1、可靠性工程数学盖京波航天与建筑工程学院,第一章 概率论基础知识,1.1 概率论基本概念,1.2 随机变量,1.3 随机变量的数字特征,1.1.1 随机现象和随机事件,1.随机现象 在我们经常碰到的现象和问题中,大多数都是带有不确定性因素的,我们称之为随机现象。 那么,什么是随机现象?它和我们已经耳熟能详的那些现象的主要区别何在?随机现象的规律性又是什么呢?,为了研究方便,人们从能否预言以上这些现象的结果这个角度进行了分类: 一类是可以预言其各种可能结果的现象,即在相同条件下进行重复试验并观察,其结果总是相同而确定的。称这一类现象为确定性现象。 另一类现象就是不能预言其结果的,即在相同条件下进行
2、重复试验并观察,其结果总是不确定的。把这类现象称为随机现象。,那么随机现象的规律性具有什么特点呢?怎样去获得这个规律性,或者说用什么研究方法才能获得这种规律性?为说明这一切,让我们先看几个实例。 例1 硬币投掷问题 将一枚质地均匀的硬币在相同条件下反复投掷,观察其出正面的次数。,看看历史上的几位数学家的投掷结果吧:,一枚硬币落地后“出正面”和“出反面”的可能性是一样的,各占0.5,这恐怕是大家都认可的,也都知道这个数叫做“概率”。问题是这个是怎么来的?其确切含义是什么?,可见,试验次数较小时,看不出什么规律性。但随着试验次数的逐渐增大,出正面的次数越来越接近于一半,即其频率越来越接近于0.5.
3、 误差虽有,但其绝对误差是越来越小,就在0.5左右变化。 看来,要想说明一个随机现象的某个结果出现的可能性大小,必须要通过大数次的重复试验才行。,注意,例2 出生婴儿性别问题 不考虑强制性因素,出生婴儿性别就是一种随机现象。请看下面的表。,上表给出的是1989年北京地区出生的婴儿情况统计结果(取自1990年我国人口的普查资料)。容易看出,女婴的出生频率是相当稳定的。不约而同地,从上个世纪以来,各国关于婴儿性别的统计资料都表明,女婴的频率稳定在 0.48左右。 这就是说出生婴儿性别比基本上是1:1. 由此,从大范围的人口来看,男女比例是持平的,不会出现严重失调。,例3 信件投递问题 19世纪,法
4、国数学家拉普拉斯曾断言,法国邮局因信封上没有写地址而无法投递的信件,其发生的频率在数年间保持不变。 为验证这个断言,俄国人在20世纪初也对自己国家的情形进行了统计,结果见下表 :,这个例子使我们再一次看到,表面上毫无规律的随机事件,其发生的频率却是相当稳定的。 因此,当我们保持条件不改变进行大数量的重复试验时,结果都会呈现出频率的稳定性。 例A:同一批种子的发芽率; 例B:一个战士的打靶命中率; 例C:灾害性天气的预报,看例子吧!,例4 灯泡的寿命试验 于是对随机现象的研究就成为重要而有意义的事情。,因为如果条件改变或者根本无法试验观测的话,则根本谈不上频率的稳定性问题。,上述讨论中,强调的是
5、“试验条件不改变下的重复试验”,必须经过大数次重复试验才能发现的规律性,我们称之为统计规律性。 着重把握:一次试验结果的不确定性和大数次重复试验呈现出的统计规律性,即频率稳定性。 综上所述,随机现象是有规律的,这个规律性可以用以下两个基本特征来刻画:,(1) 结果的随机性:其所有可能的结果可预知,但在一次试验中究竟哪个结果发生是不可预测的。 (2) 频率的稳定性:在相同条件下大数量重复试验(观测),其任一结果出现的频率是稳定的,譬如稳定在某个常数p=p(A)的附近,而且试验次数越多,频率偏离这个常数值的误差越小。 将这个常数写成了结果A的函数形式,因为不同结果的频率一般不同,这个稳定值就称为这
6、个结果A(也称事件)的概率。,作为初学者,在学习随机现象时,常常会有些感到困惑的问题呢?如:,答:一次试验之下结果的不确定性与大数次试验之下频率的稳定性就是随机现象的本质性特征. 因此,所谓了解了某个随机现象是指:知道这个随机现象所有可能出现的结果以及每个结果出现的概率。了解了这样两件事就意味着掌握了这一随机现象的规律性。,某个随机现象指的是什么?什么是随机现象的本质特征?,问题是:了解了一个随机现象所有可能出现的结果以及每个结果出现的概率又有什么用?怎样利用这两件事把相关的问题做的更好? 例a 掷一枚均匀硬币只有两个结果:“正面朝上”,“反面朝上”,每个结果出现概率都是二分之一。可是连掷了5
