1、数值分析课件同学们好！现在开始讲授第五章插值与拟合方法首先 讲授数值分析课件第五章 插值与拟合方 法讲授 ：用有限个函数值去推断或表示函数的方法重点论述 :Lagrange插值、 Newton插值、 Hermite插值、分段插值、曲线拟合及对应的原理、构造、误差分析等。数值分析课件本章讲授内容 5.1 引例 5.2 基本概念 5.3 插值法 5.4 曲线拟合法数值分析课件 5.1 引例什么是插值？什么是拟合？它们的作用是什么？数值分析课件问题 1： 机床加工问题通常待加工零件外形按工艺要求由一组数据给出。由于程控铣床加工时每一刀只能沿 x 方向和 y 方向走很小的一步，因此需要利用所给数据获得
2、铣床进行加工时要求的行进步长坐标值。现测得机翼断面下轮廓线上的一组数据表 为x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6假设需要得到 x 坐标每改变 0.1时 y 的坐标以决定加工路线， 怎样利用如上数据 给出加工所需要的数据 ？数值分析课件问题 2： 合成纤维的强度问题某种合成纤维的强度与拉伸倍数有直接关系，为获得它们之间的关系，科研人员实际测定了 20个纤维样品的强度和拉伸倍数，获得数据 为怎样利用如上数据 确定这种合成纤维的强度与拉伸倍数的关系 ？编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10拉伸倍数
3、1.9 2.0 2.1 2.5 2.7 2.7 3.5 3.5 4.0 4.0强 度 14 13 18 25 28 25 30 27 40 35编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20拉伸倍数 4.5 4.6 5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0强度 42 35 55 50 55 64 60 53 65 70解决 如上 问题 的内容 在理论数学中提到的不多。本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法 。数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法 的基本概念 。数值分析课件 5.2 基本概念插值和拟合有哪些概念？它们有什么区别？数值分
4、析课件1、问题的描述怎样依据如上数据构造一个函数 P(x)作为 f (x)的近似函数 ？已知函数 y=f (x) 在 n+1个点上的函数值 ()kky f x这里介绍最常用的两种方法： 插值方法 与 拟合方法 。数值分析课件1、插值2、拟合数值分析课件数值分析课件1、插值函数定义( ) ( ) ( 0 ,1 , , )kkP x f x k n 如果函数 P (x)满足：称 P(x)为 f (x)的 一个 插值函数 , f (x) 称 被插函数 .插值条件 ： ( ) ( ) ( 0 ,1 , , )kkP x f x k n 插值余项 ： ( ) ( )R x f x P x插值节点 ： ,
5、 0 , 1 , , ,kx k n 互 异 !显然，插值有无穷个！数值分析课件代数插值又称 多项式插值 ， 是最简单的插值函数！如果插值函数 P (x)是多项式，称为 代数插值 。010( ) ( )mmkm m k kkP x a a x a x a x a R 一个代数插值函数 P (x)可写为代数插值函数由 系数完全决定！0 1 2, , , , ma a a a2、代数插值数值分析课件20 1 20()mkmkmkP x a x a a x a x a x 20 1 0 2 0 0 020 1 1 2 1 1 120 1 2mmmmmn n m n na a x a x a x ya
6、 a x a x a x ya a x a x a x y 如果代数插值函数 P (x)满足插值条件： ( ) ( 0 ,1 , , )kkP x y k n 20 1 0 2 0 0 020 1 1 2 1 1 120 1 2nnnmnnnn n n n na a x a x a x ya a x a x a x ya a x a x a x y 数值分析课件20 0 021 1 10211()1nnijj i nnn n nx x xx x xD x xx x x 因为插值节点互异，有 0D 得线性方程组有唯一解，于是有定理 1 对 n+1个互异插值节点，存在一个满足插值条件的n次插值多项
7、式。不过，遗憾的是方程组是病态的！20 1 0 2 0 0 020 1 1 2 1 1 120 1 2nnnnnn n n n na a x a x a x ya a x a x a x ya a x a x a x y 系数行列式为范德蒙行列式数值分析课件定理 2 对 n+1个互异插值节点， 满足插值条件的 n 次插值多项式是唯一的。证明：设 P(x)、 Q(x) 是两个满足插值条件的 n 次插值多项式，于是有 ( ) ( ) ( 0 , 1 , , )k k kP x Q x f x k n ( ) ( )H x P x Q x令 0 ( ) ( )H x H x P x Q x 代 数
