1、18.1大话勾股定理,版本：人教版年级：八年级（下）,在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”,这是正常人的胳膊和小臂吗？,1.勾股定理与人类文明,时间：相传公元前550年（2500多年前）人物：毕达哥拉斯事件:毕达哥拉斯有一次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言毕达哥拉斯却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，这位善于观察和理解的数学家不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系
2、，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面，就这样毕达哥拉斯也发现了勾股定理,毕达哥拉斯(公元前572-前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。,A、B、C的面积有什么关系？,直角三角形三边有什么关系？,图11,9,9,9,9,18,18,A的面积
3、+ B的面积= C的面积,图12,4,4,4,4,8,8,A的面积+ B的面积= C的面积,因此可知等腰直角三角形有这样的性质：,对于任意直角三角形都有这样的性质吗？,两直边的平方和等于斜边的平方,看下图,图1,图2,4,9,13,9,25,34,sA+sB=sC,两直角边的平方和等于斜边的平方,a,b,c,c2=a2 + b2,结论变形,毕达哥拉斯发现了勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”勾股定理流传最广的证明载于欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）的几何原本中，欧几里德在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现
4、的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成这张邮票也是为了纪念勾股定理这个伟大的发现,1955年希腊发行的印有勾股定理图案的 邮票,百牛定理,美丽的勾股树,勾股定理是初等几何中的一个基本定理，是人类最伟大的十个科学发现之王，西方国家称之为“毕达哥拉斯定理”，但远在毕达哥拉斯（公元前580或568公元前501或500）出生之前，这一定理早已为人们利用，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。希腊著名数学家毕达哥拉斯曾对本定理有所研究，故西方国家均称此定理为毕达哥拉斯定理。我国以前也叫“毕达哥拉
5、斯定理”，上世纪50年代曾开展关于这个定理命名问题的讨论，最后确定叫“勾股定理”。3500年以前，巴比伦人就知道三边长为下列各数的一些三角形为直角三角形：120，119，169； 3456，3367，4825； 4800，4601，6649； 13500，12709，18541； 72，65，97； 360，319，481；2700，2291，3541； 960，799，1249；然而，当时为什么列出这些三角形，至今还是个谜。, a2 + b2 = c2,a2,b2,a2,c2,传说中毕达哥拉斯的证法,1.勾股定理与人类文明,时间：相传公元前1000年（3000多年前）人物：商高事件:商高是公
6、元前十一世纪的西周人在中国古代的数学著作周髀算经中记录着商高同周公的一段对话商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以在我国人们就把这个定理叫作 “商高定理”关于勾股定理的发现，周髀算经上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的,1.勾股定理与人类文明,时间：3世纪（3000多年前）人物：赵爽事件:我国对勾股定理的证明采取的是割
7、补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的勾股圆方图注在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的“弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形称为“中黄实”，以弦为边的大正方形叫“弦实”，所以，如果以a、b、c分别表示勾、股、弦之长，,赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。,赵爽弦图证明法,朱实,朱实,朱实,C,朱实,C2=,(2,ab）,+,(a-b)2,a2+b2,=,2 ,1.勾股定理与人类文明,时间： 1876年人物：美国第二十任总统伽菲尔德事件:学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄今为
8、止，关于勾股定理的证明方法已有500余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的事情的经过是这样的：1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说
9、：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法,美国第二十任总统伽菲尔德,总统巧证勾股定理,2.勾股定理在人类数学发展史的地位,勾股定理是欧氏平面几何的一个核心结果，是三角
10、学的出发点，开普勒（kepler）称“几何学两个宝藏”：一个是勾股定理，另一个是黄金分割（golden section）.中国著名数学家华罗庚曾建议用用一幅反映勾股定理的数学形关系图来作为与“外星人”交谈的语言。就勾股定理本身而已言，它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系，从而将原来对几何学的感性认识精确化，真正意义的几何学才可以确立，尤其是其中体现出来的“数形统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义，勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何及三角学的建立，使数学的几何与代数两大门类结合起来，为数学更进一步的发展开拓了宽广的道路，勾股定理以及处理数据的数学方法，这种思考模式和现代
11、天体物理学思考模式一致。第一宇宙定律就是通过过勾股定理的描述来说明影响人们思维方法的平直时空观。,3.勾股定理的三种叙述形式,（1）在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形。这是欧几里得（Euclid,约公元前330前275）几何原本卷I第47命题。他从纯粹的几何图形之间的关系，阐述勾股定理，即“将两个直角边上的正方形剖分为若干块，可拼凑成斜边上的大正方表”。这种阐述完全不涉及到数。欧几里得从来没有把面积看作一个数来加以运算，面积“相等”，是“拼补相等”。既然不涉及到数，也就无所谓“和”（相加），故命题的原文中没有“和”的字样。（2）直角三角形直角边上的两个正方形面积之和，等于斜边上
12、正方形的面积。图形的面积是一个数，定理指出三个数之间的关系。（3）直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和。长度是数，数的平方还是数，定理讲的是数与数之间的关系，并不考虑数的平方的几何意义。从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。,4.勾股数组与不定方程,如果三个正整数分别是某个直角三角形的三边长，这样的三个正整数就叫做勾股数组，也就是说满足不定方程 的每一组正整数解是勾股数组。周髀算经记载，我国在公元前21至公元前11世纪，已发现3、4、5是一组勾股数组。在九章算术中还提到5、12、13；7、24、25；8、15、17；20、21、29等等都是勾股数组。不少的数学家找到过勾股数组的表达式。,上述各种表达式都不能表达所有的勾股数组。后来，希腊最伟大的代数学家丢番都发现了勾股数组的一般表达式：利用这个表达式就可写出所有的勾股数组。,毕哥达拉斯,伯努利,欧几里得,常见的勾股数,简单应用,1在RtABC中，C=90，若a=5，b=12，则c=_；若a=8，c=10，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则SABC=_。,5 或,1、已知：RtBC中，AB，AC,则BC的长为 .,试一试:,注：在应用勾股定理时，要结合图形具体处理，不能机械的认为c所对的角是直角或c边必是斜边,
