1、基础知识一、函数图象的三大基本问题1作图：函数图象是函数关系的直观表达形式，是研究函数的重要工具，是解决很多函数问题的有力武器作函数图象有两种基本方法：描点法：其步骤是： (尤其注意特殊点，零点，最大值最小值，与坐标轴的交点)、 、 图象变换法,列表,描点,连线,2识图：对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系3用图：函数的图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法,二、图象变换的四种形式1
2、平移变换有：水平平移：yf(xa)(a0)的图象，可由yf(x)的图象向 平移 个单位而得到竖直平移：yf(x)b(b0)的图象，可由yf(x)的图象向 平移 个单位而得到,左或向右,a,上或向下,b,2对称变换主要有：yf(x)与yf(x)，yf(x)与yf(x)，yf(x)与yf(x)，yf1(x)与yf(x)，每组中两个函数图象分别关于 、 、 、 对称；若对定义域内的一切x均有f(xm)f(mx)，则yf(x)的图象关于 对称；yf(x)与y2bf(2ax)关于 成中心对称,y轴,x轴,原点,直线yx,直线xm,点(a，b),3伸缩变换主要有：yaf(x)(a0)的图象，可将yf(x)
3、的图象上每点的纵坐标伸(a1时)缩(a0)的图象，可将yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)到原来的 .,a,4翻折变换主要有：y|f(x)|，作出yf(x)的图象，将图象位于 的部分以 为对称轴翻折到 ；yf(|x|)，作出yf(x)在 右边的部分图象,以 为对称轴将其翻折到左边得yf(|x|)在 左边的部分的图象,x轴下方,x轴,上方,y轴,y轴,y轴,三、图象对称性的证明及常见结论1图象对称性的证明证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上证明曲线C1与C2的对称性，即要证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上，反之亦然,
4、2有关结论若f(ax)f(bx)，xR恒成立，则yf(x)的图象关于x 成轴对称图形；函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x (ba)对称；若函数f(x)关于xm及xn对称，则f(x)是周期函数，且 是它的一个周期；若f(xa) 对xR恒成立，则f(x)是周期函数，且 是它的一个周期,2|mn|,T4a,易错知识一、函数的平移变换1把yf(3x)的图象向_平移_个单位得到yf(3x1)图象答案：右,二、函数的伸缩变换2将函数ylog3(x1)的图象上各点的横坐标缩小到原来的 ，再向右平移半个单位，所得图象的解析式为_答案：ylog3(2x2),三、函数的对称变换对于函数y|f(x)
5、|与yf(|x|)一定要区分开来，前者将yf(x)处于x轴下方的图象，翻折到x轴上方，后者将yf(x)图象y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y0.比如y|sinx|与ysin|x|.,四、函数的对称性与周期性易混若函数yf(x)满足下列条件，则函数具有的性质为：f(x)f(ax) ，则yf(x)关于x 对称；f(x)f(ax) ，则yf(x)以 为周期；f(x)f(ax) ，则yf(x)关于点( )对称；f(x)f(ax) ，则yf(x)以 为周期,a,2a,3设函数yf(x)定义在实数集上，则函数yf(x1)与yf(1x)的图象关于()A直线y0对称B直线x0对称C直
6、线y1对称 D直线x1对称解析：作为一选择题可采用如下两种解法：常规求解法和特殊函数法,常规求解法：因为yf(x)，xR，而f(x1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1x)f(x1)的图象是f(x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(x)的图象是关于y轴(即直线x0)对称，因此，f(x1)与f(x1)的图象关于直线x1对称，故选D.特殊函数法：令f(x)x，则f(x1)x1，f(1x)1x，两者图象关于x1对称，故否定A、B、C，选D.,失分警示：因为函数是定义在实数集上且f(x1)f(1x)，所以函数yf(x)的图象关于直线x0对称，选B.这里的错误主要是
7、把两个不同的对称问题混为一谈，即对称问题中有一结论：设函数yf(x)定义在实数集上，且f(ax)f(ax)，则函数f(x)关于直线xa对称这个结论只对于一个函数而言，而本题是关于两个不同函数的对称问题，若套用这一结论，必然会得到一个错误的答案答案：D,回归教材1(课本P1017题改编)函数y1 的图象是()答案：B,2(2009成都诊断)把函数ylnx的图象按向量a(2,3)平移得到yf(x)的图象，则f(x)()Aln(x2)3Bln(x2)3Cln(x2)3 Dln(x2)3答案：C,3(2009北京，4)为了得到函数ylg 的图象，只需把函数ylgx的图象上所有的点()A向左平移3个单位
8、长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：由ylg 得ylg(x3)1，由ylgx图象上所有的点向左平移3个单位，得ylg(x3)的图象，再向下平移1个单位得ylg(x3)1的图象故选C.答案：C,4(2008全国理，3)函数f(x) x的图象关于()Ay轴对称B直线yx对称C坐标原点对称D直线yx对称解析：f(x) x，f(x) x( x)f(x)f(x)是一个奇函数f(x)的图象关于原点对称答案：C,5(2009江南十校)已知f(x)ex，则函数g(x)|f1(
9、1x)|的大致图象是()答案：D,【例1】作出下列函数的大致图象：(1)y ；(2)y ；(3)y|log2x1|；(4)y2|x1|.思路点拨首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数，然后由基本初等函数图象变换得到,解析(1)y ，利用二次函数的图象作出其图象，如图.(2)因y1 ，先作出y 的图象，将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y 的图象，如图.,(3)先作出ylog2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上及x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y|log2x1|的图象，如图.(4)先作出y2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右