8、基 本 定 理有 n+1 零 点 0iH x H x i 是 次 数 n 的 多 项 式 。 且数值分析课件对 n次插值多项式 Pn(x)线性插值 ： n=1的插值多项式；抛物线插值 或 Simpson 插值 ： n=2的插值多项式；内插 ： 用 Pn(x)计算在 a, b内的函数值；3、插值名词外插 (推 )： 用 Pn(x)计算在 a, b外的函数值 01, , , nx x xa, b是包含所有插值节点 的最小区间数值分析课件数值分析课件显然取 (xi) = yi 会引起数据误差的传播！ 处理此问题的方法是使 (xi) yi 总体上 尽可能小来达到函数逼近目的。如果数据 yi 不准确，即
9、有些 yi f (xi )怎样求一近似函数(x) 使其尽可能“好”地反映数据点或函数 f(x) 的基本趋势 ?已知 f(x) 的如下数表数值分析课件01m i n , ( , , , ) Tn 1、拟合函数定义称 (x)为 f (x)的 一个拟合 函数，残差 ： ( ) ( )k k kx f x残差向量 ：01( , , , ) Tn 拟合点 ：, 0 , 1 , ,kx k n如果函数 (x)满足这里 是某种向量范数。( ) ( )k k kx f x拟合点可以不互异！数值分析课件2、插值函数和拟合函数的几何解释插值函数图示 拟合函数图示数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合
10、方法的插值法 。 该内容 分 9集讲授。第 1集：数值分析课件 5.3 插值 法代数插值方法有几种？数值分析课件条件 : 已知函 数 y=f(x)在 n+1个点上的函数值( ) ,kky f x k n简写为： ， = 0 , 1 ,目的 : 构造一个 n次插值多项式 Pn(x)数值分析课件讲授内容一、 Lagrange插值二、 Newton插值三、 Hermite 插值四、分段插值五、样条插值简介数值分析课件数值分析课件基本思想将待求的 n 次多项式插值函数 改写 成用 已知函数值 为系数的 n+1个 待定 n 次多项式 的线性组合形式，再利用插值条件和 函数分解 技术确定 n+1个待定 n
11、 次多项式来求出插值多项式。Lagrange插值是 n 次多项式插值！数值分析课件1、 Lagrange插值函数构造2、 Lagrange插值基函数3、插值余项定理4、 Lagrange插值例题数值分析课件数值分析课件已知函数 y=f (x) 在 n+1个点上的函数值 ()kky f x令 n次插值多项式为0 0 1 10( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn n n n n n i i niL x y l x y l x y l x y l x ()i n i il x y f x n式中 是与 无关的一些 次多项式20 1 2() nnP x a a x a x a x n次多项式函数
12、的基 :01( ) , ( ) , , ( )n n n nl x l x l x21 , , , , nx x x数值分析课件为获得 n+1个 n次多项式函数 :01( ) , ( ) , , ( )n n n nl x l x l x由插值条件，有 :0( ) ( ) ( ) ,nn k k k n k i i n k kiikL x y l x y l x y k ( 0 , 1 , 2 , , )1, 0 , 1 , 2 , ,0k inin k iky l x i nikl x i k nik 与 无 关 ， 可 得数值分析课件 0 0 0 0 1 0 2 01 = 0n n n n
13、 n nl x l x l x l x l x 对 : ，注意到函数的 零点分解 特性： 0kkf x f x x x g x 可得 01nnkkl x x x g x =001nn n kkl x n g x a l x a x x 10 0 0 0 01=1nn n kkl x l x a x x 01 0011 n knnk kkkxxa l xxxxx 数值分析课件类似可得： 0, 0 , 1 , ,nkinkikkixxl x i nxx 代入开始设定的函数 00n nkniki ikkixxL x yxx Lagrange插值基函数n次 Lagrange 插值多项式数值分析课件北京