7、次竟然都是反面。 例b 某锁厂的产品质量好,次品率仅有0.0001,可是我竟然从那买到一把次品锁。,例 商店经理要合理地安排售货员的人数,人员的安排依赖于顾客到来的人数,然而顾客到来的人数是随机的。经过长时间调查统计结果,商店经理发现本店在任一时刻能来k个顾客的概率pk可用下面这样的表格给出:,这种表格就是我们后面将要介绍的“顾客数”的概率分布率。它不仅给出了顾客数这个随机变化的量(称为随机变量)的所有可能取值结果,还表明了每个结果出现的概率。 根据上述分布规律知道,只要安排7个售货员就能以0.99的概率使得顾客不必等待,安排6个售货员就能以0.95的概率保证顾客不等待。而只安排3个售货员就有
8、点危险,因为这时顾客要等待的概率超过二分之一,达到0.54,等等。,由此例可见,知道一个随机现象的概率分布的重要性。也因此,在下面的讨论中,寻求随机变量及其概率分布是我们的主要工作之一。,2 随机现象的具体表现形式-随机事件,为了确切地考察一个随机现象,必须首先弄清这个现象的每一个可能的表现结果,才能进一步研究这个随机现象发生各个结果的可能性。 我们把随机现象的每一种表现结果叫做一个随机事件,简称事件。看几个例子。,例4 打靶试验 在试验中,一射手击中的环数就是一个随机现象。而“击中的环数在8环以上”,“恰好击中10环”,“脱靶”便是三个事件。例5 产品抽样检查 在试验时,从一批产品中抽取三件
9、产品,这三件产品的质量情况就是一个随机现象。而“三件产品都是正品”,“三件中恰有一件次品”就是两个事件。 通常用大写字母A,B,C或A1,B1,C1 表示事件。,事件的表现形式各异,有的事件很简单,有的事件较复杂。 例5中的事件A=“至少有一件次品”就比较复杂。它包括A1=“三件中恰有一件次品”; A2=“三件中恰有两件次品”, A3=“三件皆次品”,这样三个简单事件。 一般地,如果一个复杂事件可以分解为几个较简单的事件,那么在一定的研究范围内,不能再分解的事件叫基本事件;由基本事件复合而成的事件叫复合事件。,几个定义,一个随机现象的所有基本事件的集合称为基本事件空间,或称为样本空间,记为,其
10、中的基本事件也称为样本点。在一定条件下,每次试验都必然发生的事件叫做必然事件,每次试验都不会发生的事件叫做不可能事件。不可能事件记作,而将必然事件记作,这是因为中的事件在每次试验中都要发生且只发生其一。,例如,取3粒种子做发芽试验。则=“共有4粒发芽”,=“发芽种子数满足0k3”。 必然事件与不可能事件实质上都是确定性现象的表现。但是,把它们作为随机现象的两个特例,对分析问题常常是有利的。例6 一个袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球,现从中任取一球。为描述方便,先对球进行编号,1、2、3号球为白球,4、5号球是黑球。,约定用i表示取得第i号球: i取得第i号球,i=1,2,5 =1, 2,
11、3, 4, 5其中的i( i=1,2,5 )基本事件。而样本空间的子集则表示事件,如事件: A=1, 2, 3 表示“摸出的是白球”; B=4, 5 表示“摸出的是黑球”; C=3表示“摸出的是3号球”; 表示“摸出的是红球”; =1, 2, 3, 4, 5表示“摸出的是白球或黑球”,3 随机事件间的关系,(1)和事件 通常把“事件A与B至少有一个发生”这一事件称为“事件A与B的和事件”,记作C=AB(或A+B)(2)积事件 若事件C发生相当于“事件A与B同时发生”,则称事件C事件A与B的“积事件”,记作出CAB(或AB),C=AB,CAB,事件的和与积关系可以推广到有限多个事件情形。事件为A
12、1, A2,An。 将事件“A1, A2,An中至少有一个发生”这一事件记作C,则 C是A1, A2,An这n个事件的和,记作 将事件“A1, A2,An同时发生”这一事件记作C ,则,(3)互斥事件 若事件A与事件B不能在一次试验中同时发生,则称“事件A与B是互斥的或互不相容的”。记作 AB=,若基本事件之间是互斥的,则一个试验的全体基本事件构成一个互不相容的事件组,它实际上就是样本空间,即=1 2 3 4 5 其中k (k=1,2, n) 是全体基本事件。,AB=,(4)互逆事件 当事件A与B 满足AB= , AB=时,即在一次试验中事件A与 B 不能同时发生,但必须发生其一时,称事件A与
