1、弹塑性模型简介,3.4 弹塑性模型简介,其最终目的（实质）就是求各种应力应变条件下的E、值，供各种应力条件下：,弹塑性模型又称本构模型,弹性变形条件；,弹塑性变形条件；,塑性变形条件；,粘弹性变形条件；,变形分析（计算）用。,寻求的是：应力、 应变关系！,3.4 弹塑性模型简介,3.4 弹塑性模型简介,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,1、切线弹性模量,该模型是通过非线性数学表达式，建立应力状态改变过程中弹性常数、与偏应力（1 - 3）之间的双曲线函数，从而更客观地反映非线性材料的应力应变关系。,其中邓肯-张（Duncan-Chang）模型被国内外较为广泛的应用。,首先，考特纳(Kondne
2、r)建议采用双曲线表示（ d 1）曲线，对于常规三轴压缩试验，当3为常数时，有：,其目的就是通过常规三轴压缩试验曲线，找出一个共同的数学表达式，并从这个表达式出发，推导出切线模量Et的计算公式，以供增量弹性分析之用,我们简称E模型。,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,或,式中：a，b为试验常数。,由常规三轴试验，可以得到图示曲线,1,1,三轴压缩试验曲线,渐近线,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,图中 为应力应变曲线的渐近线，即为其破坏的极限值，,该模量 为初始弹性模量，在（ - ） 曲线上任取一间隔段求导，即为该增量区段内的切线模量：,-,当 极小趋近于零时，起始弹性模量Ei,3.4 弹
3、塑性模型简介,一、 模型,1,b,即弹性模量的倒数。,如将图中的坐标系纵轴变为,斜率：,式中 为破坏比。,Rf的取值在0.751.0之间。,该直线纵轴截距为,a,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,在三轴试验中，随 取值不同，（ - ） 曲线将不同。,或,式中： 为 的函数，随3而变动,可采用下式计算：,邓肯-张提出这些试验曲线可用下式表达:,式中：pa为大气压，K、n为试验常数，,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,对不同的土类，K值可能小于100，也可能大于3500；n值一般在0.21.0之间。,因为切线模量,根据,式中：S为应力水平，反映强度发挥的程度,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型
4、,根据莫尔-库仑破坏准则，有,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,此时:,可见，a，b均是 的函数。,由求解的公式可知，该模量与所研究土体的c、强度指标，与K、n、Rf有关，是固结压力3的函数。,此时，弹性常数的线性表达式已不适用，,而应采用受荷过程中的增量弹性模量表达式。,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,其中的K、n如何确定呢？,两侧取对数，即使幂函数转换为直线函数，,将公式,直线斜率为n，于是切线弹性模量可求。,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,K、n的确定方法如图所示,此时图中直线截距为logK，,二、切线泊桑比,泊桑比是在受荷过程中，土体侧向应变r与轴向应变a的比值。,类同于弹性
5、模量的方法，当侧向应变趋于无穷小时，其切线泊桑比i为初始泊桑比， t为切线泊桑比。,库哈威（Kulhawy）与邓肯将三轴试验中r 、 a数据用双曲线函数表达，此关系曲线如图所示。,-,轴向应变。,侧向应变。,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,s3=常数,初始泊桑比是固结压力3的函数，其表达式为,式中：,G、F为试验常数。,切线泊桑比公式为,式中：A为试验常数。,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,如仿照前面的作法时,则为图中直线的截距与斜率。,三、回弹模量,动荷载作用下，土体由加荷到卸荷过程中，（ - ） 曲线如图所示。,OA为加荷状态的应力应变关系曲线，其斜率为 ；,AB为卸荷曲线，其斜率
