1、第三章空间向量与立体几何,3.1空间向量及其运算31.4空间向量的正交分解及其坐标表示,1.了解空间向量的正交分解的含义2掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题3掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.,新 知 视 界1空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.,2基底的概念如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量组成的集合就是p|pxaybzc，x、y、zR这个集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把a，b，c叫做空间的一个基底a、b、c叫做基向量空间任何三个不共面的向
2、量都可构成空间的一个基底,3空间向量的正交分解及其坐标表示设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为单位正交基底，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么，对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，,2向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一吗？提示：惟一在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变,尝 试 应 用1设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：a，b，c为空间的一个基底，则命题p是命题q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C
3、充要条件 D既不充分也不必要条件,解析：当非零向量a，b，c不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底，当a，b，c为基底时，一定有a，b，c为非零向量答案：B,2已知a，b，c是空间的一个基底，则可以和向量pab，qab构成基底的向量是()Aa BbCa2b Da2c,答案：D,3设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，则向量a3i2jk，b2i4j2k的坐标分别是_解析：i，j，k是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a(3,2，1)，b(2,4,2)答案：(3,2，1)，(2,4,2),解析：如图1，G为ABC重心，E为AB中点，,答案：3,典 例 精 析类型一基底的概念例1设
4、xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一组基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc，其中可以作为空间一组基底的向量组有()A1个B2个C3个 D4个,分析能否作为空间的一组基底，即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面，由于a，b，c是不共面向量，所以可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直观判断,答案C,点评(1)充分利用一些常见的几何体，如：长方体、正方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们进行相关的判断，利用向量计算来证明，一般选取适当的一组基底，寻找关系，易得结果(2)三个向量不共面是这三个
5、向量构成空间一组基底的充要条件,迁移体验1已知a、b、c是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是()A2a，ab，a2b B2b，ba，b2aCa,2b，bc Dc，ac，ac解析：因为a，b，c不共面，易知a,2b，bc不共面故应选C.答案：C,点评在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，或选择有公共起点且关系最明确(如夹角或线段长度)的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题,答案：D,分析空间向量的坐标源于向量的正交分解，如果把向量a写成xiyjzk，则a的坐标为(x，y，z)；还可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向量
6、的坐标,点评用坐标进行向量的运算，关键之一是把相关的向量以坐标形式表示出来这里有两个方面的问题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的构造特征，选合适的点作原点、合适的直线和方向作坐标轴，一般来说，有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系,二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标，这里又有两种方法，其一是运用基底法，把空间向量进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终点的坐标,思 悟 升 华空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的我们在用选定的基向量表示指定的向量时要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止,课时作业 21,
