1、经济数学基础,3.1 中值定理,3.2 洛必达法则,3.3 函数的单调性,3.4 函数的极值,3.5 导数在经济中的应用,第三章 导数的应用,3.6 利用导数研究函数,定理1 设函数 满足下列条件,(3),(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导;,则在内至少存在一点 ，,a,b,使得,罗尔中值定理,3.1 中值定理,定理的几何意义：如果在连续曲线 上，处处有不垂直于 轴的切线，且曲线段的两个端点的纵坐标相等，那么曲线上至少存在,一点，使得在该点处的切线平行于 x 轴见图,在图3-1中，在曲线的最高点或最低点处切线是水平的，这就启发我们去证明在函数的最大值点或最小值点处的导数为零.
2、,证 因为 在 上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，在 上必有最大值 和最小值 ,，则 在 上恒为常数,从而在 内处处有,如果,(1),此时显然定理成立.,，所以 与 中至少有一个不会在区间 的端点取到.,不妨假设 不在端点取到,， 则在 内至少存在一点 ,使得,下面证明有,因为 是函数 在 上的最大值，所以总有,当 时， 有,又 在 内可导，所以在 点处可导，即 存在，且有,(2),由于,为此,给自变量在 点一个增量 ,则有函数的增量,从而有,解 因 是初等函数,而初等函数在其定义域内连续,又该函数的定义域为 , 且显然0,3 , 所以 在0,3 上连续, 所以 在(0,3)内可导,例1
3、验证 在0,3上是否满足罗尔定理的所有条件？如果满足，请找出定理中的 ,又,即 在区间0，3上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理知，在（0，3）内至少存在一点 ，使得 ,为求 值,可令,解之得,易见,因此可取,则在区间 内至少存在,(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导；,定理2 设函数 满足下列条件,一点 ，,使得,拉格朗日中值定理,曲线 处处有不垂直于 轴的切线,如图 在直角坐标系Oxy,端点连线AB的斜率为,所以定理实际是说存在点 ，使曲线在该点的切线T平行于弦AB。,即,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,二、两个重要推论,2.在开区间 内可导，,1.在闭区间 上连续
4、；,定理3 Cauchy中值定理,则在区间 内定有点,使得,柯西中值定理,设函数 与 满足如下条件：,Rolle定理是Lagrange定理的特例: 在Lagrange中值定理中如果 则Lagrange中值定理变成Rolle定理；Cauchy定量是Lagrange定理的推广 在Cauchy中值定理中如果 ， 则Cauchy化为Lagrange中值定理。,三个中值定理的关系,洛必达法则就是解决这类极限的工具。,3.2 洛必达法则,定理1 设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：,1 型未定式,解,例2 求,解,例3 求,解,此定理的结论对于 时 型未定式同样适用。,例4 求,解,2型不定式
5、,的某空心邻域内有定义，且满足如下条件,则,例5 求,解:,定理2的结论对于 时的 型未定式的极限问题同样适用。,例6求,解,则可继续使用洛必达法则。即有,如果反复使用洛必达法则也无法确定,则洛必达法则失效.,此时需用别的办法判断未定式,的极限。,例7 求,但分子分母分别,求导后得,此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限是存在的，可用下法求得,3其它型不定式,未定式除,和,型外，还有,型、,型、,等五种类型。,型、,型、,型、,型或者 型,型：,变为,例8 求,解,型:,通分相减变为 型,例9 求,（ 型）,解,型未定式:,由于它们是来源于幂指函数 的极限,因此通常可用取对数的方
6、法或利用,即可化为 型未定式，再化为 型或 型求解。,例10 求,解,所以,例11 求,解 设,所以,（ 型）,例12 求,（ 型）,所以,解,3.3 函数的单调性,定理1 设函数f (x)在闭区间a,b上连续，在开区,间(a,b)内可导，则：,1.若在(a,b)内 ,则f (x)在区间(a,b)内单调增加,2.若在(a,b)内 ,则f (x)在区间(a,b)内单调减少。,a,b,a,b,例2 确定函数 的单调区间.,可导， 且等号只在 x=0 成立.,解 因为所给函数在区间 上连续，在 内,例1 判定函数 在区间 上的单调性.,解,所以当 x = -1, x = 1时,解 函数的定义域 且在
7、定义域内连续,例3 确定函数,的单调区间。,其导数为,当 时 不存在，且不存在使 的点,用 把定义域分成两个区间，见下表：,反之，如果对此邻域内任一点 ，恒有 则称 为函数 的一个极小值， 称为极小值点。,3.4 函数的极值,定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点 ，恒有 ，则称 是函数 的一个极大值， 称为函数 的一个极大值点；,函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。,A,B,C,D,E,极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。,从图中可看出,极小值不一定小
