1、一、函数的连续性的概念,二、函数的间断点,四、小结 思考题,第七节 函数的连续性,三、初等函数的连续性,一、函数的连续性(continuity),1.函数的增量(increment),注意：,2.连续的定义,即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.,例1,证,由定义2知,例2,证,3.单侧连续,定理,例3,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,5.基本初等函数的连续性,二、函数的间断点(points of discontinuity),1
2、.可去间断点(a removable discontinuity),例4,解,注意 可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例4中,例5,解,2.跳跃间断点,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,左右极限相等，则为可去间断点；,左右极限不相等，则为跳跃间断点,例5中的间断点为跳跃间断点,3.第二类间断点,例6,解,例7,解,注意 函数的间断点可能不只是个别的几个点.,这时也称其为振荡间断点,狄利克雷函数(Dirichlets function),在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.,在定义域 R内
3、每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,例8,解,定理1,例如,三、初等函数的连续性,1. 连续函数的和、差、积、商的连续性,定理2 严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数 ,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,2. 反函数与复合函数的连续性,定理,例9,定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,. 初等函数的连续性,1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的去心邻域内没有定义.,注意,例10,例11,解,解,注意2. 初等函数在连续点求极限可用代入法.,四、小结 思考题,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,4. 初等函数的连续性,（1）初等函数在其定义区间上连续；,（2）初等函数的连续性在求极限时的应用： 代入法。,思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,思考题,思考题解答,是它的可去间断点,练 习 题,练习题答案,
