1、不等式高级水平必备目录Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 幂均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波维奇亚不等式Ch9. 加权不等式Ch10. 赫尔德不等式Ch11. 闵可夫斯基不等式Ch12. 牛顿不等式Ch13. 麦克劳林不等式Ch14. 定义多项式Ch15. 舒尔不等式Ch16. 定义序列Ch17. 缪尔海德不等式Ch18. 卡拉玛塔不等式Ch19. 单调函数不等式Ch20. 个对称变量 法3pqrCh21. 个对称变量 法uvwCh22. 法ABCCh23. 法SOCh24. 法MVCh25. 拉格朗日乘
2、数法Ch26. 三角不等式Ch27. 习题与习题解析Ch1. 伯努利不等式1.1 若实数 （ ）各项符号相同，且 ，则：ix12n,.ix11 12nx()().()式为伯努利不等式.当 时， 式变为： 12nx.()nx1()2()Ch2. 均值不等式2.1 若 为正实数，记：12na,. ，为平方平均数，简称 平方均值；221naQ. ，为算术平均数，简称算术均值；12nnA. ，为几何平均数，简称几何均值 ；12nGa. ，为调和平均数，简称调和均值.n12nH.则： nQA3()时，等号成立. （注： 当且仅当.）if12naa.ifandolyif式称为均值不等式.3()Ch3.幂均
3、不等式3.1 设 为正实数序列，实数 ，则记：12naa(,.)r01rr12nr aM.()4()式的 称为幂平均函数.4()ra3.2 若 为正实数序列，且实数 ，则：12n,)r0rs(5)当 时， 式对任何 都成立，即 关于 是单调递增函数.s)rrMa()式称为幂平均不等式，简称幂均不等式.5()3.3 设 为非负实数序列，且 ，若 为12nm,.,)12nm1.12naa(,.)正实数序列，且实数 ，则：r01mrrrr12nMaa().)6(式称为加权幂平均函数.6()3.4 若 为正实数序列，且实数 ，对 则： 12n,.)r0mrMa()mrsa()()即： 11rrrsss
4、12n12nmaam(.)(.7当 时， 式对任何 都成立，即 关于 是单调递增函数.s7) ra)r式称为加权幂平均不等式，简称加权幂均不等式.()Ch4. 柯西不等式4.1 若 和 均为实数，则：12na,.12nb,.22 21n12nababab()(.)(.)8(时，等号成立 .（注： 当且仅当.）ifn12b.ifdolyif式为柯西不等式.8()4.2 柯西不等式还可以表示为：2222 21n1n12naabbaba. .()()()9(简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方”我们将 简称为积均值，记： .12nabab. 12nnababD.则： ，即： 224nnQD()()
5、nQ()()04.3 推论 1：若 为实数， ，则：abcxyz,xyz0,222n12n1ab(.).1()时，等号成立 .ifn21ab.式是柯西不等式的推论，称权方和不等式.()4.4 推论 2：若 和 均为实数，则：12na,.12nb,.(.)(.)221 12n12nbaab1(时，等号成立 .ifn21b.4.5 推论 3：若 为正实数，则：acxyz,zbab3abcyzxy()()()()13(Ch5. 切比雪夫不等式5.1 若 ； ，且均为实数 .则：12naa.12nbb.12naba()()()14(或 时，等号成立 .if12n.12n.式为切比雪夫不等式.()由于有
6、 ， 条件，即序列同调，12naa.12nbb.所以使用时，常采用 WLOGa(注： 不失一般性)Lithousferlity5.2 切比雪夫不等式常常表示为：12n12n12nababab. .()()()15(简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.即：对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值. 则： 2nnAabDa()()即： nnAabDa()()16Ch6. 排序不等式6.1 若 ； 为实数，对于 的任何轮换12n.12nb. 12na(,.)，都有下列不等式：x(,)12n12n1n21nabaxxbba. . .7()式称排
7、序不等式 （也称 重排不等式）.7()其中， 称正序和， 称反序和，12nb. n121na.称乱序和. 故 式可记为：xbx.7()正序和 乱序和 反序和 86.2 推论：若 为实数，设 为 的一个排序，则：12na,. 12nx(,.)12na(,.)21a9Ch7. 琴生不等式7.1 定义凸函数：对一切 ， ，若函数 是向下凸函数，则：xyb,01(,)fabR:,f1ffy()()2()式是向下凸函数的定义式.20()注： 表示区间 和函数 在 区间都是实数.fabR:,ab,fx()ab,7.2 若 对任意 ，存在二次导数 ，则 在 区间为向()x()f0()fx()ab,下凸函数；
