1、第四章数值微积分,Newton-Cotes 型求积公式复化求积公式Gauss 型求积公式数值微分,内容讲解安排,1. 目的意义：掌握积分与微分的数值计算方法2. 重 点：梯形积分公式、抛物线积分公式、 Gauss积分公式、数值微分3. 难 点： Gauss积分公式与程序设计4. 内容分配： 第7次：等距节点积分公式及梯形公式、抛物线公式 第8次：复化梯形公式 第9次：Gauss型积分公式的理论推导 第10次：Gauss型积分公式的应用及数值微积分,1. 引言,求函数在给定区间上的定积分，在高等数学教程中已给出了许多有效的方法。但在实际问题中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明
2、显的给出；或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。,这时，我们就需要利用函数在这些节点上的信息求出函数积分的近似值，由此，导出了数值积分的概念和方法。,关于积分,如果已知 f(x)=F(x) ,则根据牛顿-莱布尼兹公式可以得到：,但是，在计算中会遇到以下情况：,都不宜直接用Newton-Leibniz公式计算。这时可以考虑近似求解。,1）.原函数无法求出，如：,2）.y=f(x)由离散数据给出 (xi,yi) , i=0,1, , n,3）.F(x)可以求出，但太复杂，如,采用近似解法或数值解法的思想是先找出被积函数 f(x) 的近似函数 p(x) , 即：,则可以得到：,本章，我们将
3、给出两种计算方法：,1）.等距节点的牛顿-柯特斯型求积公式。,2）.非等距节点的高斯型求积公式。,2. Newton-Cotes型求积公式,则可以构造出n次Lagrange插值多项式：,相应的函数值为：yk=f(xk), k=0,1,2,n,对于定积分,将区间a,bn 等分,节点为：,对 f(x)=Ln(x)+Rn(x) 两端在a,b上积分,得到:,令：,忽略Rnf便可以得到积分的近似表达式：,误差为：,为了给出具体计算公式，令,则由 xi=a+ih, xk=a+kh 得到,从而,误差由：,及x=a+th, xk=a+kh 得到,令：,则得定积分的近似计算公式：,这时:,我们称此公式为 New
4、ton-Cotes 型求积公式。,其误差为：,下面再总结一下Newton-Cotes 型求积公式的推理过程。,针对等距分点处的函数值：,对于积分,得到：,由变换：,得到,对 f(x)=Ln(x)+Rn(x) 两端在a,b上积分,得到:,从而得到Newton-Cotes型求积公式：,在具体计算时，可以取定 n=1，2，3，4。此时，还有专用名称称呼，分别为梯形公式、抛物线公式、Cotes公式等，下面给出具体的计算格式。,一、梯形公式(n=1),由系数,得到,于是,即：,关于误差可由,得到,设 f(x)C2a,b,则由积分中值定理得:,于是，得到梯形求积公式及其误差为,为了估计误差限，设,则得到,
5、二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2）,由系数,得到,得到,即,设 f(x)C4a,b,则可得抛物型公式的误差为,若记,则有,抛物线 (simpson)求积公式及误差为,三、Cotes公式及误差（n=4）,将三组公式及误差表示整理如下：,抛物线公式,梯形公式,Cotes求积公式,例4.1用梯形公式，Simpson公式和 Cotes 公式求积分,解:利用梯形公式,利用 Simpson 公式,得,利用Cotes公式得,而原积分为,相对而言，Cotes求积公式精度最高，梯形求积公式精度最低。,例 4.2 用梯形公式和Simpson公式 计算积分,解: 由梯形公式得,由Simpson公式得
