1、6.2等差数列及其前n项和,1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表示.数学语言表示为(nN+),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中A叫做a,b的.(3)等差数列的通项公式:an=,可推广为an=am+(n-m)d.,-2-,知识梳理,考点自测,第2项,差,同一个常数,公差,an+1-an=d,等差中项,a1+(n-1)d,-3-,知识梳理,考点自测,2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的
2、形式.当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.(2018福建泉州期末,理3)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2-a1=2,S5-S4=9,则a50=()A.99B.101C.2 500D.9245,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017全国,理4)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.8,答案,
3、解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.在等差数列an中,a1=-2 008,其前n项和为Sn,若 ,则S2 018的值等于.,答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)(2017辽宁大连一模,理5)已知数列an满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+|a6|=()A.9B.15C.18D.30(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6,答案: (1)C(2)C,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)an+1-an=2,a1=-5,数列an是首
4、项为-5,公差为2的等差数列.an=-5+2(n-1)=2n-7,当n3时,|an|=-an;当n4时,|an|=an.则|a1|+|a2|+|a6|=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=62-66-2(32-63)=18.(2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,数列an为等差数列,d=am+1-am=1,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考求等差数列基本量的一般方法是什么?解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后
5、由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)(2018湖北黄冈期末,理3)设等差数列an的前n项和为Sn,且S13=52,则a4+a8+a9=()A.8B.12C.16D.20(2)(2017福建厦门一模)已知an是等差数列,其前n项和为Sn,
6、a1+a3+a5=15,a2+a4+a6=0,则Sn的最大值为.,答案,解析,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断或证明一个数列为等差数列的基本方法有哪些?解题心得1.等差数列的四种判断方法(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)an是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN+)an是等差数列.(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列.(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列.2.若证明一个数列不是等差数列,则只需证明存在连续三项不成等差数列即可.,-18-,考
7、点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列an的通项公式;,答案,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向1等差数列项的性质的应用例3(1)(2017福建龙岩一模)在等差数列an中,a3,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则an的前9项和等于()A.-18B.9C.18D.36(2)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是.思考如何快捷地求出结果?,答案,解析,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2等差数列前n项和的性质的应
8、用例4在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为.思考本例题应用什么性质求解比较简便?,答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列Sm, -Sm,S3m- ,也是等差数列.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)已知Sn表示等差数列an的前n项和,且 等于()(2)(2017山西晋中一模,理17改编)已知等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14(m2,且mN+),则m的值为.,答案:
9、(1)A(2)5,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5(2017北京海淀模拟)等差数列an中,设Sn为其前n项和,且a10,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大?,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,四由S3=S11,可得2a1+13d=0,即(a1+6d)+(a1+7d)=0,故a7+a8=0,又由a10,S3=S11可知d0,a80,所以当n=7时,Sn最大.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法?解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法:(
10、1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为多少?,答案,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.等差数列的判断方法(1)定义法;(2)等差中项法;(3)利用通项公式判断;(4)利用前n项和公式判断.2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第2项起
11、成等差数列.3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以先考虑把已知条件都化归为a1和d等基本量的关系,再通过建立方程(组)求解.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数.2.注意利用“an-an-1=d”时加上条件“n2”;否则,当n=1时,a0无定义.,-31-,思想方法整体思想在等差数列中的应用整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等.在等差数列中,当要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入.,-32-,典例1已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a4+a5=12,则S7的值为.答案:28解析:设数列an的首项为a1,公差为d.a3+a5=2a4,由a3+a4+a5=12得3a4=12,即a4=4.,-33-,典例2在等差数列an中,其前n项和为Sn.已知Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=.答案:-(m+n),