8、于极大值，如图中D点是极小值，A点是极大值。,定理3（极值第一判别法）：,设函数 在点 的某邻域内连续，且在此邻域内（ 可除外）可导,（1）如果当 时 ，而当 时， 则 在 取得极大值。,（,）,如图所示：,在 ，,在 ，,在 取得极大值。,（2）如果当 时 ，而当 时， 则 在 取得极小值。,（,）,如图所示：,在 ，,在 ，,在 取得极小值。,（3）如果在 两侧 的符号不变，则 不是 的极值点，如图示,(4)利用定理3,判断(2)中的点是否为极值点,如果是,求极值点的步骤：,(1)求函数的定义域(有时是给定的区间);,(3)用(2)中的点将定义域(或区间)分成若干个子区间,进一步判定是极大
9、值点还是极小值点.,(2)求出 ,求出使 的点及 不存在的点;,讨论在每个区间 的符号;,(5)求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值.,例4 求函数 的单调区间和极值.,解 函数的定义域为,这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下,极大值,极小值,令 得,由于,定理4(极值的第二判别法) 设函数 在点 处具有,二阶导数，且 ， ；,（1）若 ，则 是函数 的极小值点；,（2）若 ，则 是函数 的极大值点；,例5 求函数 的极值.,解 函数的定义域为,所以 为极大值, 为极小值.,3.4.2 函数的最大值与最小值,是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者,最小的就是函数在区间,上的
10、最小值。,连续函数在区间,上的最大值与最小值可通过比较,端点处的函数值 和 ;,1.区间,如下几类点的函数值得到：,上的最大值和最小值。,在驻点处函数值分别为,在端点的函数值为,最大值为,最小值为,解,令,，得驻点,比较上述5个点的函数值，即可得 在区间,上的,如果连续函数在某区间内仅有惟一一个极值点,则该极值点必为最值点且若是极大值点则就是最大值点，若是极小值点则就是最小值的点,一般求实际问题的最大值或最小值都属于这种情形,例 某工厂生产某种产品，年产量为 （百台）, 总成本 （万元),其中固定成本为2万元,每生产1百台，成本就增加1万元，市场上每年可销售此种产品4百台，其销售总收入 是 的
11、函数,问每年生产多少百台，可使利润最大？,解 由题意知 ，所以,3.4.3最大值与最小值在经济问题中的应用举例,在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量,的函数，分别记为,和,，则总利润,可表,示为,最大利润原则:,取得最大值的必要条件为,即,所以取得最大利润的必要条件是:边际收益等于边际成本,例5 已知某产品的需求函数为,成本函数为,问产量为多少时总利润 L 最大?,解 已知 ,于是有,令 得,所以当Q=20时总利润最大,3.5 导数在经济中的应用,3.5.1 函数的变化率边际函数,边际函数值。其含义为:当 时,x改变一个单位，相,相应地 y 约改变 个单位,实际上，,当 时,解 ,所以,
12、边际成本是总成本的变化率。设C为总成本，,下面介绍几个常见的边际函数:,1边际成本,为固定成本，,则有,为可变成本，,为平均成本，,为边际成本，,为产量，,总成本函数,平均成本函数,边际成本函数,时的总成本，平均成本及边际成本。,解 由,令 得,边际成本,于是当 时,总成本,平均成本,Q 为多少时，平均成本最小?,例3 在例1中，当产量,解,所以,当Q = 20时平均成本最小。,2收益,平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。 设P为商品价格，Q 为商品量，R 为总收益， 为平均收益， 为边际收益
13、，则有,需求函数,总收益函数,平均收益函数,边际收益函数,需求与收益有如下关系:总收益,平均收益,边际收益,总收益与平均收益及边际收益的关系为,求销售量为30时的总收益，平均收益与边际收益。,例4 设某产品的价格和销售量的关系为,解 总收益,平均收益,边际收益,例6某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知收益,解 根据题意，总成本函数为,是年产量,的函数,问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少?,从而可得总利润函数为,令 得,由于 ,故 时利润最大,此时,即当生产量为300个单位时, 总利润最大,其最大利润为25000元.,设某企业某种产品的
14、生产量为 个单位, 代表总成本, 代表边际成本,每单位产品的平均成本为,在生产实践中,经常遇到这样的问题,即在既定的生产规模条件下,如何合理安排生产能使成本最低,利润最大?,3成本最低的生产量问题,于是,由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量,应满足 ,于是得到一个经济学中的重要结论:,使平均成本为最小的生产水平（生产量 ），正是使边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。,例1 设某产品的成本函数为,试求使平均成本最小的产量水平。,解 平均成本,令 解得,由于,所以 是平均成本 的最小值点也就是平均成本最小的产量水平,此时,即 时,边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小.,其经济