6、,本节(1 )要点：,1. 等距节点(Newton-Cotes)的积分公式如何构造的？,2. N点等距节点的积分公式及其误差式怎么表示？,3. 如何由上式给出梯形公式、抛物线公式及其误差？,4. 练习：分别用梯形、抛物型公式计算下列积分并估计误差限,为了在梯形、抛物型公式的基础上给出精度更高的积分公式，下面讨论复化求积公式。,3.复化求积公式,考虑到数值计算的稳定性，用增大n的方法来提高数值积分的代数精度的方法是不可取的。类似于分段插值，为了减少数值积分的误差，把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似，这就
7、是复化数值积分。,在区间a,b上，取等距节点,又由定积分的区间可加性，有,由此，可以得到相应的复化梯形公式和复化抛物线公式,即,一、复化梯形公式,已知,在每一个小区间上利用梯形公式,得到,令,得到,我们称上式为复化梯形公式.下面分析复化梯形公式的误差。,已知,根据梯形公式的误差,可得,这时,即,如果f(x)C2a,b,则一定存在实数m、M使得,于是，根据连续函数的介值定理可知，存在使得,这时,令,则得到复化梯形公式及其误差,也就是,如果记,上式说明复化梯形公式是收敛的。,利用误差估计式,可以对积分计算进行精度控制，从而确定出需要将积分区间多少等分。例如，如果我们需要将积分值的误差控制在 0 范
8、围内，只需要,则有,解出,例 4.3 用四点复化梯形公式计算,解：四点复化梯形公式就是将区间0，1三等分得到,0,1,而梯形公式的结果为,例 4.4 用复化梯形公式计算积分 应将区间0,1多少等分，才可以使其截断误差不超过,解：根据复化梯形公式的误差,得知,从而,令,于是，只要将区间至少68等分,就可以达到需要的精度要求。,二、复化抛物线公式,已知定积分的抛物线公式及其误差为,如果对于积分,在每个小区间上都采用Simpson公式，则得到复化Simpson公式。,这时由,得到,令,即,其中,这时,由介值定理，若 f(x)C4a,b , 则有,而且误差为,设,有估计式,于是，我们得到复化抛物线公式
9、及其误差为：,这时，做近似计算用：,四点公式(n=3)的节点如：,b,a,x1,x2,做误差限估计用：,最后，给出抛物线公式和复化抛物线公式,1.抛物线公式及其误差,2.复化抛物线公式及其误差,例4-5 试利用函数 的数据表（表4-1）分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算下列积分的近似值。,表4-1 数据表,也就是,解: 两种复化公式分别计算如下：,根据已知点的数据，需要用到九点复化梯形公式：,以上两种算法对区间采用不同等分，计算量大体一致，定积分精确到小数点后七位的值是0.9460831，Simpson公式精度要高一些。,对于复化抛物型公式：,在这里n=4 ,步长,例4-6 利用复
10、化梯形公式和复化Simpson公式分别求下列定积分 ，若要使精度 达到 =10-6 ，问各需将区间0,1多少等分？,解 由于,从而,于是有,由复化梯形公式和复化Simpson公式的误差表示式,得到,根据上面的估计分别取,则只要,可分别解出,输出：积分 的近似值 Sn .,复化Simpson算法,本算法为计算定积分 的近似值的复化Simpson公式,其中,输入： 端点a、b，正整数 n,1 置 h=(b-a)/2n ；,2 置 F0=f(a)+f(b)；,3 对 j=1,2,2n-1 循环执行步4至步5 ；,8 停机。,5 如果 j 是偶数，则 F2=F2+f(x) ;,4 置 x=a+j h；
11、,否则 F1=F1+f(x) ;,6 置 Sn=h(F0+2F2+4F1)/3;,7 输出 Sn；,F1=0；,F2=0；,本节(3)小结,2.复化抛物线公式及其误差,1.复化梯形公式及其误差,3. 程序设计(1). 编写复化梯形公式程序并上机实现。(2). 编写复化Simpson公式程序并上机实现。(3). 分别用两种公式利用如下积分计算值，计算到 3.1416需要将区间0，1多少等分：,4. 练习(1). 由梯形公式及误差推导出复化梯形公式及其误差。(2). 由Simpson公式及误差推导出复化Simpson公式及其误差。(3). 分别用五点梯形公式、五点Simpson公式计算下列积分，并
