取值范围；（3 ）在满足（2）的条件下，求出抛物线 l 顶点 P 到达最高位置时的坐标3、 （ 1）设抛物线 l 的解析式为 y=ax2+bx+c，将 A、D 、M 三点的坐标代入，y=-x2+2mx+m ；（2 ）设
6、AD 与 x 轴交于点 M，过点 A作 ANx 轴于点 N根据轴对称及平行线的性质得出 DM=OM=x，则 AM=2m-x，OA=m，在 RtOAM 中运用勾股定理求出 x，得出 A点坐标 ，运用待定系数43,5m法得到直线 OA的解析式 ，确定 E 点坐标（4m，-3m） ，根据抛物线 l 与线段 CE 相交， （4m ，-34yx8m2+m）列出关于 m 的不等式组，求出解集即可 ；（3）根据二次函数的性质，结合（2）中18m求出的实数 m 的取值范围，即可求解 p 3,244、 （ 2013舟山）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 的顶点为 A，与 y214yxm轴的交点为 B，
7、连结 AB，ACAB，交 y 轴于点 C，延长 CA 到点 D，使 AD=AC，连结 BD作 AEx 轴，DEy 轴（1 ）当 m=2 时，求点 B 的坐标；（2 ）求 DE 的长？（3 ） 设点 D 的坐标为（x ，y ） ，求 y 关于 x 的函数关系式？过点 D 作 AB 的平行线，与第（3）题确定的函数图象的另一个交点为 P，当 m 为何值时，以，A ，B，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？4、 （1）点 B 的坐标为（0，2 ） ；（2 ）延长 EA，交 y 轴于点 F，证出AFCAED ，进而证出ABFDAE ，利用相似三角形的性质，求出 DE=4；（3 ） 根据点 A 和点
8、B 的坐标，得到 x=2m， ，将 代入 ，214ym2x214ym即可求出二次函数的表达式 ；2146yx作 PQDE 于点 Q，则DPQBAF ，然后分（如图 1）和（图 2）两种情况解答m 的值为 8 或-85、 （ 2013张家界）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0 ）的图象过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2 ，3） ，点 D 在 x轴正半轴上，且 OD=OC（1 ）求直线 CD 的解析式；（2 ）求抛物线的解析式；（3 ）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQ CDO；（4 ）在（3 ）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的
9、动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由5、 （ 1） y=-x+1；（2） ；（3 ）关键是证明CEQ 与CDO 均为等腰直角三角形；21yx（4 ）如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CC，交 OD于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF 的周长最小如答图所示，利用勾股定理求出线段 CC的长
10、度，即PCF 周长的最小值 2136、 （ 2013增城市二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 的坐标为（ 3，0） ，直线 y=-x+3 恰好经过 B，C 两点（1 ）写出点 C 的坐标；（2 ）求出抛物线 y=x2+bx+c 的解析式，并写出抛物线的对称轴和点 A 的坐标；（3 ）点 P 在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为 D 且APD=ACB，求点 P 的坐标6、 （1）由直线 y=-x+3 可求出 C 点坐标 C（0，3 ） ；（2 ）由 B，C 两点坐标便可求出抛物线方程 y=x2-4x+3，从
11、而求出抛物线的对称轴 x=2 和 A（1，0 ）（3 ）作出辅助线 OE，由三角形的两个角相等，证明AECAFP，根据两边成比例，便可求出 PF=2，从而求出 P 点坐标点 P 的坐标为（ 2，2）或（2 ，-2 ） 7、 （ 2013新疆）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点C，其中 A 点的坐标是（ 1，0 ） ，C 点坐标是（4 ，3） （1 ）求抛物线的解析式；（2 ）在（1 ）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 的周长最小？若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3 ）若点 E 是（ 1）中抛物
12、线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求ACE 的最大面积及 E 点的坐标7、 （1 ）y=x2-4x+3；（2 ）利用待定系数法求出直线 AC 的解析式 y=x-1，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线 AC 与对称轴的交点即为所求点 D（2,1） ；（3 ）根据直线 AC 的解析式 y=x+m，设出过点 E 与 AC 平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根的判别式=0 时，ACE 的面积最大，然后求出此时与 AC 平行的直线y=x ，然后求出点 E 的坐标，并求出该直线与 x 轴的交点 F 的坐标，再求出 AF，再根据直线 l 与 x 轴14