6、为 。,邓肯等人假定 ： 不随（ ）变化，仅随 而变。,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,加荷与卸荷曲线,A,B,加荷,卸荷,回弹模量可由下式计算：,关系曲线,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,在双对数纸上点绘 关系曲线，得一直线，如图所示，其截距为 ，斜率为 n 。,邓肯-张模型采用非线性弹性常数，反映了土体变形的主要规律，其双曲线函数由常规三轴试验确定、参数少，适用于粘性土、砂土及3接近常数的岩土工程问题。,不宜用于密砂及严重超固结土，它不能考虑应力路径对该模量的影响。,2003年以来，国内河海大学等单位，对常规三轴仪进行改进，完成了轴向卸载、侧向加载及侧向卸载不同应力路径下切线模量公
7、式的推导工作，对双曲线模型进一步给予完善，并通过试验进行了验证。,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型, 侧向卸载条件下的切线弹性模量,式中：,轴向固结压力，,侧向应力,式中，,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型, 侧向加载条件下的切线弹性模量Et,式中：c、来自侧向加载试验。,同样，若假设不同应力路径的强度指标一致，Ko固结侧向加载条件下的切线弹性模量公式如下：,式中各符号意义同前,其中Rf仍为,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型, 轴向卸载条件下的切线弹性模量Et,式中：c、来自轴向卸载试验。,若假设不同应力路径的强度指标一致，对于K0固结，上式可简化为：,式中各符号意义同前,其中Rf仍为,
8、3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,3.4 弹塑性模型简介,一、 模型,以上的研究工作，为邓肯张模型在基坑支护工程等问题中的应用创造了良好条件。,KG模型,KG模型,该模型又称为（Domaschuk-Vallianppam）模型，它以弹性体积模量K、剪切模量G为参数，以半对数曲线整理三向固结压缩试验，双曲线整理三向等压固结排水压缩试验结果，建立K、G参数的本构模型。,土样在 （各向等压）静水压力的条件下各向等压固结，得到孔隙比与压力的曲线，该曲线用半对数坐标系表示为,试验常数,已知土样体积应变,，则,对该式两侧求导,体积模量,3.4 弹塑性模型简介,二、 模型,式中： 初始孔隙比，,3.4 弹
9、塑性模型简介,二、 模型,不同压力p下的Kt可求。,三向等压固结的 试验曲线,由于土体应力历史的存在，因而定义前期固结压力pc与对应的体应变 之比为初始体积模量Ki：,由下图中直线斜率（即压缩指数）确定,3.4 弹塑性模型简介,二、 模型,此时，切线体积模量为Kt,式中：n为试验常数。,在水利电力部土工试验规程（1979）中建议半对数坐标系内直线方程为：,对左式微分，得：,3.4 弹塑性模型简介,二、 模型,式中： 为p应力范围内的压缩指数。,剪切模量G值的测定,八面体应力：,与其相适应的应变为体积应变：,3.4 弹塑性模型简介,二、 模型, 复杂受力状态下的剪切应变为：,八面体剪应变的几何意
10、义是:,八面体剪应力的指向与八面体法线所交直角的改变量。,工程中为便于描述塑性现象，经常将八面体剪应变乘以 ，得到广义应变的虚拟值。,然后，再按pc等于另一不同值的土样求取另一组曲线,进行三向等压固结排水试验，求取一组（5条）应力-应变曲线。,3.4 弹塑性模型简介,二、 模型,所有的曲线都用考特纳(Kondner)建议的双曲线关系式：,将其微分，得,3.4 弹塑性模型简介,二、 模型,取：Gi=1/a为初始剪切模量；,为应力偏张量最大值。,引入剪应力的破坏比R,3.4 弹塑性模型简介,二、 模型,该方程即是切线剪切模量关系式。,试验证明，切线剪切模量与破坏比Rf，初始孔隙比e0，前期固结压力
11、pc有关，其表达式为：,式中：、为试验常数,3.4 弹塑性模型简介,二、 模型,根据水利电力部土工试验规程，Gt简化求解时，土体中八面体偏应力q与相应的剪切应变 仍采用双曲线方程表示为：,式中：,与前面(Domaschuk)的推导相似，得出,由三轴等向固结排水试验得出,式中：,3.4 弹塑性模型简介,二、 模型,3.4 弹塑性模型简介,二、 模型,由于E、KG，模型是建立在广义虎克定律的基础上，由常规三轴试验资料得到了弹性常数与应力状态的非线性关系表达式，进行有限元计算，因此这两个模型是非线性弹性模型。,（剑桥模型）,Cambridge Model,剑桥模型的中心是状态边界面，是英国剑桥大学的