12、估计误差。,4 Gauss型求积公式,关于数值积分公式,除了用误差来分析其精确度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。为了掌握这一方法，下面先给出代数精度的概念。,定义：如果求积公式,而对于 f (x)=x n+1 不精确成立，即,则称积分公式（4.1）具有n阶代数精度。,即,对于 f (x)=x i (i=0,1, n) 精确成立，,例如，对于Newton-Cotes型求积公式：,当 f(x) 为不超过n次的多项式时，即 f(x)=1,x,x2,. ,xn 时均有 Rnf=0。,对于其误差式,可见Newton-Cotes型求积公式至少具有n阶代数精度。进一步证明可以得出：当n为奇数时，N
13、ewton-Cotes型求积公式的代数精度为n，当n为偶数时，Newton-Cotes型求积公式的代数精度为n+1。,在具有同样计算量的情况下，如果需要进一步提高数值积分的代数精度，下面介绍的Gauss型求积公式就可以实现这一目标。,由前面的讨论知道，具有n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。一般地，若对随机选取的n+1个节点作插值型求积公式也仅有n次代数精度。但是如果我们适当选取求积节点来构造求积公式，就可以提高数值积分的代数精度，这正是Gauss型求积公式的特点。,为了具体给出Gauss型求积公式，需要以下几个方面去掌握：,一、正交多项式二、常见的正交多项式三、Gauss型求积
14、公式的一般理论四、几种常见的Gauss型求积公式,一、正交多项式及其性质,例如：,如果函数(x)满足条件：,1、权函数,则称(x) 为区间a,b上的权函数。,2、正交多项式,对于多项式序列,及权函数,如果：,则称多项式族 gk(x) 在a,b上带权(x) 正交，并称gn(x)为a,b上带权(x) 的 n 次正交多项式。,例如：,令：,则称其为首项系数为一的多项式。,而且 gk*(x)也是正交多项式族。,定理2：n次正交多项式 gn(x) 在a,b内具有n个互异实根。,3. 正交多项式的性质,定理1：正交多项式序列具有递推关系式,定理3: gn(x)与gn+1(x)的根相互隔离，即，如果gn+1
15、(x)的 n+1个根为 x1* , x2 *, , xn *, x n+1 * ,则有,是区间-1,1 上关于权函数 (x)=1 的正交多项式。而且具有性质：,二、常用的正交多项式,1. 勒让德（Legende）多项式,（1）正交性,（2）递推性,2. Chebyshev（契比晓夫）多项式,是区间-1，1上关于权函数 的正交多项式。,（1）正交性,其首项系数为 2n-1 ,具有下面的性质:,（3）Tn(x) 在-1,1上具有n个零点,（2）三项递推关系,这其实很容易由 Tn(x)=cos(n arc cosx) 计算出来,令,则有,3Laguere（拉盖尔）多项式,为区间0,+ 上关于权函数(
16、x)=e -x 的正交多项式。而且 Ln(x) 的首项系数为 (-1)n 。具有性质：,4.Hermite多项式,是区间(-,+)上关于权函数 的正交多项式。而且 Hn(x) 的首项系数为 2n ,具有性质：,三、Gauss型求积公式的一般理论,Newton-Cotes 型求积公式的构造，利用的是等距节点,关于积分,为了得到代数精度更高的积分公式，我们考虑带有权函数的定积分：,代数精度是 n-1,最多是 n.,得到的积分公式：,得到 n-1 次插值多项式及误差：,在积分区间a,b上任取n个插值节点,两端积分得到：,对于带权定积分,记：,下面我们分析这个公式的代数精度。对于误差式：,在上式中去掉
17、这一项，则得近似积分计算公式及误差：,其中fx, x1 ,x2 , , xn 是n阶差商。,如果我们取定f(x) 为次数不超过 2n-1 次的多项式，则由差商的性质知道: fx, x1 ,x2 , , xn 是次数不超过 n-1 次的多项式。,既然 fx, x1 ,x2 , , xn 是次数不超过 n-1 次的多项式，则可以由多项式空间中的一组基线性表示。,n-1 次多项式空间中的基很多，我们选取关于权函数(x)正交的多项式族 gn(x)0n-1作为基函数.这样可以得到：,带入误差式得到：,考虑和式中的每一项积分：,已知,是待定的。,是关于权函数 (x) 正交的多项式族，而 n 次多项式,则可