14、交通大学 数值分析课件1、有几个插值节点就有几个基函数； 0 , 1 , 2 ,2 kinikinxxl x nikxx ，、 有 个 乘 积 因 子 ， 3 i n iil x xxx、 的 每 个 因 子 项 的 分 母 为 对 应 的 节 点 减 去 其 余所 有 节 点 ， 分 子 结 构 同 分 母 ， 但 要 把 被 减 数 换 为 0nkinkikkixxlxxx 数值分析课件 1212020 1 0 2 0 1 0 2251 2 1 5x x x x x xx x x xlxx x x x x x x x x -1 2 5y 3 6 8求其所有的 Lagrange插值基函数。
15、02121 0 1 2152 1 2 5x x x x x xlxx x x x 01222 0 2 1125 1 5 2x x x x x xlxx x x x 0nkinkikkixxlxxx 例 1：给定数表解 ：数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法 的插值法 。 该内容 分 9集讲授。第 2集：数值分析课件数值分析课件设函数 f(x) 在 a,b上有 n+1阶导数， 则有 11 , , 1!nn n nfR x f x P x x x a bn 1 0 1 0( ) ;nn n kkx x x x x x x x x 1、插值余项定理( , )ab 是 (a,b)上
16、的插值节点， Pn(x) 是 f(x)的 n 次插值多项式！kx数值分析课件证明： ( ) ( ) 0 , 0 , 1 , ,n k k n kP x f x R x k n 由函数零点分解有 1n n nf x P x R x k x x 做辅助函数 1nng t f t P t k x t 01, , , , 0nt x x x x g t 当说明 g(t)在 a,b上有 n+2个零点。由 Rolle定理有 g(t)在 a,b上有 n+1个零点； g(t)在 a,b上有 n个零点 ， 1ngt 有 一 个 零 点 1 =0ng 设 为 ， 有数值分析课件对辅助函数求 n+1阶导数 111
17、1 11 1!nnn n nnng t f t P t k x t f t n k x 11 1 ! = 0nnt g f n k x 代 入 11!nfkx n 1nnR x k x x 1 11!nnnfR x xn 数值分析课件 111!nn n nfR x f x P x xn 1 11 ) , , 1!nnn MR x x x a bn 1 12 ) , , 1!nnn MR x T x a bn 1111m a xm a xnn a x bnna x bM f xTx nnL x P x2、 Lagrange插值余项分析 ( 1 ) 10 ()3 ) ( ) ( )( 1 ) !n
18、n k k n nk ff x f x l x xn , , 1x a b f x n只 要 有 阶 导 数 。数值分析课件 100 ( )nnk k n nkf x f x f x l x L x ( 1 ) 10 ()( ) ( )( 1 ) !nn k k n nk ff x f x l x xn f x n一 般 当 为 次 数 的 多 项 式 时 ， 有 001 ( ) 1 ; ( )nnk n k k nkkf x l x f x x x l x x 1f x n 只 要 有 阶 导 数数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法 的插值法 。 该内容 分 9集讲授。第
19、 3集：数值分析课件数值分析课件试用线性插值和抛物线插值分别计算 ln3.27的近似值，并估计相应的误差。解： 线性插值需要两个节点，内插比外推好，选内插来做。013 . 2 7 ( 3 . 2 , 3 . 3 ) , 3 . 2 , 3 . 3xx 取13 . 3 3 . 2( ) 1 . 1 6 3 1 5 1 1 . 1 9 3 9 2 23 . 2 3 . 3 3 . 3 3 . 2xxLx 例 2：已知 y = ln x 的函数表为1l n 3 . 2 7 ( 3 . 2 7 ) 1 . 1 8 4 6 9 0 7L x 3 3.1 3.2 3.3 3.4y 1.098612 1.1
20、31402 1.163151 1.193922 1.223775数值分析课件同理，对抛物线插值，选取三个节点为0 1 23 . 2 , 3 . 3 , 3 . 4 ,x x x 有2( 3 .3 ) ( 3 .4 )( ) 1 .1 6 3 1 5 1( 3 .2 3 .3 ) ( 3 .2 3 .4 )( 3 .2 ) ( 3 .4 )1 .1 9 3 9 2 2( 3 .3 3 .2 ) ( 3 .3 3 .4 )( 3 .2 ) ( 3 .3 )1 .2 2 3 7 7 5( 3 .4 3 .2 ) ( 3 .4 3 .3 )xxLxxxxx2l n 3 . 2 7 ( 3 . 2 7
