1、,电磁感应,高中物理竞赛系列讲座,王玉水,物理竞赛大纲规定的考试内容：法拉第电磁感应定律，Lenz定律，感应电场，自感系数和互感等。从考点内容看，电磁感应所涉及到的知识点与常规教学基本相同，但对学生能力的要求较高，同时对数学的要求和物理方法的应用都很高，希望同学们对于一些经典问题有全面的理解。,1.电磁感应现象,当回路磁通量发生变化时在回路中产生电流的现象称为电磁感应现象。产生的电流叫感应电流。,磁通量的变化量,感生电动势,动生电动势交流发电机,内容：导体回路中的感应电动势的大小与穿过导体回路的磁通量的变化率成正比.,在 SI 制中 k =1,确定回路的绕行方向，,2.法拉第电磁感应定律,感应
2、电流和感应电量,感应电流的大小与 随时间变化率有关,感应电量只与回路中磁通量的变化量有关，与磁通量变化率无关。,3.动生电动势,（1）它既可以表示是瞬时电动势，也可以表示平均电动势；（2）若速度v的方向与磁场B方向不垂直，则动生电动势=Blvsin（3）若磁场不是匀强磁场，或切割磁感线的导体杆上各点速度不相等，可以用微元法处理， （4）这里的速度v实际上导体相对于磁场的做切割磁感线的运动速度。,例、长为l直导体在磁场B中做匀角速的转动，已知转轴通过导体的端点，角速度为，若磁场沿径向的变化规律为B=kr2，其中k为常数，求动生电动势。,（3）定轴转动的导体杆切割磁感线问题的灵活应用，特别是对非匀
3、强磁场问题。尤其是法拉第圆盘发电机（或电动机）,（2）含源问题，应用基尔霍夫定律,（1）含电容器问题，应用微元（微积分）叠加处理,（4）功、功率和能量问题，电路产生的电能等于克服安培力做功,（5）数学基础：微元法（微积分）的应用,4.动生电动势的相关应用,1、如图所示，电源的电动势为U，电容器的电容为 C，S 是单刀双掷开关。MN、PQ 是两根位于同一水平面的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计。两导轨间距为l，导轨处磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。l1 和 l2 是两根横放在导轨上的导体小棒，它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不
4、计摩擦。两小棒的电阻相同，质量分别为 m1和m2，且m1m2，开始时两根小棒均静止在导轨上，现将开关S先接通1，然后接通2。求：（1）两根小棒最终速度大小；,（1）当电键S由1扳向2后，电容器对闭合回路放电，使两个小棒向右作加速运动。初始时分两小棒的安培力相同，但由于质量不等，故速度不等，最终会导致两小棒以相同速度运动，并使两端电压等于电容器两端电压，此时电流等于零，两小棒作匀速运动。对于中间过程的任一时刻，设l1电流为i1，l2电流为i2，安培力分别为F1=Bli1和F2=Bli2，由动量定理，得,由于两棒开始时刻静止，而最终速度又等于v，则,两式相加等于,任何时刻，通过l1和l2的电流的代
5、数和等于电容器的放电电流i，即有,其中Q为初始时刻电容器所带电量，q为最终速度时电容器所带电量,由于,最终有,（2）在整个过程中的焦耳热损耗。,由能量关系，得,2、如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O上，另一端A可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为圆环处于磁感应强度大小为B=kr、方向竖直向上的恒定磁场中，式中k为大于零的常量，r为场点到轴线的距离金属细圆柱与圆环用导线ed连接不计棒与轴及与细圆
6、柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度匀速转动,分析：哪些是常量？哪些是变量？,对于在匀强磁场中，做定轴转动的导体杆切割磁感线，可以简单地用平均速度求解，现在还可以吗？,下面用积分方法求做,长度微元dx的动生电动势d =Bvdx=kx2dx,故总电动势大小为,求安培力矩再次用到积分方法,利用外力力矩等于安培力矩与摩擦力矩之和即得,本题也可以由能量关系计算，外力的功率等于电功率与克服摩擦力功率之和,3、如图所示，OO为一固定不动的半径为a1的圆柱形金属轴，其电阻可忽略不计。一个内半径为a1、外半径为a2、厚
7、度为h（h0).求任意时刻小环对大圆环的作用力的表达式。,4.电子感应加速器,（1）原理：电子感应加速器（betatron）是应用感生电场加速电子的装置。在电磁铁的两极之间安置一个环形真空室，当用交变电流激励电磁铁时，在环形室内就会感生出很强的、同心环状的感生电场。用电子枪将电子注入环形室，电子在有旋电场的作用下被加速，并在Lorentz力的作用下，沿圆形轨道运动。,（2）两个基本磁场：加速B1、旋转B2,练习、一个电子感应加速器的简化模型如图所示，在半径为r0的区域内有磁场B1，在rr0的外环型区域内有磁场B2，欲使带正电荷q的粒子能在环形区域内沿半径为r=r0的圆形轨道上不断被加速，试分析
