1、专题五 转化与化归的思想方法,数学第二轮专题复习第一部分,考题剖析 ,规律总结 ,知识概要 ,03,08,28,转化与化归的思想方法,1. 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难.通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的 目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.,知识概要,转化与化归的思想方法,返回目录,2. 化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就
2、是从未知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.,知识概要,转化与化归的思想方法,返回目录,3.转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等 价性，或对所得结论进行必要的验证. 4.化归与转化应遵循的基本
3、原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.,知识概要,转化与化归的思想方法,返回目录,（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其变为有利于运用某种数学方法或使其方法符合人们的思维规律. （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决. （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.,知识
4、概要,转化与化归的思想方法,返回目录,5.利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：,知识概要,转化与化归的思想方法,返回目录,考 题 剖 析,返回目录,1. （2007烟台模拟题）若(2x )4=a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为（ ） A.0 B.1 C.1 D.2,考题剖析,C,解析 令f(x)=(2x )4 =a0a1xa2x2a3x3a4x4(a0a2a4)2(a1a3)2=(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)=f(1)f(1)=(2 )4(2 )4=1,所以选C.,点评 本题巧妙地将二项式项的系数问题转化为函数问题，关键是要
5、看清(a0a2a4)2(a1a3)2的结构特点，可以分解因式，而分解因式后与前面式子联系起来看，就不难转化为一个函数问题了.,转化与化归的思想方法,返回目录,2.（2007云南昆明市质检题）若 |xy3|=0，则点M(x,y)的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D.抛物线,考题剖析,解析由原式可以变形为 ，即可以看作是动点（x,y)到点（3,1）的距离与到定直线xy3=0的距离的比为 ，故点M(x,y)的轨迹是双曲线.,C,点评 本题如果直接对原式进行变形，是有一定运算量的，效率也不高，但将式子转化为这种公式之后，它的几何意义就凸现出来了，解题时要有一定的转化能力与数形结合的能
6、力.,转化与化归的思想方法,返回目录,分析本题要求(x23x2)5展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的计算用两种思路进行转化.,3.在(x23x2)5的展开式中x的系数为（ ） A.160 B.240 C.360 D.800,考题剖析,解析思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则(x23x2)5展开式是一个关于x的10次多项式，(x23x2)5 =(x23x2) (x23x2) (x23x2) (x23x2) (x23x2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为C
7、(3x)C 24=5316x=240x，所以应选B.,B,转化与化归的思想方法,返回目录,思路2:利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算：x23x2=x2(3x2)=(x22)3x=(x23x)2=(x1)(x 2)=(1x)(2x)，这条思路下又有四种不同的化归与转化方法.如利用x23x2=x2(3x2)转化，可以发现只有C (3x2)5中会有x项，即C (3x)24=240x，故选B；如利用x23x2= (x22)3x进行转化，则只C (x22) 43x中含有x一次项，即C 3xC 24=240x；如利用x23x2=(x23x)2进行转化，就只有C (x23x)24中会有x项
8、，即240x；,考题剖析,转化与化归的思想方法,返回目录,如选择x23x2=(1x)(2x)进行转化，(x23x2)5=(1x)5(2x)5展开式中的一次项x只能由(1x)5中的一次项乘以(2x)5展开式中的常数项加上(2x)5展开式中的一次项乘以(1x)5展开式中的常数项后得到，即为：故选B .,考题剖析,点评 化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知.,转化与化归的思想方法,返回目录,4.（2007北京宣武区模拟题）某厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月
9、投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（ ） A.mN B.m4xp3对一切0p4均成立，试求实数x的取值范围.,解析 x2px4xp3 (x1)px24x30令g(p)=(x1)px24x3，则要使它对0p4均有g(p)0，只要有x3或x1.,点评在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化