18、以得到：,这时如果我们选取,这样便得到积分公式的误差,也就是这时的积分公式具有 2n-1 阶代数精度。,说明这时的积分公式,精确成立，即,可知，代数插值的节点 a x1 ,x2 , , xn b正好是正交多项式 gn(x) 的零点。,也就是说对于积分公式,如果我们取插值节点 x1 ,x2 , , xn 为关于权函数 (x) 正交多项式 gn(x) 的零点，则所得到的求积公式具有 2n-1 阶代数精度。,这时称上面的公式为Gauss型求积公式，并称x1 , x2 , , xn 为 Gauss 点。 下面给出构造Gauss型求积公式的步骤。,第三步：求出求积公式的系数：,第一步：求出关于权函数(x
19、) 正交多项式 gn(x) ;,第四步：给出 Gauus 型求积公式并计算积分近似值：,第二步：求出 gn(x) 的 n 个零点： x1 ,x2 , , xn ;,对于积分,构造 Gauss 型求积公式的步骤如下：,Gauss点xk Legendre多项式 的零点。,四 几种常用Gauss型求积公式,1、Gauss-Legendre(勒让德)求积公式,构造Gauss型求积公式除需要求出正交多项式外，还需求出正交多项式的零点和求积系数，当n3 时，这些工作均很困难，下面给出几种常用的Gauss型求积公式.,如果a,b=-1，1, (x)=1, 则有,关于定积分,这时，称Gauss型求积公式为Ga
20、uss-Legendre求积公式。计算公式为：,其实，Gauss-Legendre求积公式中的各阶Gauss点及求积系数已经算出，使用时只需要查表即可，看下表。,Gauss-Legendre求积公式的系数,表4-1 Gauss-Legendre求积公式系数表,例4-7 用具有5次代数精度的Gauss型求积公式计算 。,实际上,x1=-0.7745966692, x2=0, x3=0.7745966692,于是由计算公式 得到：,A1= A3=0.5555555556, A2=0.8888888889,解：具有5次代数精度的Gauss型求积公式就是3点Gauss型求积公式，由表3-1得,可见相同
21、个数节点的求积公式，Gauss型求积公式的精度要高。,权函数(x)=1的积分就是通常遇到的积分，然而Gauss-Legendre求积公式的积分区间为-1，1，而对于更一般的区间a，b上的积分,若采用等距节点 x0=-1, x1=0, x2=1 的Simpson公式，则有,需要作变量替换,得到：,从而，a,b上权函数为(x)1 的Gauss型求积公式为,例4-8 用3点Gauss公式求积分 的近似值。,解：令,得到,相比较，远比3点的 Simpson 公式的结果精确。,2、Gauss-拉盖尔求积公式,积分区间为0，权函数为(x)=e -x 的Gauss型求积公式称为Gauss-Laguerre求
22、积公式，其Gauss点为Laguerre多项式,的零点，Gauss-Laguerre求积公式为,其中,Gauss-Laguerre求积公式的Gauss点和求积系数见表4-2。,表4-2 Gauss-拉盖尔 求积公式 系数表,一般对积分 ，可改写为如下形式,Gauss-Laguerre 求积公式写为,积分区间为（-，+）、权函数为 的Gauss型求积公式称作为Gauss-Hermite求积公式，其Gauss点就是Hermite正交多项式,3、Gauss-Hermite求积公式,的零点。Gauss-Hermite求积公式为,或,其求积系数和余项分别是,其Gauss点及求积系数见表4-3。,表4-3