12、罗斯科（K.H.Roscoe，19581963)等人为正常固结和弱超固结的重塑粘土（也就是所谓的“湿粘土”）创制的弹、塑性应力应变关系的数学模型，是一种“帽子”模型。,外荷作用下土体发生变形，随荷载增加土体变形增大；当土体由静止状态发生失稳或变形过大不能保证上部结构正常工作时，土体达到极限破坏，将不能连续承受荷载，这就是“临界状态”。,临界状态,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,临界状态线和状态边界面,通过大量三轴排水与固结不排水实验证明，施加偏应力，在pq平面内，使土体产生破坏的应力点均落在同一直线OD上如图 ，其方程为：,在平面状态下,若取 为横坐标，
13、取 为纵坐标，建立坐标系。,D,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,在ep平面内，破坏点均落在同一曲线CD上，如图,在epq三维空间内，初始等向压缩曲线必在ep面内，设其为曲线AB，,随着偏应力的施加，土体中剪应力增大，孔隙比改变，曲线在三维空间坐标系中脱离原水平面向上方移动，达到破坏时，对应的空间曲线叫临界状态线。,初始状态时对土样进行等向压缩，此时q=0,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,因此，临界状态线是破坏点的空间轨迹，其在平面内投影为一直线，简称破坏线。,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge
14、 Model）,在三维p-q-e空间坐标系内，对应每一个p、q应力状态，均有相应的孔隙比e值，这样p、q、e三个坐标就定义了一个空间点。,在该面以下为弹性区，该面以上是土体不可能达到的区域，沿着状态边界面将发生塑性变形。,随着应力状态的变化，大量的空间点移动形成一个从AB到CD的空间曲面，这个空间曲面叫状态边界面。,当已知p、q、e时，即可确定空间点的位置，其位置在状态面以下为弹性状态，处于状态边界面上即为屈服，根据该曲线的数学表达式，可建立屈服准则。,图中AB是状态边界面与eop平面的交线，,e,在卸荷过程中（例基坑内土体开挖），图中EH为等向膨胀曲线，,偏应力增大到极限时，应力状态到达临界
15、状态线CD。,AB是等向压缩曲线（q=0）,H,H,N,F,应力空间中状态边界面EG线上的N点，它在侧面p-q坐标系内投影为N点,也是屈服轨迹EG上的N点。,在EG上与EH曲线间组成的平行于q轴的竖向平面内，均为弹性变形。（因为假定塑性势面与屈服面重合），在p-q平面上的屈服轨迹即为塑性势线。,屈服轨迹在p-q平面上的投影,塑性势线,1956年起K.H.Roscoe 等人为正常固结和弱超固结的重塑粘土（也就是所谓的伦敦“湿粘土”）创制的弹、塑性应力应变关系的数学模型，, 剑桥模型,屈服函数的推导:,即：,由于Roscoe假定,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model
16、）,，所以,从正常固结线上卸荷，使其回弹，在该区域内，单元体在p、q作用下发生弹性应变增量，该增量值可用e lnp关系曲线的膨胀段来代替。,各向等压固结试验膨胀段（回弹段）的曲线方程为：e = ek- k.lnp ，,k为 e lnp关系曲线膨胀段的斜率。,假设一切剪应变都是不可恢复的,弹性剪应变为“零”,式中ek 、k均为试验常数，微分后得弹性应变孔隙比的变化量，并用角标“e”表示弹性变化，则,若体积应变是用孔隙比定义的，,eo为初始孔隙比，是常数。,则：,将式代入后得：,将式代入后得：,剑桥模型又假设在同一屈服轨迹上,前面已讲过：q=M.p,沿着屈服面移动时，塑性势均相等,也就是说，剑桥模
17、型认为塑性能等于,塑性势面与屈服面重合,所以,在屈服轨迹（塑性势）F（p，q，k)=0上，其屈服参数k为常数，则,由正交定律,得,代入得：,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,1928年，米色斯提出,塑性应变增量的方向与塑性势面的法线方向一致，即与塑性势面正交,根据,代入式,根据式,得,代入得,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,因为,所以,即,解该微分方程，得解如下：,其中，c为积分常数,设该屈服轨迹与坐标轴p的交点为A，则A点坐标为(po,0，0),3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）