21、) 1 . 1 8 4 7 8 7 0 9L 数值分析课件误差讨论： 11 11, , , m a x1! nnn n n a x bMR x x x a b M f xn 22211 3 . 2 , 3 . 3 ( )3 . 2x f x Mx 线性插值计算 的误差估计31 22 11( 3 . 2 7) ( 3 . 2 7 3 . 2 ) ( 3 . 2 7 3 . 3 ) 0 . 0 7 0 . 0 3 0 . 1 0 3 1 022 .! 32MR 同理有抛物线插值计算 的误差估计为52 ( 3 . 2 7 ) 0 . 9 1 0R 21 0 12!MR x x x x x 32 0
22、1 23!MR x x x x x x x 数值分析课件例 3 在 -4,4 上给出 的等距节点函数表，若想用 二次插值来计算 的近似值，并要求截断误差不超过 ，问此函数表的步长 h应为多少？解 ( 0 ,1 , , ) - 4 , 4kx k n 是 上 要 求 的设 等 距 数 表 。xexe 610二次插值需要三个节点 ，为一般性，取 三个相邻 的节点构造二次插值函数，利用 n=2的余项定理，有12,i i ix x x 2 1 23! i i ifR x x x x x x x 12,2i i i ix x h x x h 322 , , 0 , 2 ( ) ( 1 ) ( 2 ) ,
23、 4 , 4 3!i i iex x x x x t h t R x t t t h 数值分析课件3 3 4 4330 2 4 423m a x ( 1 ) ( 2 ) , m a x 39xtxT t t t h h M e e 43 3 623 2 3( ) 3 3 1 0 , 4 , 4 3 ! 9R x h h x 取 h=0.0057可满足要求。由8 1405bahnnn 故造表时取 1405个等距节点来计算函数值即可。23610 0 . 0 0 5 7 833h 数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法 的插值法 。 该内容 分 9集讲授。第 4集：数值分析课件数值
24、分析课件基本思想将待求的 n 次多项式插值函数 用新的基函数表示，再利用插值条件求出 n+1个待定多项式系数来求出 n次插值多项式。Newton 插值是 n 次多项式插值！数值分析课件1、 Newton插值函数构造2、差商3、 Newton插值余项及例题数值分析课件Newton 插值函数构造数值分析课件已知函数 y=f(x)在 n+1个点上的函数值令 n次插值多项式为0 1 0 2 0 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nnnN x a a x x a x x x xa x x x x x x 20 1 2() nnP x a a x a x a x 新的 n次多
25、项式基函数：0 0 1 0 1 11 , ( ) , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( )nx x x x x x x x x x x x 比较21 , , , , nx x x0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nL x y l x y l x y l x 数值分析课件由插值条件，有0 0 0 0 0 0()nx x N x a y a y 101 1 0 1 1 0 1 110( ) ( )n yyx x N x a a x x y a xx 2 3 2 3, , , , , ,nnx x x a a a依 次 取 可 以 得 出()nn N x于 是
26、 最 后 可 以 得 出 次 Newton 插 值 多 项 式为将解出的系数用公式表示出来，引进 差商 的概念。数值分析课件差商数值分析课件一阶差商： ( ) ( ) , ijijiji j i jf x f xf x f xf x xx x x x 二阶差商：记 f x= f (x) , f x称为 零阶差商 。, , , j k i ji j kkif x x f x xf x x xxx 1、差商定义k 阶差商：1 2 0 1 10 1 10 , , , , , , , , , , i i i k i i i ki i i k i ki k if x x x f x x xf x x x
27、 xxx 北京交通大学 数值分析课件借助差商有： 01, , , , 0 , 1 , 2 , ,kka f x x x k n 0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 0 1 1( ) , ( ) , , ( ) ( ), , , ( ) ( ) ( )nnnN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x n次 Newton插值多项式 1 0 1 0 1 1( ) , , , ( ) ( ) ( )n n n nN x N x f x x x x x x x x x 承袭性 1 0 0 1 0( ) , ( )N x f x f x