13、B是“对立事件”或“互逆事件”,并称 A是B的逆事件,,或B是A 的逆事件。 习惯上,记 A的逆事件为 ,则事件A与 互逆是指,互逆事件,(5)事件的包含关系 若事件A 发生,则事件B就发生,则称“事件B包含事件A”,或说“事件A包含于事件B”,记作,(6)事件的差关系 设有事件A与B事件,称“ A 发生但B 不发生”这一事件为事件A 与B的“差事件”,记作A-B. 注意:事件A-B与事件 相等。,A-B,(7)事件的独立关系 设有两个事件A与B,若其中的任何一个发生与否都不影响另一个事件的发生与否,则称“事件A与B是相互独立的”。 注意区别独立、互斥和互逆关系。,交换律,结合律,分配律,反演
14、律,运算顺序: 逆交并差,括号优先,4、事件的运算,例7 某人生产了三个零件,设Ak=“第k个零件是正品”(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示以下各事件: 没有一个零件是次品; 只有第一个零件是次品; 恰有一个零件是次品; 至少有一个零件是次品。解 注意到上述各事件的定义,便有 A1A2A3 ,1.1.2 事件发生可能性的度量概率,在一定条件下必然发生的事件,叫做必然事件;在一定条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件,什么是概率?,明天可能会下雨我买彩票可能获头等奖,例8 对300粒种子进行发芽试验,结果有292粒发芽。那么这批种子中
15、,发芽种子占的比例为292/3000.97.把这个比例数叫做这一批种子的发芽率。例9 200个集成电路使用3000小时后,有3个损坏。能继续工作的集成电路所占的比例也说成是集成电路能使用到3000小时的可靠程度。这个比例可计算知,大约是0.99。,引入,1. 频率 在n次试验中,若所关心的某个事件A出现m次,则称 为事件A的频率。 明显地,频率具有以下基本性质:,例题: 从一袋种子中随机地抽取5份种子进行发芽试验,结果如下表。 当试验次数(一粒种子发芽可看作一次试验)较小时,频率波动较大;当试验次数增大时,频率逐渐稳定在0.9附近。,2. 概率的统计定义 把事件A的这个频率的稳定值p叫做“事件
16、的概率”,记作p(A),即p(A)=p。说明: (1)任一事件的概率是客观存在的 ; (2)要从大量重复试验的角度来理解事件的概率,3. 概率的基本性质性质1 0p(A)1性质2 P()=0, P ()=1性质3 加法公式 P (AB)=P (A)+P (B)-P(AB) 若A与B互斥,则P (AB)=P (A)+P (B) 性质4 事件A与B相互独立 P (AB)=P (A) P(B) 无限情形: P (A1A2An)=P (A1) P (A2) P (An)性质5 对任一事件A,都有,例10 甲、乙两个人同时向同一目标射击一次,两人击中目标的概率依次为0.8和0.9,求事件“击中目标”的概
17、率。解 设A=“击中目标”,而B=“甲击中目标”, C=“乙击中目标”,则C=AB,于是有P (AB)=P (A)+P (B)=0.8+0.9=1.7 这个结果显然是错误的,因为任何事件的概率不会大于1。问题就出在事件A与B并非互斥。因此,正确答案是P (AB)=P (A)+P (B)-P(AB)=0.98,例11 某种设备的一个电控系统,使用老式元件需126个,改用新式元件后,只要用12个。如果两种元件的可靠性都是0.996,试求出上述两种情况下,这个电控系统的可靠性是多少。解:可见,由于元件的减少,该系统的可靠性大大提高了。,例12 试证明:若A与B相互独立,则A与 也相互独立。,例13
18、农民在播种时,一般每个种坑播三粒种子,现已知种子的发芽率为0.9,求事件A=“每个种坑都有苗”的概率。解 设Ai=“第i粒种子发芽”(i=1,2,3),则A=A1A2A3 。注意到A1,A2,A3之间不互斥,但其间相互独立。利用 及对偶公式,有,1.1.3 条件概率,1.条件概率的定义 在一个随机事件已经发生的条件下另一个随机事件发生的概率。,A、B 是两个随机事件, 如果 P (A ) 0 ,则定义:,是事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。,例14 假定盒中装有 3 个黑球和 2 个白球,无放回接连取两个小球,已经知道第一次取出的是黑球,问第二次也取出黑球的概率是多少?解. 分别