8、B1、B2的时间变化率满足什么关系？,（3）交变励磁场的四分之一加速,实际上，若交流电的周期为50Hz，则在磁场变化的第一个四分之一周期（约5ms的时间）内，电子就能在感生电场的作用下，在圆形轨道上经历回旋数十万圈的持续加速，从而获得足够高的能量，并在第一个四分之一周期结束时被引出加速器至靶室。,6.综合问题例解,例、有一个匀质细导线圆环，总电阻为R，半径为a，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁场，磁场随时间线性变化，其变化率为k，圆环上对称分布A、D、C三点，电流表与A、C相连接，如图所示，若电流表的内阻为r，求通过电流表的电流强度。,总电动势,1、电荷Q均匀分布在均匀电介质的圆盘上，圆盘放入
9、均匀的外磁场中，磁感应强度为B，方向垂直于盘面。圆盘质量为m，它可以绕过圆盘中心垂直于盘面的固定轴的自由转动。如果切断外磁场，原来静止的圆盘将以多大的角速度开始转动？,2、如图所示，均匀磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化，B=B0kt（k为大于0的常数）。现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示位置，环面处于图中纸面内。圆环的半径为R，电阻为r，相交点的电接触良好。两个环的接触点与间的劣弧对圆心的张角为60求t=t0时，每个环所受的均匀磁场的作用力，不考虑感应电流之间的作用。,提示1：在任意时刻t两环中的感应电流的分布如何？,I1,I1,I2,I2,提示2：此题关键自然
10、是要求两个感应电流的大小，如何求？,提示3：求两个感应电流的大小自然要用基尔霍夫定律，方程如何列？电动势如何求？,提示4：电流终于求出来了，如何求作用力呢？先对其中一环，例如左环做受力分析吧，可是这是圆环而不是直导线啊，安培力如何求呢？想一想,3、一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为a1、a2，厚度可以忽略两个表面都带有电荷，电荷面密度随离开环心距离r变化的规律均为 =0/r2，0为已知常量。薄圆环绕通过环心垂直环面的轴沿逆时针方向以大小不变的角加速度减速转动，t = 0时刻的角速度为0将一半径为a0 (a00的一侧，存在匀强磁场B ，磁场方向垂直于oxy平面向里。在x以速度v（
11、19）做匀速直线运动,说明：此题也可以用广义势能来处理计算谐振子的振幅，由,（1）,（2）,3、一个细的超导圆环质量m、半径r、电感L，放在竖直的圆柱形磁棒上面，如图所示圆环与棒有同一对称轴在圆环周围的圆柱形磁棒的磁场在以圆环中心为坐标原点的Oxy坐标中可近似地表示为By=B0（1y）和 Bx=B0x，其中B0、为常量初始时，圆环中没有电流，当它被放开后开始向下运动且保持它的轴仍为竖直，试确定圆环的运动并求圆环中的电流,初始时，圆环中没有电流，环中磁通量 :,圆环开始向下运动时,变化,感应电流I的磁通量,环中磁通总量 :,超导线圈,环受安培力为 :,其中,环面过平衡位置时 :,环所在处磁场,F
12、m,Fm,mg,环面在平衡位置下y时 :,续解,圆环在y 轴上做简谐运动,周期为:,圆环中最大电流为:,圆环中电流随时间变化规律为:,4、如图所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直初始时刻， 金属杆ab和cd分别位于x = x0和x = 0处假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L,今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速v0设导轨足够长，x0也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距，
13、因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的。杆与导轨之间摩擦可不计求任意时刻两杆的位置xab和xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变化关系。,解：设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势,当回路中的电流i随时间的变化率为i/t时，回路中的自感电动势,（2）,由于回路没有电阻，有 E+EL=0,金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀
14、速直线运动设系统质心的速度为VC，有,（3）,（4）,现取一新的参考系S，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O，取坐标轴Ox与Ox轴平行设相对S系，金属杆ab的速度为u1，cd杆的速度为u2，则有,（5）,（6）,因相对S系，两杆的总动量为零，即有,（7）,在S系中，ab杆的速度 为,（9）,由于初始条件，,（13）,ab杆受到的安培力,做变量代换,（14）,（15）,ab杆做 的简谐运动，其运动方程为,（16）,（17）,初始条件：t=0,（18）,（19）,因此，ab杆运动方程的特解,（20）,（21）,在S系中，cd杆的运动方程显然为,（22）,回到S系中，ab、cd杆的运动方程为,（23）,（24）,回路中的电流为,（25）,谢谢！,