28、x x x 2 0 0 1 0 0 1 2 0 11 0 1 2 0 1( ) , ( ) , , ( ) ( ), , ( ) ( )N x f x f x x x x f x x x x x x xN x f x x x x x x x 北京交通大学 数值分析课件x y=f(x) 1阶差商 2阶差商 n阶差商x0 y0 f x0, x1 f x0, x1,x2 f x0,x1,xnx1 y1 f x1, x2 f x1, x2,x3: : : :xn-2 yn-2 f xn-2, xn-1 f xn-2, xn-1,xnxn-1 yn-1 f xn-1, xnxn yn 0 0 1 0 0
29、 1 2 0 10 1 0 1 1( ) , ( ) , , ( ) ( ), , , ( ) ( ) ( )nnnN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x 差商表北京交通大学 数值分析课件北京交通大学 数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法 的插值法 。 该内容 分 9集讲授。第 5集：北京交通大学 数值分析课件谱半径Newton 插值余项及例题北京交通大学 数值分析课件定理： 满足插值条件的 n次 Newton插值多项式的余项为0 1 1( ) ( ) ( ) , , , , ( )n n n nR x f x N x
30、f x x x x x 证明01 , , , , , nx a b x x x x 设 且01, , , , 1nx x x x n N e w t o n对 ， 有 次 插 值 多 项 式1 0 1 1( ) ( ) , , , , ( )n n n nN t N t f x x x x t 1 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ( )n n n nN x f x f x N x f x x x x x 0 1 1( ) ( ) , , , , ( )n n nf x N x f x x x x x 0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 0 1 1( ) , (
31、) , , ( ) ( ), , , ( ) ( ) ( )nnnN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x 0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 0 1 1( ) , ( ) , , ( ) ( ), , , ( ) ( ) ( )nnnN t f x f x x t x f x x x t x t xf x x x t x t x t x 北京交通大学 数值分析课件利用插值的唯一性，有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nN x L x f x N x f x L x 可以得到差商与微商之间的关系 11
32、0 1 1 1 0 1( ) ( ) , , , , ( ) ( ) , , , , ( 1 ) ! ( 1 ) !nnn n n nfff x x x x x x f x x x x 即有 01() , , , !nnff x x xn北京交通大学 数值分析课件 1 11 . , , 1!nnn MR x x x a bn 1 0 1m a x , , , , nna x bM f x x x x 0 1 12 . ( ) , , , , ( )n n nf x N x f x x x x x 0 1 1( ) ( ) , , , , ( )n n nf x N x f x x x x x
33、0 0 03 . , ( )f x f x f x x x x 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 1( ) , , ( ) , ( ) , , f x N x f x x x x f x f x x x x f x x x x x x x 1 0 0 1 1 0 1, ( )f x f x f x x x x x x Newton插值余项分析 1 0 1()nnx x x x x x x 北京交通大学 数值分析课件例 4.给定数表 x 1 2 4 5y 3 6 2 11.写出差商表；2.试用一次和二次 Newton插值多项式计算 f(2.4)的近似值。解： 1.差商表 ? , ? ?