10、边的图象关于y轴对称的图象，即得y2|x|的图象，再将y2|x|的图象向右平移一个单位，即得y2|x1|的图象，如图.,方法技巧已知函数解析式研究函数图象问题，主要是将解析式进行恰当的化简，然后与一些熟知函数的图象相联系，通过各种图象变换得到要求的函数图象，此过程中，要善于发现函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)，并用于作图中温馨提示本题(2)、(3)、(4)在作平移变换时易在平移的方向上出错,作出下列函数的大致图象：(1)y22x；,解析：(1)作函数y2x的图象关于x轴对称的图象得到y2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y22x的图象如图1；,(2)因为ylog 3(x2)log3
11、3(x2)log3(x2)1.所以可以先将函数ylog3x的图象向左平移2个单位，可得ylog3(x2)的图象，再作图象关于x轴的对称图象，得ylog3(x2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得ylog3(x2)1的图象，即为ylog 3(x2)的图象如图2；,(3)作ylog x的图象关于y轴对称的图象，得ylog (x)的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y|log (x)|的图象，如图3.,【例2】函数yf(x)与函数yg(x)的图象如图则函数yf(x)g(x)的图象可能是(),解析从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B
12、.又x0时，g(x)为增函数且为正值，f(x)也是增函数，故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x 时，f(x)0，则f( )g( )必等于0，排除C、D.或注意到x0(从小于0趋向于0)，f(x)g(x)，也可排除C、D.答案A,反思归纳要敏锐地从所给图象中找出诸如对称性、零点、升降趋势等决定函数走势的因素，进而结合选择填空题，作出合理取舍,(2007上海春，14)下列四个函数中，图象如下图所示的只能是()AyxlgxByxlgxCyxlgx Dyxlgx,解析：特殊值法：当x1时，由图象知y0，而C、D中y0，而A中y lg 0且a1)的图象关于()A直线yx对称B
13、直线yx1对称C直线yx1对称 D直线yx1对称解析yax与ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称又yax1与yloga(x1)分别是由yax与ylogax的图象向左平移1个单位而得到，yax1与yloga(x1)的图象关于直线yx1对称故选C.答案C,(2)(2007浙江九校联考)如果函数f(x1)是偶函数，那么函数yf(2x)的图象的一条对称轴是直线()Ax1 Bx1Cx Dx解析yf(x1)右移一个单位得yf(x)的图象因此，yf(x)关于x1对称，yf(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，得yf(2x)的图象，因此对称轴为x ，故选D.答案D,(2009辽宁，8
14、)将函数y2x1的图象按向量a平移得到函数y2x1的图象，则()Aa(1，1) Ba(1，1)Ca(1,1) Da(1,1)解析：y2x1向下平移1个单位，得y2x，由y2x向左平移1个单位得y2x1.故向量a(1，1)答案：A,(2009山东，4)设函数f(x)|x1|xa|的图象关于直线x1对称，则a的值为()A3B2 C1D1解析：方法1：由题意可得对于xR，f(x1)f(1x)恒成立，即|x2|x1a|x2|x1a|，|x2|x1a|x2|x1a|，1a2，得a3.故选A.,方法2：利用绝对值的几何意义，知f(x)是点x到1、a的距离之和，由于关于x1对称，因此，1与a关于x1对称，所
15、以a3.答案：A,【例4】(2007沪，16)设定义域为R的函数f(x) ，则关于x的方程f 2(x)bf(x)c0有7个不同实数解的充要条件是 ()Ab0 Bb0且c0Cb0，结合图象，此时有4个根，f(x)0有根为0,1,2.共7个答案C,f(x)是定义在区间c，c上的奇函数，其图象如下图所示令g(x)af(x)b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是(),A若a0，则函数g(x)的图象关于原点对称B若a1,0b2，则方程g(x)0有大于2的实根C若a2，b0，则函数g(x)的图象关于y轴对称D若a0，b2，则方程g(x)0有三个实根命题意图：本题主要考查函数图象、方程等综合知识的运用能力
16、分析：认真读图，从图中寻找突破口,解析：解法一：用淘汰法，当a0时，g(x)af(x)b是非奇非偶函数，不关于原点对称，淘汰A.当a2，b0时，g(x)2f(x)是奇函数，不关于y轴对称，淘汰C.当a0，b2时，因为g(x)af(x)baf(x)2，当g(x)0有af(x)20，f(x) ，从图中可以看到，当2 2时，f(x) 才有三个实根，所以g(x)0也不一定有三个实根，淘汰D.故选B.,解法二：当a1,00，g(c)f(c)b2b0，所以当x(2，c)，必有g(x)0，故B正确答案：B总结评述：本题属于读图题型解答读图题型的思维要点是：仔细观察图象所提供的一切信息，并和有关知识结合起来，全面判断与分析上述解法一为淘汰法；解法二为直接法，两法均属于解选择题的通法,1作图要准确、要抓住关键点：最高、低点，与坐标轴的交点、极值点等2当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注意数形结合的数学思想方法的运用,请同学们认真完成课后强化作业,