23、 Gauss-Hermite求积公式的求积系数表,例4-9 分别用两点Gauss型求积公式计算下列积分：,解：由Gauss公式系数、节点表可以求得：,例4-10 用两点Gauss型求积公式计算：,解：先作变换,用两点求积公式，得到：,如果用复化梯形公式计算，需要将0,1区间1024等分。准确值为 0.946083。,本节(4) 问题,1.Gauss型求积公式是如何构造的？为什么n点Gauss 型求积公式具有2n-1阶代数精度？,2.Gauss型求积公式都有哪几种类型？如何查表计算？,3.用两点Gauss 型求积公式计算下列积分,4.实习题,编写Gauss型求积公式计算各种积分。,5 一般Gau
24、ss型求积公式的构造,前面，我们运用正交多项式的根去构造Gauss型求积公式，对于一般权函数(x),要构造关于这个权正交的多项式并不容易，即使求出了相应的正交多项式，求它的根也比较困难。,在这种情况下，可以采用待定系数法，通过解非线性方程组将Gauss型求积公式的系数及节点确定下来。,例4-11 求Gauss型求积公式,解：由于上面的两点公式是Gauss型的，故应具有2n-1=22-1=3 阶代数精度系数。这说明上式对于 f(x)=1、x、x2、x3 精确成立，于是，我们将 f(x)=1、x、x2、x3 逐一代入上式，得到一个非线性方程组：,的系数 A1 、A2 及节点 x1、 x2 。,解此
25、非线性方程组,得到,从而，所求的两点Gauss型求积公式为：,6 数值微分,用函数 y=f(x) 的离散数据,近似的求出函数在节点处的微分值，称作数值微分。,一、Taylor展开法,为求出 y=f(x) 在某点 x0 处的导数值 f (x0) ,可以利用函数在此点以及前后两点的函数值:,通过Taylor展式进行近似计算。,(xi , yi ), i=0,1,2, ,n,这时,得到,这样可以得到一阶向前差商数值微分公式,误差为,这样可以得到一阶向后差商数值微分公式,由,误差也为O(h),再由Taylor展示,得到一阶中心差商数值微分公式,误差为,二阶中心差商数值微分公式为,误差为,例4-12 对
26、于函数 y=f(x) 在如下点的函数值,试分别用一阶向前、向后、中心差商公式计算 ,解：三种公式计算一阶导数值分别为,用二阶中心差商公式计算 .,用二阶中心差分公式计算,上表数据表示的是由函数 f(x)=ex 给出,其准确值为：,可见，用一阶中心差商公式求一阶导数更准确一些。,下面再看另一种求导数的方法。,二、插值法求微商,两边关于 x 求导数，得到,用函数 y=f(x)的离散数据,先求出n次 Lagrange 插值多项式,将节点 xk 带入，并由：,于是，便可以得到函数在节点处一阶导数的近似值,误差为,得到,由,及,对于,可知,可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确,对于插值型数值微商
27、公式,根据插值节点的不同，可以给出不同的计算公式：,1. 一阶两点微商公式( n=1 ),由,及,得到,于是,我们称,为一阶两点微商公式,误差为O(h).,2. 一阶三点微商公式( n=2 ),由,得到,误差均为,3. 二阶三点微商公式( n=2 ),由,得到,误差分别为,总结一下，两点、三点数值微商公式：,一阶两点微商公式,一阶三点微商公式,二阶三点微商公式,例4-13 对于函数y=f(x)在如下点的函数值,试分别用两点、三点数值微分公式计算x=2.7 处函数的一、二阶导数值。,解：h=0.2 时,或者,或者,h=0.1 时,或者,或者,以上导数值均求的是函数f (x)=ex 在x=2.7处的一、二阶导数近似值，真值为：,本节(6) 问 题,一阶两点微商公式,一阶三点微商公式,二阶三点微商公式,练 习,已知y=f(x)的一组离散值,1.试用两点公式求出f(x)在三点0.8、1.0、1.2的一阶导数。,2.试用三点公式求出f(x)在三点0.8、1.0、1.2的一阶导数。,3.试用三点公式求出f(x)在三点0.8、1.0、1.2的二阶导数。,第四章 数值微积分总结,Newton-Cotes型求积公式 1. 梯形公式 2. 抛物线公式 3. 梯形公式、抛物线公式的误差二. 复化型求积公式三. Gauss型求积公式四. 数值微分,