19、用 A、B 表示两个随机事件: A = 第一次取出的是黑球; B = 第二次取出的是黑球。问题转化为计算条件概率 P (B|A ) ,根据定义,需要求出概率 P (AB ) 与 P (A ) 。,(1)事件AB 含义是“ 从 3 个黑球和 2 个白球中无放回地接连取出两个,取到的都是黑球” 因此 P (AB ) = C32 / C52 = 0.3 ;(2)以第一次抽样的结果来构造样本空间, 从 5 个小球(包含了 3 个黑球) 中随机取出一个, 因此 P (A ) = 3/5 = 0.6 ;最后,根据条件概率的定义,有: P (B | A ) = 0.3 / 0.6 = 0.5 。,条件概率中
20、的“条件”,是一个已经发生了的随机事件。题设中总有已知条件,或以某观察结果发生的为前提,如果没有这个信息,就必须作为交事件处理。例1.4.3 掷两颗骰子,已知两个骰子点数之和为7,求其中一颗为一点的概率?解:设A=两个骰子点数之和为7, B=掷出的骰子中,有一颗为1, 欲求P(B|A),区别“条件概率”与“交事件概率”的关键,2. 乘法公式,乘法公式 如果 P (A ) 0,则有 P (AB ) = P (A ) P (B | A ),一般的乘法公式 设 A1 , A2 ,An 是任意的 n 个随机事件,并且 P ( A1 A2 An ) 0 ,则有: P ( A1 A2 An ) = P (
21、A1 )P (A2 | A1 )P (A3 | A1 A2 ) P (An1 | A1 A2An2 )P (An | A1 A2 An1 ),例15 有一批产品100件,其中5件次品,现在对它进行无放回地抽样检查,若在5次抽样中至少有1件废品,则该批产品就会被拒收,求该批产品被拒收的概率?解: Ai=第i次抽到次品,i=1,2,3,4,5 B=该批产品被拒收显然 B= A1A2A3A4A5,例16 一个袋子中有8 个红球2个白球,一人做摸球游戏,规则如下:每次从袋中摸取一球,看到颜色后放回,再向袋子中加入两个同颜色球,问此人三次摸出球的颜色分别为红、白、白的概率是多少?解 设Ai表示”第i次取
22、到红球”,则 表示“第i次取到白球”,i=1,2,3,于是,例17 假定盒中有1个黑球与 n 1个白球,n 个人依次各取一个小球,问第 k ( 1 k n )个人取到这个黑球的概率是多少?解. 第一种解法:古典概型的理论。 把黑球编成 1 号,其余白球依次为 2,n 所有 n 个人的全部取球方式有 n ! 种,而第 k 个人取到黑球则有 (n 1 ) ! 种情况,因此,所求的概率与 k 无关,为 1/n 。 第二种解法:条件概率的方法。,抽签结果与抽签顺序无关,P 第一个人取到黑球显然是 1/n ;P 第二个人取到黑球 = P (第一个人取到白球)(第二个人取到黑球) = P (第一个人取到白
23、球) P (第二个人取到黑球) | (第一个人取到白球) ,同理,第三个人取到黑球的概率是:, 对于任意第 k 个人的情况,利用若干个随机事件交事件的乘法公式,他取到黑球的概率仍然是:,实际上,如果有 m 个黑球,n m 个白球,n 个人依次无放回各取走一个小球。则任意的第 k 个人 取到黑球的概率就是 m / n ,与 k 无关。,3. 全概率公式与Bayes(贝叶斯)公式,(1)样本空间 的划分 ( 或完备事件组 ),样本空间也可以被划分成无穷多个随机事件的和,定义 如果随机事件A1,A2,An 满足: (1) AiAj = ,对所有的i j; (2) A1A2An = . 则称 A1,A
24、2,An 是样本空间的一个划分。,(2) 全概率公式与贝叶斯公式,对任意的 i 1,有:,假定随机事件组 A1,An 是样本空间的一个划分,B 是任意的一个随机事件,则:,全概率公式,贝叶斯公式,这一公式最早发表于1763年,当时贝叶斯已经去世,其结果没有受到应有的重视。后来,人们才逐渐认识到了这个著名概率公式的重要性。 现在,贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝叶斯统计已成为机器学习、人工智能、知识发现等领域的重要工具。 贝叶斯公式给出了“结果”事件B已发生的条件下,“原因”事件的条件概率。,如果把随机事件B 看成是结果,随机事件组 A1,An 看成可能导致结果 B 发生的若干原因,贝叶斯公式在