34、 , ? , ? ? , ? , ? , ?1 3 3 5 / 3 1 / 22 6 2 1 / 34 2 151x y f f f北京交通大学 数值分析课件 ? , ? ? , ? , ? ? , ? , ? , ?1 3 3 5 / 3 1 / 22 6 2 1 / 34 2 151x y f f f用一次 Newton插值近似计算 f(2.4) ，应选与 2.4最近的 2个节点：由表中行数据有1 ( ) 6 2 ( 2 ) 2 1 0N x x x 1( 2 . 4 ) ( 2 . 4 ) 5 . 2fN 用二次 Newton插值近似计算 f(2.4) ，应选与 2.4最近的 3个节点：
35、 0 1 21 , 2 , 4x x x 由表中行数据有25( ) 3 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )3N x x x x 2( 2 . 4 ) ( 2 . 4 ) 6 . 2 6 6 6 7fN 北京交通大学 数值分析课件北京交通大学 数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法 的插值法 。 该内容 分 9集讲授。第 6集：北京交通大学 数值分析课件北京交通大学 数值分析课件基本思想仿照 Lagrange插值函数的构造方法，用设定函数形式，再利用插值条件求出插值函数。Hermite 插值是 Lagrange 的推广。北京交通大学 数值分析课件1、 Hermite 插值函数2、 He
36、rmite 插值例题北京交通大学 数值分析课件Hermite 插值函数北京交通大学 数值分析课件已知 y=f(x)的函数值信息： ( ) , ( ) , 0 ,1 , ,k k k ky f x y f x k n 怎样求一个 f (x)的插值多项式 P(x) ？x y y 1、 Hermite插值函数的提法一个合适的提法应该是 P(x)满足在 已知函数信息处 相等：( ) ; ( ) ; 0 ,1 , ,k k k kP x y P x y k n 插值函数的特点是在试验点处与试验值相等！北京交通大学 数值分析课件已知 y=f(x)的函数值信息： ( ) , ( ) , 0 ,1 , ,k
37、k k ky f x y f x k n 则称 P(x)是 f (x)的一个 Hermite插值函数。2、 Hermite插值函数如果一个函数 P(x)满足：( ) ; ( ) ; 0 ,1 , ,k k k kP x y P x y k n Hermite 插值条件 ：特别当 Hermite插值函数为多项式时，称为 Hermite代数插值 。( ) ; ( ) ; 0 ,1 , ,k k k kP x y P x y k n 北京交通大学 数值分析课件函数信息指具体的函数或导数值，在构造对应的插值多项式时有规律为 ：若已知函数的 m个信息，则对应的插值多项式次数为 m-1。因为 Hermit
38、e插值问题有 2n+2函数信息，故 Hermite代数插值 为 2n+1次多项式。x y y 北京交通大学 数值分析课件仿照 Lagrange插值函数的构造方法，就可以构造出 2n+1次 Hermite插值多项式函数！具体做法：令次数为 2n+1的插值多项式为2100( ) ( ) ( )nnn k k k kkkH x y x y x ( ) , ( ) 2 1k k i ix x y y n 式 中 是 与 、 无 关 的 一 些 次 多 项 式根据插值条件即可求出具体的 Hermite代数插值函数。2 1 2 1( ) ; ( ) ; 0 , 1 , ,n k k n k kH x y
