1、第3章 - 矩阵的初等变换与线性方程组 ThirdChapterIII初等矩阵的定义及性质1.初等矩阵的定义三种初等变换对应着三种初等矩阵.1.对调两行或两列；2.以数 k0乘某行或某列；3.以数 k乘某行（列）加到另一行（列）上去.定义： 由单位矩阵 E 经过一次 初等变换 得到的方阵称为 初等矩阵 .,()ijEij rr对调 中第 两行，即 ，得初等方阵.对调两行或两列111011(, )11011Eij i第 行 j第行 ().ijAAi j rr相当 于 对 矩 阵 施行第一种初等行变换：把的第行与第行对调(, ) ( )mijmnmEijAa用 阶 初 等矩阵 左乘 得11 12
2、1121212(, )nj jjnmii inmm mnaa aaa aEijAaa aaa a i第行 j第行 ().ijAAi j cc相 当 于 对矩 阵 施行第一种初等列变换：把 的 第 列与第 列对调11 1 1 121 2 2 21(, )j inj innmmjmimnaaaaaaaaAE i jaaaai第列j第列(, )nnEij A类 似 地 ， 以 阶 初 等 矩阵 右乘矩阵 ，0()( ( ).ikirkEik以数 乘单位矩阵的第 行 ，得初等矩阵11( )11Eik k i第 行. k以数 乘某行或某列2011 12 11212( )nmiiinmm mnaa aE
3、i k A ka ka kaaa a i第行( )mE ik A以 左 乘矩 阵 ，()ikA i rk相 当 于 以数 乘 的第 行 ；( )(). niEik AkA ick类似地，以 右乘矩阵 ，其结果相当于以数 乘 的第 列() ( )k.以数 乘某行 列 加到另一行 列 上去30 ( )()ijjikE j i rkrkE i j ckc以 乘 的 第行加到第行上或以 乘 的第 列加到第 列上 ，11()11kEijk i第行 j第行()mEijk A以 左乘矩阵 ，().i jA jk i rkr把 的第 行乘 加到第 行上11 12 1112 21212()ni j i j in
4、 jnmjj jnmm mnaa aakaaka akaEijkAaa aaa a i第 行 j第 行()(). njiEijk AAik j ckc类 似 地 ，以 右 乘 矩 阵 ，其结 果 相当于把 的 第 列乘 加到第 列上11 1 1 1 121 2 2 2 21()nijinijinm mimjmimnAEijkaaakaaaaakaaaaakaa i第 列j第列2.初等矩阵的性质A对 施行一次初等行性质 1 设 是一个 矩阵，mnA对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边 A变换，相当于在 的左边mA乘以相应的 阶初等矩阵 .n乘以相应的 阶初等矩阵；A性质 2 设 A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵12 12, .llP PPAPP使12,lPP P即 存在有限个初等方阵 使 ,12 1rr lPPPEP PA12.lA PP P 即证A E , E A故 经有限次初等变换可变为 , .A AE推论 方 阵 可 逆 的充分必要条件是 行等价于3.初等矩阵的逆矩阵1(, ) (, ) ijrrEij Eij变 换 的 逆 变 换是其本身,则；111( ) ( ); iirk rkEik Eik变换 的 逆变换为 ，则1+()() ( ) .ij i jrkr r krEijk Eij k变 换 的 逆 变 换 为 ，则谢谢，再见！