25、决策理论中有重要应用:不断地根据新得到的信息来修正原来的观点。,从这个意义上讲,它是一个“执果索因”的条件概率计算公式。相对于事件B而言,概率论中把A称为先验概率(Prior Probability),而把B称为后验概率(Posterior Probability),这是在已有附加信息(即事件B已发生)之后对事件发生的可能性做出的重新认识,体现了已有信息带来的知识更新。,用好全概率公式的关键在于构造合适的完备事件组。 通常可以从导致所求事件B发生的原因事件中或者从与之有关的情况事件中去寻找。也可以用A与来构造。,例18 产品使用的元件由三个工厂提供,数据如下:,厂家 次品率 所占份额甲厂 0.
26、02 0.15 乙厂 0.01 0.80 丙厂 0.03 0.05,(1) 随机从仓库取一件,求取到次品的概率; (2) 如果取到次品,最可能是来自哪个工厂的产品? 最不可能的又是哪个工厂的?,解. 以 A、B、C 分别表示取到的这个元件来自工厂 甲、乙、丙,D 表示这个元件是次品。因此已知: P (A ) = 0.15, P (B ) = 0.8, P (C ) = 0.05 ; P (D | A ) = 0.02, P (D | B ) = 0.01,P (D | C ) = 0.03 .,(2) 根据 Bayes 公式,,同理,P (B | D ) = 0.64 ,P (C | D )
27、= 0.12 。这个次品最有可能是乙厂,最不可能是丙厂的。,(1) 根据全概率公式, P (D ) = P (A ) P (D | A ) + P (B ) P (D | B ) + P (C ) P (D | C ) = 0.150.02 + 0.80.01 + 0.050.03 = 0.0125 ;,需要求出 P (D ) ,以及比较三个条件概率:P (A | D ),P (B | D ),P (C | D ) 的大小。,“先验概率” 与 “后验概率”,先验概率:过去经验或知识,后验概率:有新的信息以后对过去认识的修正,定义,设A , B为两事件,若,则称事件A与事件B相互独立,1. 事件
28、的独立性,1.1.4 事件的独立性,两事件A与B相互独立是相互对称的,若,若,两事件相互独立的性质,例19 随机投掷编号为1与2的两个骰子 事件 A表示1号骰子向上一面出现奇数; B表示2号骰子向上一面出现奇数; C表示两骰子出现的点数之和为奇数。,则,但,n 个事件 A1, A2, , An 相互独立是指下面的关系式同时成立,定义,常由实际问题的意义 判断事件的独立性,利用独立事件的性质计算其并事件的概率,若A1,A2, , An 相互独立, 则,特别,当P(Ai)=p,则,一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性 系统由元件组成,常见的元件连接方式:,串联,并联,例20
29、 系统的可靠性问题,设 两系统都是由4个元件组成,每个元件正常工作的概率为p,每个元件相互独立。两系统的连接方式如下图所示,比较两系统的可靠性。,S1,S2:,注 利用导数可证, 当 时, 恒有,例21 肠癌普查,设事件Ai表示第i次检查为阳性,事件B表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下:,某患者首次检查反应为阳性, 试判断该患者是否已患肠癌? 若三次检查反应均为阳性呢?,由Bayes公式得,首次检查反应为阳性患肠癌的概率并不大,接连两次检查为阳性患肠癌的可能性过半,两次检查反应均为阳性,还不能断定患者已患肠癌,连续三次检查为阳性几乎可断定已患肠癌,某型号火炮的命中率为0.8, 现有一架敌机即将入侵,如果欲以 99.9 % 的概率击中它,则需配备此型号火炮多少门?,补充作业,解答,设需配备n 门此型号火炮设事件Ai 表示第 i 门火炮击中敌机,故需配备5门此型号火炮,