13、的夹角为 45求出两直线间的距离，再求出 AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解面积 ,F 坐标 27853,48、 （ 2013安顺）如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（-1，0 ） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） （1 ）求抛物线的解析式；（2 ）设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）点 M 是抛物线上一点，以 B，C，D，M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M 的坐标8、分析：（1）由于 A（-1，0 ） 、B（3，0） 、C（
14、0 ，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可y=-x2+2x+3（2 ）分以 CD 为底和以 CD 为腰两种情况讨论运用两点间距离公式建立起 P 点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解35,;2,32（3 ）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答（2， 3） 9、 （12 分）如图, 已知抛物线 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B，点 A 的坐标为cbxy21（2，0） ，点 C 的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E
15、作 DEx 轴于点 D，连结 DC，当DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3 ）在直线 BC 上是否存在一点 P，使ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由. ABCEDx yo题 图26ABCx yo备 用 图解：（1）二次函数 的图像经过点 A（2，0）C(0,1)cbxy21 02cb解得： b= c=1-2 分1二次函数的解析式为 -3 分12xy（2 ）设点 D 的坐标为（m， 0） （0m2） OD =m AD =2-m由ADEAOC 得， -4 分OCEA 12EDE= -5 分CDE 的面积 = m2m= =42m41)(当 m=1 时， CDE
16、的面积最大点 D 的坐标为（1，0）- 8 分（3 ）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 12xy设 y=0 则 解得：x 1=2 x2=121x点 B 的坐标为（1，0 ） C（0，1）设直线 BC 的解析式为：y=kxb 解得：k =-1 b=-1直线 BC 的解析式为: y=x1在 RtAOC 中，AOC=90 0 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC= 5点 B(1,0) 点 C（0，1）OB=OC BCO=45 0当以点 C 为顶点且 PC=AC= 时，设 P(k, k 1)过点 P 作 PHy 轴于 HHCP=BCO=45 0CH=PH=k 在 RtPCH 中k2+k2= 解得
17、k1= ， k2=510P 1（ ， ） P2（ ， ）-10 分0以 A 为顶点，即 AC=AP= 5设 P(k, k 1)过点 P 作 PGx 轴于 GAG=2k GP=k 1在 RtAPG 中 AG2PG 2=AP2（2k) 2+( k1) 2=5解得：k 1=1,k2=0(舍)P 3(1, 2) -11 分以 P 为顶点，PC=AP 设 P(k, k 1)过点 P 作 PQy 轴于点 QPLx 轴于点 LL(k ,0)QPC 为等腰直角三角形PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA= k2AL=k-2, PL=k 1 在 RtPLA 中( k)2=(k2) 2(k1) 2解得：k= P4(
18、 , ) -12 分5710、 （本题满分 12 分）已知抛物线 交 x 轴于 A(1,0)、B(3,0)两点，交 y 轴于点 C，其顶2yxbc点为 D （1 ）求 b、c 的值并写出抛物线的对称轴；（2 ）连接 BC，过点 O 作直线 OEBC 交抛物线的对称轴于点 E求证：四边形 ODBE 是等腰梯形；（3 ）抛物线上是否存在点 Q，使得OBQ 的面积等于四边形 ODBE 的面积的 ？若存在，求点 Q 的坐31标；若不存在，请说明理由（1 ）求出： ， ，抛物线的对称轴为：x=2 4b3c(2) 抛物线的解析式为 ，易得 C 点坐标为（0，3） ，D 点坐标为（2 ，-1 ）42xy设抛
19、物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 F，易得 F 点坐标为（2，0） ，连接 OD，DB ，BE OBC 是等腰直角三角形， DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2） ，BOE= OBD= OEBD5四边形 ODBE 是梯形 5 分在 和 中，ODFRtBtOD= ，BE=5122122FBEOD= BE四边形 ODBE 是等腰梯形 7 分(3) 存在， 8 分由题意得： 9 分29312DEOBSDE四 边 形设点 Q 坐标为（x，y） ，由题意得： =yBQ1三 角 形 231ODBES四 边 形 1当 y=1 时，即 ， ， ，1342x21xxQ 点坐标为（2+ ，1 ）或(2- ，1) 11 分当 y=-1 时，即 ， x=2，2xQ 点坐标为（2，-1 ）