15、意义为：当需求量为20个单位时，若再多销售1个单位产品，则总收入将增加12个单位；当销售量为50个单位时，若再多销售1个单位产品，则总收入不会改变；而当销售量为70个单位时，若再多销售1个单位产品，则总收入反而会减少8个单位,二、弹性分析,1函数的弹性,（1）相对改变量,设有甲、乙两种商品,其单价分别为5元和1000元,现在让这两种商品的价格均上涨一元.我们会发现甲商品的价格变化比较大,而感觉乙商品的价格变化微乎其微.因此甲商品的需求量必会发生很大的波动,而乙商品的需求量不会发生多大变化.,先看一例,为什么均涨价了一元,而需求量的变化又不同呢? 其原因显然是原来价格的差异造成了涨价的幅度实际上
16、不同,对于函数 ，称 为自变量在 点处的相对改变量，称 为函数 在 点处的相对改变量,（2）弹性的定义,定义3.4 设函数 在点 处有定义,给自变量在 点一个增量 ,则有函数 有相应的增量 , 如果当 时,函数的相对增量与自变量的相对增量之比的极限:,存在,则称该极限值为函数 在 点处的弹,性.记作,2弹性的经济意义,函数 在 点处的弹性 表示在 点处,当自变量增加1%时，函数值会在原来基础上改变 %,注意:当 为正数时,函数值会增大 %,当,当 为负数时,函数值会减少 %,反映了 对 的相对变化率，即 对 变化的灵敏度,3需求价格弹性对销售收益的分析,当 时,即 时 当 时,即 时当 时,即
17、 时,一般,由于 所以 ,设总收益,则,因为需求量 ,且 所以,于是,（1）若 ，即 时，如果价格提高1%,则减少的需求量不会超过1%，这时若提高价格必然会使得总收益增加.生活必需品多属此情况.称这种商品是低弹性的(或缺乏弹性的). （2）若 ，即 时，如果价格提高1%,则减少的需求量将大于1%，这时若提高价格必会使得总收益减少奢侈品多属此情况； 称这种商品是高弹性的 (或是富有弹性的). （3）若 ，即 时，如果价格提高1%，则减少的需求量恰好也是1%，这时，总收益不变这种商品很少见常称这种商品是单位弹性的.,解,当 时 因而该商品是缺乏弹性的故提高价格会使得总收益增加,M1,x,y,o,M
18、2,M1,x,y,o,M2,3.6.1 曲线的凹凸与拐点,定义1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凹的。,如图所示,3.6 利用导数研究函数,如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在这个区间上是凸的。如下图：,当曲线为凹时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而增加，即 是增函数；反之，当曲线为凸时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而减少，即 是减函数。,M1,x,M2,y,o,M1,x,y,o,M2,定理1 设函数 在区间 内具有二阶导数 （1）如果 时，恒有 ，则曲线 在 内为凹的； （2）如果 时，恒有 ，则曲线 在 内为凸的。定义2 曲线上凹与凸的部分的分界
19、点称为曲线的拐点。 拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域内 必然异号，因而在拐点处 或 不存在。,（1）确定函数 的定义域； （2）先求出函数 的二阶导数，找出在定义域内使得 的点和 不存在的点； （3）对上述求出的每一个点 ，检查其左、右邻近的 的符号，如果 异号,则 点是曲线 的拐点； 如果 同号,则 点不是曲线 的拐点,例 求曲线 的凹向区间与拐点 .,解 函数的定义域为,，,令 ，解得 ,把定义域分成三个区间，列表如下：,求曲线 拐点的一般步骤如下：,因此,该曲线的拐点为 和,例 求曲线 的拐点,解函数的定义域为,，,显然 时, 不存在,所以该曲线的拐点为,3.6.2 曲线的渐
20、近线 有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无限远处延伸，如双曲线、抛物线等。有些向无穷远延伸的曲线，越来越接近某一直线的趋势，这种直线就是曲线的渐近线。 定义3 如果曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。,1水平渐近线,如果曲线 的定义域是无穷区间，且有 或 ,则直线 为曲线 的渐近线，称,为水平渐近线.如下图,x,y,o,x,y,o,例3 求曲线 的水平渐近线。,解 因为所以 是曲线的一条水平渐近线，如图示,2、铅直渐近线如果曲线 满足 或,则称直线 为曲线 的铅直渐近线（或垂直渐近线），如图,例求曲线 的铅直渐近线。,解 因为所以
21、 是曲线的一条铅直渐近线。,如前页图所示,1确定函数的定义域； 2判断函数的奇偶性或周期性； 3确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间及拐点； 4确定曲线的渐近线； 5由曲线方程计算出一些特殊点的坐标(包括曲线与坐标轴的交点、极值点、拐点等) 6根据上述情况描点绘图,3.6.3 函数作图,综合前面讨论函数的各种性质，就可以较为准确地描绘出函数的图象,具体方法及步骤如下：,例5 作函数 的图形。,解 （1）定义域为:,（2）求函数的增减区间、极值、凹凸区间及拐点；,因为 ，,令 得 ；令 得 列表如下:,（3）渐近线：因为 所以 为水平渐近线；,又因为 ， 所以 为铅直渐近线。,（4） 描出几个点：,x,y,o,如图所示,作出函数图形,令 ，解得 ；令 ，得 ,点 把定义域分成了四个区间，只列 的部分：,例 作函数 的图象,解 （1）该函数的定义域为,（2）该函数是偶函数，其图象关于 y 轴对称.因此只讨论 上该函数的图形,（5）描点绘图,下课了哦!,
