1、2018 江西,专题十拓展探究题,考情分析近6年必考几何拓展探究题，在解答题的最后一道或倒数第二道题出现，分值1012分主要考查方式有求线段长、判断形状、求角度、判断数量和位置关系并证明，涉及特殊三角形、四边形的判定与性质，全等、相似三角形的判定及性质，二次函数等，综合性较强预计2018年仍会考查几何拓展探究题，需要加强训练,例1如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为这边上的“奇特三角形”，这条边称为“奇特边”(1)如图1，已知ABC是奇特三角形，ACBC，且C90.ABC的奇特边为_.设BCa，ACb，ABc，求abc.,类型 几何新定义型探究问题,AC,(2)如图2，
2、AM是ABC的中线，若ABC是BC边上的奇特三角形，找出a2与b2c2两者之间的关系,如答图1，取AC的中点H，连接BH，设ACBH2x，则AHHCx，,(2)如答图2，过点B作BDAM的延长线于D，过点C作CEAM于E，设BDx，DMy，BMz，,BDMCEM.CEBDx，DMEMy，AB2BD2AD2x2(y2z)2，AC2AE2EC2x2(2zy)2.AB2AC22x22y28z22(x2y2)8z210z2，,思路点拨读懂题意，结合已学知识理解新定义的内涵，运用已掌握的知识和方法解决问题,训练1.(2017金华)如图4，将ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸
3、片分别沿等腰BED和等腰DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形,(1)将ABCD纸片按图5的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段_，_；S矩形AEFGSABCD_.,AE,GF,12,(2)ABCD纸片还可以按图6的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF5，EH12，求AD的长；,(3)如图7，四边形ABCD纸片满足ADBC，ADBC，ABBC，AB8，CD10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，B
4、C的长,2阅读理解如图8，ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn1折叠，点Bn与点C重合无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC是ABC的好角,小丽展示了确定BAC是ABC的好角的两种情形情形一：如图9，沿等腰三角形ABC的顶角BAC的平分线AB1折叠，则等腰三角形的两个点B与C重合(因为等腰三角形的两个底角是相等的)；,情形二：如图10，沿ABC中的BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合,探究发现(1)A
5、BC中，B2C，经过两次折叠，BAC是不是ABC的好角？_；(填“是”或“不是”)(2)小丽经过三次折叠发现了BAC是ABC的好角，请探究B与C(不妨设BC)之间的等量关系，写出探究过程根据以上内容猜想：若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C(不妨设BC)之间的等量关系是_.,是,BnC,应用提升(3)在三个角都不相等的三角形中，小丽找到一个三角形，三个角分别为4，16，160，发现此三角形的三个角都是好角你能尝试再构造两组三个角都不相等，并且都是好角的三角形吗？写出具体角度即可_，_，_；_，_，_.,4,8,168,18,54,108,解：(1)【提示】小丽展示的情形二中，沿BAC的
6、平分线AB1折叠，BAA1B1.B2C，AA1B12CAA1B1CA1B1C(外角定理)，CA1B1CA1B1C是等腰三角形再折叠一次恰好重合BAA1B12C，BAC是ABC的好角,(2)B3C；理由如下：根据题意画出图形，如答图7所示，根据折叠的性质知，BAA1B1，CA2B2C，A1B1CA1A2B2，,根据三角形的外角定理知，A1A2B2CA2B2C2CAA1B1A1B1CC3C，B3C【提示】由小丽展示的情形一知，当BC时，BAC是ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当B2C时，BAC是ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当B3C时，BAC是ABC的好角；,故若经过n次折叠BAC是AB
7、C的好角，则B与C(BC)之间的等量关系为BnC(3)【提示】由(2)可知：只要满足三个条件即可求出三角形每个角的度数：和为180；每个角各不相等；任意两个角之间存在整数倍关系,例2如图11，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C90，BE30.(1)操作发现如图12，固定ABC，使DEC绕点C旋转当点D恰好落在AB边上时，填空：,类型 几何变换探究型问题,线段DE与AC的位置关系是_；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_.,DEAC,S1S2,(2)猜想论证当DEC绕点C旋转到图13所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，
8、并尝试分别作出了BDC和AEC中BC，CE边上的高DM和AN，请你证明小明的猜想,(3)拓展探究已知ABC60，点D是其角平分线上一点，BDCD4，DEAB交BC于点E(如图14)若在射线BA上存在点F，使SDCFSBDE，请求出相应的BF的长,解：(1)【提示】DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，ACCDBAC90B903060，ACD是等边三角形ACD60.又CDEBAC60，ACDCDE.DEAC,(3)如答图8，过点D作DF1BE，易证得四边形BEDF1是菱形，BEDF1，且BE，DF1上的高相等，此时SDCF1SBDE；过点D作DF2BD，ABC60，F1DBE，F2F1DABC
9、60.,思路点拨注意对变换过程中伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究，挖掘出特殊三角形，运用好全等和相似三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数等知识,训练3.(2017南京改编)折纸的思考【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形第一步，对折矩形纸片ABCD(ABBC)(图15)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平(图16),第二步，如图17，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到PBC(1)证明PBC是等边三角形【数学思考】,(2)已知矩形一边长为3 cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形
10、，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围【问题解决】(3)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4 cm和1 cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为_cm.,(1)证明：由折叠的性质可知EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，PBPC，PBCBPBPCCBPBC是等边三角形,(2)解：本题答案不唯一，举例如答图9所示；,(3)解：【提示】如答图10所示，CEF是直角三角形，CEF90，CE4，EF1，AEFCED90.四边形ABCD是正方形，AD90，ADCDDCECED90.AEFDCE.AEFDCE.,4(1)问题发现：如图18，在等边三角形ABC中，点M为B
11、C边上异于B，C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则NC与AB的位置关系为_；,NCAB,(2)深入探究：如图19，在等腰三角形ABC中，BABC，点M为BC边上异于B，C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使ABCAMN，AMMN，连接CN，试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由；,BACMAN.BAMCAN.ABMACN.ABCACN.(3)如答图11，连接AB，AN，四边形ADBC，AMEF为正方形，ABCBAC45，MAN45.BACMACMANMAC，,5如图21，等边三角形ABC中，BC4，点P从点B出发，沿BC方向运动到点C，点P关于直线AB，AC的对称点分别
12、为点M，N，连接MN.,6,【探究】(2)如图22，设PBx，MN2y，连接PM，PN，分别交AB，AC于点D，E.,用含x的代数式表示PM_，PN_；求y关于x的函数关系式，并写出y的取值范围；,【拓展】(3)如图23，在等腰三角形ABC中，BAC30，ABAC，BC2，点P，Q，R分别为边BC，AB，AC上(均不与端点重合)的动点，则PQR周长的最小值是_.,(3)【提示】如答图13，过BC的中点P作关于直线AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，此时PQR的周长最小，且最小周长值等于线段MN的长度,BAC30，BC75，MPN150.MN15.MQBPQBB75.MNBC，PQPB1.同理PRPC1.,谢谢观看,Exit,