10、，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.,转化与化归的思想方法,考题剖析,返回目录,7.（2007湘潭市调研题）已知二次函数f（x）=ax22x2a1，其中x=2sin（0 ）. 若二次方程f（x）=0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围.,分析注意0 ，则12sin2，即1x2，问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得出等价的不等式组.,解析由以上分析，问题转化为二次方程ax22x2a1=0.在区间1,2上恰有两个不相等的实根，由y=f（x）的图象（如图所示），,转化与化归的思想方法,考题剖析,返回目录,得等价不等式组：解得实数a的取值范围
11、为3， .,考题剖析,点评 本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了.,转化与化归的思想方法,返回目录,8.如下图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥PABC. （1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直 角梯形P1P2P3A，如图（b）所示.求证：侧棱PBAC； （2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求 侧面PAC与底面ABC所成角； （3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个 三角形P1P2P3，如图（c）所示.已知P1P3=P2P3，P1P2=2a，若三 棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此三棱锥的体积.,考题剖析,转化与化归的思想
12、方法,返回目录,考题剖析,解析（1）在平面图中P1AP2B，P2BP2C.故三棱锥中，PBPA，PBPC，PB平面PAC，PBAC.,（2）由（1）在三棱锥中作PDAC于D，连结BD.由三垂线定理得BDAC，PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连BP3得BP3AC，作AECP3于E，得AE=P1P2=4.设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3= = ，EP3= .故CP3=2 ，P2P3=4 ，,转化与化归的思想方法,返回目录,由ACDP3=CP3AE DP3= ，又BP3= =6，且BD= .在PDB中，cosPDB= ，侧面PAC与底面ABC所成的
13、角的大小为arccos .,考题剖析,转化与化归的思想方法,返回目录,（3）在平面图中，由剪法知，A、B、C分别是三角形三边的中点.由此得：AB=BC=AC=a.在三棱锥中，取AC中点D.连PD、BD ACPD，ACBD，故AC平面PDB，且D到PB的距离为异面直线PB与AC之间的距离d，SPDB= ad，V= a2d.,考题剖析,点评立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转化，有关空间角的计算总是转化为平面内的角来求解.,转化与化归的思想方法,返回目录,9.设函数f(x)的定义域为R，若对于任意实数m，总有f(mn)=f(m)f(n),且当x0时，0f(x)1. ()证明：f(0
14、)=1且x0时，f(x)1； ()证明：f(x)在R上单调递减； ()若f(x)m22am1对所有x0,),a1,1时恒成立，求实数m的取值范围.,解析（）在f(mn)=f(m)f(n)中取m0,n=0有f(m）=f(m)f(0). x0时，0f(x)1 f(m)0. f(0)=1 又设m=x0，n=x0，则0f(x)1,f(mn)=f(0)=f(x)f(x)，f(x)= 1即x0时，f(x)1.,转化与化归的思想方法,考题剖析,返回目录,()设x1x2，则x2x10,0f(x2x1)1,f(x1)0，f(x2)f(x1)=f(x2x1)x1f(x1)=f(x2x1)f(x1)f(x1)=f(
15、x1)f(x2x1)10.f(x)在R上单调递减.,（）f(x)在R上递减，当x0,）时，f(x)f(0)=1，由若f(x)m22am1对所有x0,）,a1,1时恒成立，有：1m22am1，即m22am0恒成立，记g(a)=2mam2， 解得m2或m=0或m2.m的取值范围是（,202,).,转化与化归的思想方法,考题剖析,返回目录,点评抽象函数中，恰当地对条件给出的恒等式进行赋值，是解题的常用方法. ()中通过将m，n赋值x和x，从而将f(x)用f(x)表达; ()中将f(x2)等价转化为f(x2x1)x1是常用方法； ()是“恒成立”问题，“恒成立”常可转化为最值问题，本题中只要考察f(x
16、)的最大值，问题就明朗化了.,转化与化归的思想方法,考题剖析,返回目录,规 律 总 结,返回目录,阳光教学资源网 http:/ 搜集，仅供学习和研究使用！,1.逐步树立转化与化归意识，遇到难题试着转换. 2.转化与化归应遵循五条原则： (1)熟悉化原则：将陌生的问题化为熟悉的问题来解决； (2)简单化原则：将复杂问题化为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的； (3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形的内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推理有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律； (4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；,规律总结,转化与化归的思想方法,返回目录,返回目录,(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解. 3.化归的基本方法与途径： (1)等价转化将原题转化为与之等价的命题； (2)数形结合将问题中的数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系互相转化，获得化归途径； (3)降维(幂)与升维转化； (4)构造法“构造”一个合适的数学模型，使问题易于解决. 另外还有特殊化方法、一般化方法、换元法、补集法等.,规律总结,转化与化归的思想方法,
