1、立体几何的向量方法 综合应用,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA/平面EDB(2)求证：PB平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,例 题 剖 析,小结1,小结2,小结3,A,B,C,D,P,E,F,Y,(2)（解法一）：如图所示建立空间直角坐标系D-XYZ, 设DC=1，则P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2),如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于
2、点F.(2)求证：PB平面EFD,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(2)求证：PB平面EFD,(2)解法二：如图所示建立空间直角坐标系D-XYZ, 设DC=1，则P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,1/2,1/2),A,B,C,D,P,E,F,D,E,F,P,B,C,又E(0,1/2,1/2)F（1/3,1/3,2/3）,A,B,C,D,P,E,F,X,Z,B,C,Y,(3)求二面角C-PB-D的大小。,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,(3)求二面角C-PB-D的大小。,B,C,Y,（
3、其中由(2)知PB平面EFD）,小 试 牛 刀,小结4,方法一：,方法二：,a,如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 、 、 ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 ，且 .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？,合力,答案,合作探究,坐标系,1、立体几何中的向量方法的“三部曲”：,用空间向量表示立体图形中的点、直线、平面等元素,2、解决立体几何问题常用方法：,综合法,向量法,坐标法,这节课你学到了什么,总结,l,求平面法向量的方法和步骤：,（4）解方程组，另其中一个变量等于一个特殊值，再代入方程求出其它变量，即得一个
4、法向量。,例1,l,例1,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为其中AB,三、二面角的平面角,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，则二面角 的大小 ,若二面角 的大小为 , 则,法向量法,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角.即“同进同出互补，一进一出相等”,或,三、二面角的平面角,“同进同出互补”,例1,“同进同出互补”,例1,四、异面直线成角,l,m,l,m,(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a a, b b,则a , b 所夹的锐角或直角叫a与b所成的角.,练习,一、用向量解决如下问题：,1、平行和垂直2、角度,二、向量的“数”和“形”运算,三、向量解决立体几何的“三部曲”,用空间向量表示立体图形中的点、直线、平面等元素,进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系以及它们之间的距离和夹角。,把运算结果“翻译”成相应的几何意义。,谢谢合作再见,