8、 时，若 ，则 在 区间为严格向下凸函数.if,f0,7.3 若 在 区间为向下凸函数，则函数 在在 区间12nf,.ab() 12ncfcf(,)对任何 也是向下凸函数.c0,7.4 若 是一个在 区间的向下凸函数，设 ， 为实fR:()() N12n01,.(,)数，且 ，则对任何 ，有：12n1.12nxab,.(,)nfxfffx(.)().()式就是加权的琴生不等式.)简称：“对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”.Ch8. 波波维奇亚不等式8.1 若 是一个在 区间的向下凸函数，则对一切 ，有：fabR:,ab, xyzab,xyzfxyfz2xyfff3332()()(
9、()()()2(式就是波波维奇亚不等式.2)8.2 波波维奇亚不等式可以写成：xyzfxyfzxyzxf ff332223()()( )()()3()简称：“对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值”.8.3 若 是一个在 区间的向下凸函数， ，则：fabR:,ab,12naab,.,12n 2nff2fff().()()().()24其中： ， （对所有的 ）12na.i ji1bai式是普遍的 波波维奇亚不等式 .24()当 ， ， ， 时， ， ， ，1ax2y3aznxyza31yzb22x3yb代入 式得：2()xyzyzxyfxy
10、fz32fff2()()()()()即： fxz3325(式正是 式.25()2()Ch9. 加权不等式9.1 若 ， （ ） ，且 ，则：ia0(,)i01,i2n,.12n1.n12aa.6()式就是加权的均值不等式，简称加权不等式.6()式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值.2Ch10. 赫尔德不等式10.1 若实数 ，实数 且 ，则： ab0,pq1,pqab27()时，等号成立.ifpq式称为杨氏不等式 .27()10.2 若 和 为正实数， 且 ，则：12na,.12nb,.pq1,1ppqq12n12n12naabb.(.)(.)28()式称为赫尔德不等式.8()时，等号成立
11、.ifppn12qqaabb.10.3 赫尔德不等式 还可以写成：11ppqq12n12n2naaabb. . .()() 29()即： ，即： 2npqDbMb()pqnMDa30(简称：“幂均值的几何均值不小于积均值”.（注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是 ，切比雪夫要求是同调；1pq赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大.）10.4 若 、 和 为三个正实数序列， 且 ，则：12na,.12nb,.12nm,. pq1,11nnnpqiiii11abb3()式称为加权赫尔德不等式.3()时，等号成立.ifppn12qqaabb.10.5 若 ( ; )， 为正实数且 ，则：ijm,
12、.j12,.12n,.12n1)(j jmnni ij1j1iaa3(式称为普遍的 赫尔德不等式 .32()10.6 推论：若 ， ， ，则：123aN,123b,123cN,3 3 3112abcabc()()()()(简称：“立方和的乘积不小于乘积和的立方”.Ch11.闵可夫斯基不等式11.1 若 ； 为正实数，且 ，则：12na,.12nb,. p11ppi iii1ab()()()34()时，等号成立 .fn21abb.式称为第一 闵可夫斯基不等式 .34()11.2 若 ； 为正实数，且 ，则：12na,.12n,. p1pppii ii11i1bab()()()35()时，等号成立
13、 .ifn21aab.式称为第二 闵可夫斯基不等式 .35()11.3 若 ； ； 为三个正实数序列，且 ，则：12na,.12nb,.12nm, p11pppiii ii111ab()()()36()时，等号成立 .fn21abb.式称为第三 闵可夫斯基不等式 .36()Ch12.牛顿不等式12.1 若 为任意实数，考虑多项式：12na,.n1120n1Pxxacxcx()(.().37()的系数 作为 的函数可表达为：0nc,. n,；12nca.；（ ）2131ijaaijn；（ ）3ijkcijk.n12nca对每个 ，我们定义 k,. kkncpcC!()38()则 式类似于二项式定
14、理，系数为： .37() knkp12.2 若 为正实数，则对每个 有：12na,. 12,2kkp39()时，等号成立.if12a.式称为牛顿不等式 .39()Ch13.麦克劳林不等式13.1 若 为正实数，按 定义，则：12na,. 38()11kn12pp.40时，等号成立.ifkaa称麦克劳林不等式 .40()Ch14.定义多项式14.1 若 为正实数序列，并设 为任意实数.12nx,. 12n,记： ；n12Fxx(,).为 所有可能的积之和，遍及 的所有轮换.12nT,.12(,) 12n,14.2 举例说明 ：表示共有 个参数的所有积之和，共有 项. 第 个参数的指数是 ，0,336!1第 和第 个参数的指数是 .20故： .,()! )()10110T1xyzzyx2yz ：表示共有 个参数的所有积之和，共有 项.第 个和第 个参数的指数!12
