1、1,第一节 定积分的概念与性质,定积分问题引例,定积分的定义和几何意义,小结,定积分的性质,*,*,2,1.曲边梯形的面积,求由连续曲线,一、定积分问题引例,矩形面积,梯形面积,3,用矩形面积,梯形面积,(五个小矩形),(十个小矩形),思想,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边,近似取代曲边梯形面积,4,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,5,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,6,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,7,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的
2、关系,8,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,9,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,10,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,11,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,12,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,13,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,14,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,15,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面
3、积的关系,16,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,17,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,18,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,19,观察下列演示过程, 注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,20,采取下列四个步骤来求面积A.,(1) 分割,(2) 取近似,长度为,为高的小矩形,面积近似代替,在每个小区间,21,(3) 求和,曲边梯形面积A的近似值,(4) 求极限,则曲边梯形的面积:,22,2.求变速直线运动的路程,思想,以不变代变,设某物体作直线运动,已知速度,是时间间隔
4、,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,思路,把整段时间分割成若干小段,每小段上,速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便,得到路程的近似值,最后通过对时间的无限,细分过程求得路程的精确值,23,(1) 分割,(3) 求和,(4) 取极限,路程的精确值,(2) 取近似,表示在时间区间,内走过的路程.,某时刻的速度,24,二、定积分的定义,设函数f (x)在a,b上有界,在a,b中任意插入,1.定义,若干个分点,把区间a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,(1),(2),(3),(4),若当,上述和式的极限存在,且此极限值与,的分法无关
5、,与点,的取法无关,则,25,被积函数,被积表达式,记为,积分和,此极限为函数f(x)在区间a,b上的,定积分.,积分下限,积分上限,积分变量,a,b积分区间,称函数f (x)在区间a,b上是可积的,并称,26,注意:,积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关.,定义中区间a,b的分法和,的取法是任意的.,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.,(2),(1),27,(2),(3),关于函数的可积性,可积.,且只有有限个间,可积.,断点,充分条件,(1),有界.,必要条件,28,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,2. 几何意义,29,几何意义,定积分 是由,轴所围各
6、,封闭部分 “有号面积” 的代数和.,更准确地说 ,30,例,解,物理意义,t = b所经过的路程 s.,作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻,定积分,表示以变速,31,对定积分的补充规定,说明,三、定积分的性质,在下面的性质中, 假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,32,证,(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况),性质1,33,证,性质2,性质1和性质2称为,线性性质.,34,补充,例,(定积分对于积分区间具有可加性),则,性质3,假设,的相对位置如何,上式总成立.,不论,35,从几何意义看,,矩形的面积.,证,由定积分定义知,可表示长为b - a宽为1的,性质4,36,证
7、,性质5,如果在区间,则,37,解,于是,比较积分值,和,的大小.,例,38,性质5的推论1,证,如果在区间,则,于是,性质5,如果在区间,则,39,例 比较积分值,解,设,则,于是因f 单调增,,故,即,的大小.,40,证,说明,性质5的推论2,性质5,如果在区间,则,可积性是显然的.,由推论1,41,证,(此性质可用于估计积分值的大致范围),性质6,分别是函数,最大值及最小值.,则,42,解,估计积分,例,43,解,估计积分,例,44,证,由闭区间上连续函数的介值定理:,性质7(定积分中值定理),如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使得,积分中值公式,至少存在一点,使,即,45,积分中值公式的几何解释,至少存在一点,在区间,使得以区间,为底边,以曲线,为曲边的曲边梯形的,面积,等于同一底边而高为,的一个矩形的面积.,46,3. 定积分的性质,(注意估值性质),4. 典型问题,(1) 估计积分值;,(2) 不计算定积分比较积分大小.,四、小结,1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.,2. 定积分的思想和方法:,以直代曲、以匀代变.,四步曲:,分割、,取近似、,求和、,取极限.,思想,方法,47,作业,习题 7.1(230页),1.(1)(3) 4.(2)(4)(6) 5.(1) 6.(1),