线性代数线性代数线性代数 (6).pdf

1、6 分解 6.1 分解 回忆消元法的过程：方阵 上三角矩阵 使用矩阵语言： 是初等矩阵的乘积. 例： 目标：将矩阵 分解成一个下三角矩阵(lower triangular matrix)和一个上三角矩阵(upper triangular matrix) 的乘积. 初等行变换 6.1 分解 看三阶方阵的情形： 设不需做换行， 经Gauss 消元法变为上三角阵 即 于是 消去矩阵为下三角矩阵. 下三角矩阵的逆、乘积均是下三角 矩阵. 6.1 分解 问题：为什么用 而非 例： 6.1 分解 容易计算 不易计算. 只包含消去信息 包含其他信息. 是这样得到的：将消元的系数写在 相应位 置上. 记 代入

2、得 “ ”表示把矩阵的第 行减去第 行的 倍. 6.1 分解 例 为上三角矩阵，对角元为 的主元. 为下三角矩阵，对角元为 乘数 位于对角元下方. 6.1 分解 有时， 写成 例：上例中 其中 为对角阵 为上三角阵 为下三角阵 和 的对角元 都是 6.2 用 分 解 解线性方 程组 若 则方程组 变为 (下三角形方程组) (上三角形方程组) 例：已知 应用 的 分解来解 其中 6.2 用 分 解 解线性方 程组 解： 不计求 分解的运算在内, 解两个三角方程组 和 比直接解 简单. 6.2 用 分 解 解线性方 程组 实际问题中常需解一系列具有相同系 数矩阵 的线性 方程组 当 可逆时，可求

3、再求 实践中， 1. 用消元法解第一个方程组，同时得到 的 分解； 2. 用 分解解剩下的方程组. 6.3 消 元 法的 计算量 问题：设 为 阶矩阵，用Gauss 消元法解 需多少次加减乘除运算？ 求乘数 共需 次除法. 共需 次乘法. 共需 次减法. 对 阶矩阵继续消元， 6.3 消 元 法的 计算量 所以，消元法一般过程含乘除法次数 为 含加减法次数为 回代过程：含乘除法次数为 含加减法次数为 因此，Gauss 消元法的计算量为 含乘除法次数 加减法次数 6.4 分 解 的存在性和 唯一性 并非每个矩阵 都有 分解, 即使 可逆. 例：若 则 问题：若可逆矩阵 有 分解，则 应满足什么条

4、件？ 设 是 的左上角的 子矩阵，称为 的 阶顺序主子阵. 6.4 分 解 的存在性和 唯一性 定理：设 可 逆矩阵 的 顺序主子 阵 均为可 逆阵，则 有 分解. 证明：对 的阶数 用数学归纳法. 时， 定理成立. 假设 时定理成立, 则 时， 其中 是 维列向量， 是 维行向量. 6.4 分 解 的存在性和 唯一性 由 可逆，对 作消元： 由归纳假设， 故 定理得证. 即 6.4 分 解 的存在性和 唯一性 定理：设 阶可逆阵 有 其中 为下三角矩阵 为上三角矩阵，且 则分解唯一. 证明：设可逆阵 有两个 分解： 则 为对角阵. 因 的对角元为 故 对角元全为 故 即 同理，设可逆矩阵 则

5、分解唯一. 6.5 对称矩 阵 的 分解 设可逆对称矩阵 不需换行，只通过消元能化成上三角矩 阵 即有 则 由 分解唯一性知 故 例： 分解 分解 6.5 对称矩 阵 的 分解 例： 6.6 置换矩 阵 定义：一个 元置换是 的一个排列. 这诱导了 阶单位矩阵行的一个重排. 单位阵行重排后得到的矩阵称为置换阵. 注： 例：所有 置换阵为 6.6 置换矩 阵 所有 置换阵为 共有 个 阶置换阵. 置换阵的逆还是置换阵, 置换阵的乘积仍是置换阵. 置换阵 满足 6.7 分解 定理：设 是一个 阶可逆阵，则存在置换阵 使得 证明：对矩阵 的阶数 用数学归纳法. 时定理显然成立. 假设 时定理成立. 时， 的第一列有非零元，否则 不可逆. 设 则调换第 行和第 行, 得矩阵 于是 也可逆. 对 作消元得 且 6.7 分解 为 阶可逆阵, 由归纳假设知，存在 阶置换阵 使 得 于是 最后令 则 故 6.7 分解 例： 故 6.7 分解 例： 6.7 分解 注意到