39、H x y k n 北京交通大学 数值分析课件北京交通大学 数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法 的插值法 。 该内容 分 9集讲授。第 7集：北京交通大学 数值分析课件北京交通大学 数值分析课件例 5：设 f(x)有四阶导数，且 ( 0 . 5 ) 0 , ( 0 . 5 ) 1 , ( 1 ) 0 . 6 , ( 1 ) 5f f f f 1、求函数 f(x) 的一个插值多项式 ，并用此插值函数计算f(0.6)的近似值；2、给出你所得插值多项式的误差关系式，估计近似计算 f(0.6)的误差。x 0.5 1f(x) 0 0.6f(x) 1 5北京交通大学 数值分析课件解： 仿照 La
40、grange插值函数的构造做之。有 4个数据信息，选择 3次多项式 H(x)作为 f(x)的插值多项式。令 1 2 3 4( ) 0 . 5 ( ) 1 ( ) 0 . 5 ( ) 1 ( )H x f x f x f x f x ( ) , 0 . 5 1 0 . 5 1 3k x k f f f f 式 中 是 与 ， ， ， 无 关 的 次 多 项 式 。 0 . 5 ( 0 . 5 ) , 0 . 5 ( 0 . 5 ) , 1 ( 1 ) , 1 ( 1 )H f H f H f H f 令 ()k x得 出 满 足1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4( 0 .
41、5 ) 1 ( 0 . 5 ) 0 ( 0 . 5 ) 0 ( 0 . 5 ) 0( 1 ) 0 ( 1 ) 1 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0( 0 . 5 ) 0 ( 0 . 5 ) 0 ( 0 . 5 ) 1 ( 0 . 5 ) 0( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 1 北京交通大学 数值分析课件1 1 1 1 1( ) ( 0 . 5 ) 1 , ( 1 ) 0 , ( 0 . 5 ) 0 , ( 1 ) 0 x 对 有 :注意到函数的 零点分解 特性： 20k k kf x f x f x x x g x 21 1 1( 1 ) ( 1 ) 0 ( ) 0 .
42、 5 1x a x b x 由 21 1 1(0 . 5 ) 1 , (0 . 5 ) 0 ( ) 1 6 4 1x x x 由222324( ) ( 20 16 ) ( 0. 5 )( ) 4( 0. 5 ) ( 1 )( ) 4( 1 ) ( 0. 5 )x x xx x xx x x 同 理 可 得 2220 .6 ( 2 0 1 6 ) ( 0 .5 )4 ( 0 .5 ) ( 1 )2 0 ( 1 ) ( 0 .5 )H x x xxxxx 2( 0 . 6 ) ( 0 . 6 ) 6 . 0 8 1 0fH 北京交通大学 数值分析课件为求其余项，令 , 0 . 5 , 1 R x
43、f x H x x ( 0 . 5 ) ( 1 ) ( 0 . 5 ) ( 1 ) 0R R R R 220 . 5 1R x k x x x 做辅助函数 4g t f t H t k x t 0 . 5 , 1 , 0t x g t 说明 g(t)在 0.5,1上有 3个零点。由 Rolle定理有 g (t)在 0.5,1上有 2个零点。 22440 . 5 1 ,x x x R x f x H x k x x 记北京交通大学 数值分析课件但 g(0.5)= g(1)=0，故 g(t)在 0.5,1上有 4个零点，由 Rolle定理有 g(t)在 0.5,1上有 3个零点， g(t)在 0.