18、,代入后得,所以,即,也就是说，相应的屈服函数F为,若设该屈服函数与破坏线交于（px，qx，ex或vx），则,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,屈服函数!,相应的屈服函数为,因为,所以,式又可写成,po屈服轨迹与p轴交点处的p值（硬化参数）,px屈服轨迹与破坏线交点处的p值,屈服轨迹的完整形状是一个对称的闭合曲线，象一个弹头形状，随着压力的增加而扩展。,如前所述，正常固结粘土的状态边界面是原始固结曲线和临界状态线围成的部分，所以，根据状态边界面上任一点的屈服轨迹和正常固结线、膨胀曲线可以推导状态,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge M
19、odel）,边界面方程；如屈服轨迹沿正常固结线与临界状态线移动所发生的曲面是状态边界面，如图,屈服曲面,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,对于图中的B点(正常固结线、膨胀曲线和屈服曲面的公共点，且该点在ep平面内），设其坐标为p=po，e=eo，正常固结线上q=0，则过B点的正常固结线与膨胀曲线为，,正常固结线,回弹曲线,式中的 ec、 ek分别为正常固结曲线、膨胀曲线上p=1.0时的孔隙比，,-,将其代入到膨胀曲线的一般方程e- ek+ k.lnp =0中得，,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,与相应的屈服轨迹方程,
20、联立消去po得到状态边界面方程如下：,即,式中：、k及M均为常数，由试验确定。,同样，如果土样的屈服轨迹沿临界状态线移动，与破坏线交于（px ，qx ，ex）点，则过（px ，qx ，ex）点的临界状态线和回弹曲线方程为：,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,临界状态线,回弹曲线,消去ex后得：,将其代入到膨胀曲线的一般方程e- ek+ k.lnp =0中得，,与相应的屈服轨迹方程,联立消去px得到状态边界面方程的另一种表达式如下：,即：,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）, 剑桥修正模型,Burland(1965)认为塑
21、性能,有两种极端情况，在q=0时，,这时也有塑性能的存在，在q=M.p时，,，则,则,为了改进原来的模型，建议采用向量和的办法来表达一般情况下的塑性能，在该建议下，塑性能的表达式为,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,用此式代替,(4),这就是修正剑桥模型中关于塑性能的假定。这样推导出的屈服轨迹如下：,因为,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,即,此轨迹在eq平面上的投影为一椭圆,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,且和p轴正交，这样就能满足在p轴处不产生剪应变的要求。,以上剑桥模型及剑
22、桥修正模型的屈服函数最初是从对应力及应变变化的塑性功原理推导得到的；计算值与实测值相比，修正剑桥模型的计算值偏小，但总的情况要比剑桥模型好些。,在这些计算中，均忽略了第三应力不变量的影响，当在主应力空间描述时，假定的任何屈服面都是围绕空间对角线旋转而成的面。,End!,海南风光,谢谢!,再见!,这也是状态边界面方程，它与前面的状态边界面方程等价；比较这两个方程：,得：,这里ecr为临界状态线在ep平面上的投影方程中，当p=1.0时的孔隙比，也是试验常数。,将式化成,对e求全微分,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,因为,3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,根据能量方程,(5),3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,(25),3.4 弹塑性模型简介,三、剑桥模型（Cambridge Model）,