44、5,1上有 2个零点 ,对辅助函数求 4阶导数 444 0 4 !g t f t H t k x t g t f t k x 44 4 ! = 0t g f k x 代 入 44!fkx ( 4 ) 224 ()( ) ( 0 . 5 ) ( 1 ) 0 . 5 , 1 4!fR x x xR x k x x ( 4 ) ( 4 )224( ) 2 ( )(0 . 6 ) (0 . 6 0 . 5 ) (0 . 6 1 ) 0 . 5 , 1 4 ! 3 1 0ffR 4 = 0 .g设 为 ， 有 4gt 有 一 个 零 点 ,北京交通大学 数值分析课件例 6：已知 f(x)的 4个函数值
45、(1 ) , (1 ) , (1 ) , ( 2 )f f f f 1、求函数 f(x)的一个插值多项式 P(x) ， P(x)满足( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) , ( 2 ) ( 2 )P f P f P f P f 2、写出 f(x)-P(x)的误差估计式x 1 2y f (1) f (2)y f (1)y f (1)北京交通大学 数值分析课件给定 4个数据信息， P(x)选为 3次多项式，令1 2 3 4( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( )P x f h x f h x f h x f h
46、 x ( ) , 1 1 1 , 2 3kh x k f f f f 式 中 是 与 , 无 关 的 次 多 项 式 。()khx由 插 值 条 件 得 出 满 足1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4( 1 ) 1 , ( 1 ) 0 , ( 1 ) 0 , ( 1 ) 0( 1 ) 0 , ( 1 ) 1 , ( 1 ) 0 , ( 1 ) 0( 1 ) 0 , ( 1 ) 0 , ( 1 ) 1 , ( 1 ) 0( 2 ) 0 , ( 2 ) 0 , ( 2 ) 0 , ( 2 ) 1h h h hh h h hh h h hh h h h 仿照 Lagrange插值
47、函数的构造来做之。解：北京交通大学 数值分析课件根据前面讲的函数零点分解特性1 1 1 1( 1 ) 1 , ( 1 ) 0 , ( 1 ) 0 , ( 2 ) 0h h h h 由 21 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )h x a x b x c x 2 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )h x a x b x x 2 2 2 2( 1 ) 0 , ( 1 ) 1 , ( 1 ) 0 , ( 2 ) 0h h h h 由23 ( ) ( 1 ) ( 2 )h x a x x 3 3 3 3( 1 ) 0 , ( 1 ) 0 , ( 1 ) 1 , ( 2 ) 0h h h
48、h 由1 1 1( 1 ) 1 ( 1 ) 0 1 ; 11 1; ( ) 0h h bc ha 221 ( ) ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )h x x x x x x x 类似地有：223( ) ( 1 ) ( 2 ) , ( ) 0 . 5 ( 1 ) ( 2 )h x x x x h x x x 北京交通大学 数值分析课件注意到函数零点分解特性： 30k k k kf x f x f x f x x x g x 4 ( 2 ) 1 1ha得 34 ( ) ( 1 )h x a x4444( 1 ) 0 , ( 1 ) 0 , ( 1 ) 0 , ( 2
49、) 1hhhh 对34 ( ) ( 1 )h x x 2231 ( 1 ) ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 2 )0 . 5 1 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 )P x f x x x f x x xf x x f x 观察余项的零因子分解，可写出误差关系为( 4 )3()( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 , 2 )4!ff x P x x x 怎样证明？ 1011!nnnfR x x x x x x xn 北京交通大学 数值分析课件例 7、设 是 m+n 次多项式， 是 的 n次 Newton插值多项式， 是插值节点，证明：式中 ， P(x) 是 m-1 次多项式。()m
50、nPx ()nNx ()mnPx01, , , nx x x1( ) ( ) ( ) ( )m n n nP x N x P x x 1 0() nnkkx x x 证明： ( ) ( ) , 0 ,1 , 2 , ,m n k n kP x N x k n 0 11()( ) ( ) ( ) ( )n nm n ng x x x x x xP x N x xx gx 由题意有 g(x)是 m-1 次多项式，令 g(x) =P(x)得1( ) ( ) ( ) ( )m n n nP x N x P x x北京交通大学 数值分析课件例 8：已知 f(x) 满足求函数 f(x) 的一个 Hermi
